e е ирационално и трансцендентно математическо число с приблизителна стойност около 2,71828182845904523536. То е важна математическа константа, често наричана числото на Ойлер (на името на швейцарския математик Леонхард Ойлер) или константата на Напиер (в чест на шотландския математик Джон Напиер). Подобно на π и i, числото e играе фундаментална роля в различни области на математиката. То не може да се представи като дроб от две цели числа (виж ирационално число) и десетичният му запис продължава без повтаряща се последователност. Първите десетки цифри на e са били изчислени от Ойлер; днес стойността е известна с милиони знаци след десетичната запетая.

Числото e възниква естествено при разглеждане на експоненциалния растеж и сложната лихва. Например при годишна лента r = 100%: пределът при нарастване на броя на капитализациите към безкрайност на (1 + 1/n)^n дава стойността на e. По-конкретно:

  • Limitна дефиниция: e = limn→∞ (1 + 1/n)^n. (Общият случай за лихва r е limn→∞ (1 + r/n)^n = e^r.)
  • Редица: e може да се изрази чрез бързо сближаваща се редица: e = ∑k=0^∞ 1/k! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
  • Натурален логаритъм: ln(e) = 1. Натуралният логаритъм ln(x) е обратната функция на експоненциалата с основа e.

Експоненциалната функция с основа e, записвана като e^x или exp(x), има редица удобни свойства, които я правят централна в анализа:

  • Производна: d/dx (e^x) = e^x за всички реални x; това е уникалната (до множител) функция, равна на своята собствена производна.
  • Интеграл: ∫ e^x dx = e^x + C.
  • Тейлоров ред: e^x = ∑n=0^∞ x^n / n!, с радиус на сближаване безкрайност.
  • В комплексен анализ: e^(iπ) + 1 = 0 — т.нар. формула на Ойлер, която свързва e, π, i, 1 и 0.

Други важни свойства и представяния на e:

  • Продължени дроби: непрекъснатата дроб за e има прост периодичен вид: [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, ...], където 2,4,6,... се появяват на всяко трето място.
  • Ирационалност и трансцендентност: e е ирационално (показано още през 18. век) и по-късно е доказано, че е трансцендентно (Хермит, 1873 г.). Това означава, че e не е корен на никакъв ненулев полином с рационални коефициенти.
  • Комбинаторика и вероятности: Числото e се среща в стохастични задачи — например вероятността, че случайна пермутация няма фиксирани точки (т.е. е дережа) стреми към 1/e при голям брой елементи.

Кратки изчислителни забележки: редицата ∑ 1/n! дава бързи приближения. Например сумата до n=9 дава стойност, близка до 2,718281525..., а с още няколко членa се достига до десетични знаци, използваеми в практиката.

Исторически: идеята за числото e се появява при работи върху сложната лихва през края на XVII век — често се свързва с откритията на Якоб Бернули около 1683 г. Леонхард Ойлер систематизира използването на e и въвежда символиката, изчислява много от цифрите и развива теоретичните свойства, които свързват e с експоненциални функции и логаритми.

Числото e остава фундаментален инструмент в много области: диференциални уравнения, математическа физика, теория на вероятностите, статистика, числени методи, икономически модели за растеж и лихви и други. Неговите прости, но мощни свойства правят e една от най-важните константи в математиката.