Число: определение, видове, кардинални и редови числа

Числа за хора

Съществуват различни начини за даване на символи на числата. Тези методи се наричат бройни системи. Най-разпространената бройна система, която хората използват, е бройната система с основа десет. Числената система с основа десет се нарича още десетична бройна система. Числената система с основа десет е разпространена, защото хората имат десет пръста на ръцете и десет пръста на краката. В числовата система на основата десет се използват 10 различни символа {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9}. Тези десет символа се наричат цифри.

Символът на числото се състои от тези десет цифри. Разположението на цифрите показва колко голямо е числото. Например числото 23 в десетичната бройна система всъщност означава (2 пъти по 10) плюс 3. По подобен начин числото 101 означава 1 пъти по сто (=100) плюс 0 пъти по 10 (=0) плюс 1 пъти по 1 (=1).

Числа за машини

Друга бройна система е по-разпространена при машините. Машинната бройна система се нарича двоична бройна система. Двоичната бройна система се нарича още бройна система с основа две. В двоичната бройна система се използват два различни символа (0 и 1). Тези два символа се наричат битове.

Символът за двоично число се състои от тези два символа за битове. Позицията на битовите символи показва колко голямо е числото. Например числото 10 в двоичната бройна система наистина означава 1 пъти 2 плюс 0, а 101 означава 1 пъти четири (=4) плюс 0 пъти две (=0) плюс 1 пъти 1 (=1). Двоичното число 10 е същото като десетичното число 2. Двоичното число 101 е същото като десетичното число 5.

В английския език има специални наименования за някои от числата в десетичната бройна система, които са "степени на десет". Всички тези степени на десет в десетичната бройна система използват само символа "1" и символа "0". Например, десет десетки е същото като десет пъти по десет или сто. В символи това е "10 × 10 = 100". Също така десет стотици е същото като десет пъти по сто, или хиляда. В символи това е "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Някои други степени на десетката също имат специални имена:

• 1 - един
• 10 - десет
• 100 - сто
• 1,000 - хиляда
• 1,000,000 - един милион

Когато става въпрос за по-големи числа от това, има два различни начина за назоваване на числата на английски език. При "дългата скала" се дава ново име всеки път, когато числото е милион пъти по-голямо от последното име. Нарича се още "британски стандарт". Тази скала е била разпространена във Великобритания, но днес не се използва често в англоговорящите страни. Тя все още се използва в някои други европейски държави.

Друга скала е "кратката скала", при която се дава ново име всеки път, когато едно число е хиляда пъти по-голямо от последното. Тази скала е много по-разпространена в повечето англоговорящи страни днес.

• 1,000,000,000 - един милиард (кратък мащаб), един милиард (дълъг мащаб)
• 1,000,000,000,000 - един трилион (в кратък мащаб), един милиард (в дълъг мащаб)
• 1,000,000,000,000,000 - един квадрилион (кратък мащаб), един билярд (дълъг мащаб)

Естествени числа

Естествените числа са числата, които обикновено използваме за броене: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.н. Някои хора казват, че 0 също е естествено число. Множеството на всички естествени числа се записва като N {\displaystyle \mathbb {N} } .

Друго наименование на тези числа е положителни числа. Понякога тези числа се изписват като +1, за да се покаже, че са различни от отрицателните числа. Но не всички положителни числа са естествени (например 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} е положително, но не е естествено).

Ако 0 се нарича естествено число, то естествените числа са същите като целите числа. Ако 0 не се нарича естествено число, тогава естествените числа са същите като броящите числа. Така че ако не се използват думите "естествени числа", тогава ще има по-малко объркване относно това дали нулата е включена или не. Но за съжаление някои казват, че нулата не е цяло число, а други - че целите числа могат да бъдат отрицателни. "Положителни цели числа" и "неотрицателни цели числа" са друг начин да се включи или изключи нулата, но само ако хората знаят тези думи.

Отрицателни числа

Отрицателните числа са числа, по-малки от нула.

Един от начините да мислите за отрицателните числа е да използвате числова линия. Една от точките на тази линия наричаме нула. След това ще маркираме (ще напишем името на) всяка позиция на линията с това колко далеч вдясно от нулевата точка се намира тя. Например, точка едно е един сантиметър вдясно, а точка две е два сантиметра вдясно.

Точката на един сантиметър вляво от нулевата точка обаче не може да бъде точка едно, тъй като вече има точка, наречена едно. Затова наричаме тази точка минус едно (-1, тъй като е на един сантиметър от нея, но в обратна посока).

По-долу е показан чертеж на числова линия.

Всички нормални математически операции могат да се извършват с отрицателни числа:

• Прибавянето на отрицателно число към друго е същото като отнемането на положителното число със същите цифри. Например, 5 + (-3) е същото като 5 - 3 и е равно на 2.
• Отнемането на отрицателно число от друго е същото като прибавянето на положително число със същите цифри. Например, 5 - (-3) е същото като 5 + 3 и е равно на 8.
• Ако умножите две отрицателни числа, ще получите положително число. Например -5, умножено по -3, е 15.
• Умножаването на отрицателно число по положително число или умножаването на положително число по отрицателно число дава отрицателен резултат. Например, 5 пъти -3 е -15.

Тъй като намирането на квадратен корен от отрицателно число е невъзможно за реалните числа (тъй като отрицателно, умножено по отрицателно, е равно на положително за реалните числа), квадратният корен от -1 получава специално име: i. Това се нарича още въображаема единица.

Цели числа

Цели числа са всички естествени числа, всички техни противоположности и числото нула. Десетичните числа и дробните числа не са цели числа.

Рационални числа

Рационалните числа са числа, които могат да се запишат като дроби. Това означава, че те могат да се запишат като a, разделено на b, където числата a и b са цели числа, а b не е нула.

Някои рационални числа, като например 1/10, се нуждаят от краен брой цифри след десетичната запетая, за да бъдат записани в десетична форма. Числото една десета се записва в десетична форма като 0,1. Числата, записани с краен брой десетични знаци, са рационални. Някои рационални числа, като например 1/11, се нуждаят от безкраен брой цифри след десетичната запетая, за да бъдат записани в десетична форма. Цифрите след десетичната запетая имат повтарящ се модел. Числото една единадесета се записва в десетична форма като 0,0909090909 ... .

Процентът може да се нарече рационално число, защото процент като 7% може да се запише като дроб 7/100. То може да се запише и като десетична дроб 0,07. Понякога съотношението се счита за рационално число.

Ирационални числа

Ирационалните числа са числа, които не могат да се запишат като дроб, но нямат въображаеми части (обяснено по-късно).

Ирационалните числа често се срещат в геометрията. Например, ако имаме квадрат със страна 1 метър, разстоянието между противоположните ъгли е корен квадратен от две, което е равно на 1,414213 ... . Това е ирационално число. Математиците са доказали, че квадратният корен на всяко естествено число е или цяло, или ирационално число.

Едно от добре познатите ирационални числа е Пи. Това е обиколката (разстоянието около) на кръг, разделена на диаметъра (разстоянието през). Това число е едно и също за всяка окръжност. Числото пи е приблизително 3,1415926535 ... .

Едно ирационално число не може да бъде записано изцяло в десетична форма. То би имало безкраен брой цифри след десетичната запетая и за разлика от 0,333333 ..., тези цифри не биха се повтаряли вечно.

Реални числа

Реални числа е наименование на всички изброени по-горе множества от числа:

• Рационалните числа, включително целите числа
• Ирационалните числа

Реалните числа образуват реалната линия. Това са всички числа, които не включват въображаеми числа.

Въображаеми числа

Въображаемите числа се образуват от реални числа, умножени по числото i. Това число е квадратен корен от минус едно (-1).

В реалните числа няма число, което, умножено по квадрат, да прави числото -1. Затова математиците измислиха число. Те нарекоха това число i, или въображаемата единица.

Въображаемите числа работят по същите правила като реалните числа:

• Сумата на две имагинерни числа се намира, като се извади (умножи) i. Например 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Разликата на две имагинерни числа се намира по същия начин. Например, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Когато умножавате две имагинерни числа, не забравяйте, че i × i (i² ) е -1. Например, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Въображаемите числа са наречени въображаеми, защото когато са открити за първи път, много математици не са смятали, че съществуват. Човекът, открил имагинерните числа, е Джероламо Кардано през 1500 г. Първият, който използва думите въображаемо число, е Рене Декарт. Първите хора, които използват тези числа, са Леонард Ойлер и Карл Фридрих Гаус. И двамата са живели през XVIII век.

Комплексни числа

Комплексните числа са числа, които имат две части - реална и имагинерна. Всеки вид число, написано по-горе, също е комплексно число.

Комплексните числа са по-обща форма на числата. Комплексните числа могат да се начертаят в равнината на числата. Тя се състои от линия на реалните числа и линия на мнимите числа.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | i|_ | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Цялата нормална математика може да се извършва с комплексни числа:

• За да съберете две комплексни числа, съберете поотделно реалната и въображаемата част. Например, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• За да извадите едно комплексно число от друго, извадете реалната и въображаемата част поотделно. Например, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Умножаването на две комплексни числа е по-сложно. Най-лесно е да се опише в общи линии с две комплексни числа a + bi и c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Например, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Трансцендентни числа

Едно реално или комплексно число се нарича трансцендентно число, ако не може да се получи като резултат от алгебрично уравнение с цели коефициенти.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Доказването, че дадено число е трансцендентно, може да бъде изключително трудно. Всяко трансцендентно число е и ирационално число. Първите хора, които виждат, че има трансцендентни числа, са Готфрид Вилхелм Лайбниц и Леонхард Ойлер. Първият, който действително доказва съществуването на трансцендентни числа, е Жозеф Лиувил. Той прави това през 1844 г.

Някои известни трансцендентни числа включват:

• e
• π
• e^a за алгебрично a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

• Имена на числата на английски език