Ейлеровото число (e) — дефиниция, стойност ≈2.71828 и свойства
Ейлеровото число e (≈2.71828) — дефиниция, стойност, свойства и приложения: ирационална константа, експоненциални функции, история и изчисления.
e е ирационално и трансцендентно математическо число с приблизителна стойност около 2,71828182845904523536. То е важна математическа константа, често наричана числото на Ойлер (на името на швейцарския математик Леонхард Ойлер) или константата на Напиер (в чест на шотландския математик Джон Напиер). Подобно на π и i, числото e играе фундаментална роля в различни области на математиката. То не може да се представи като дроб от две цели числа (виж ирационално число) и десетичният му запис продължава без повтаряща се последователност. Първите десетки цифри на e са били изчислени от Ойлер; днес стойността е известна с милиони знаци след десетичната запетая.
Числото e възниква естествено при разглеждане на експоненциалния растеж и сложната лихва. Например при годишна лента r = 100%: пределът при нарастване на броя на капитализациите към безкрайност на (1 + 1/n)^n дава стойността на e. По-конкретно:
- Limitна дефиниция: e = limn→∞ (1 + 1/n)^n. (Общият случай за лихва r е limn→∞ (1 + r/n)^n = e^r.)
- Редица: e може да се изрази чрез бързо сближаваща се редица: e = ∑k=0^∞ 1/k! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
- Натурален логаритъм: ln(e) = 1. Натуралният логаритъм ln(x) е обратната функция на експоненциалата с основа e.
Експоненциалната функция с основа e, записвана като e^x или exp(x), има редица удобни свойства, които я правят централна в анализа:
- Производна: d/dx (e^x) = e^x за всички реални x; това е уникалната (до множител) функция, равна на своята собствена производна.
- Интеграл: ∫ e^x dx = e^x + C.
- Тейлоров ред: e^x = ∑n=0^∞ x^n / n!, с радиус на сближаване безкрайност.
- В комплексен анализ: e^(iπ) + 1 = 0 — т.нар. формула на Ойлер, която свързва e, π, i, 1 и 0.
Други важни свойства и представяния на e:
- Продължени дроби: непрекъснатата дроб за e има прост периодичен вид: [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, ...], където 2,4,6,... се появяват на всяко трето място.
- Ирационалност и трансцендентност: e е ирационално (показано още през 18. век) и по-късно е доказано, че е трансцендентно (Хермит, 1873 г.). Това означава, че e не е корен на никакъв ненулев полином с рационални коефициенти.
- Комбинаторика и вероятности: Числото e се среща в стохастични задачи — например вероятността, че случайна пермутация няма фиксирани точки (т.е. е дережа) стреми към 1/e при голям брой елементи.
Кратки изчислителни забележки: редицата ∑ 1/n! дава бързи приближения. Например сумата до n=9 дава стойност, близка до 2,718281525..., а с още няколко членa се достига до десетични знаци, използваеми в практиката.
Исторически: идеята за числото e се появява при работи върху сложната лихва през края на XVII век — често се свързва с откритията на Якоб Бернули около 1683 г. Леонхард Ойлер систематизира използването на e и въвежда символиката, изчислява много от цифрите и развива теоретичните свойства, които свързват e с експоненциални функции и логаритми.
Числото e остава фундаментален инструмент в много области: диференциални уравнения, математическа физика, теория на вероятностите, статистика, числени методи, икономически модели за растеж и лихви и други. Неговите прости, но мощни свойства правят e една от най-важните константи в математиката.
Магически хейроглифи
Съществуват много различни начини за определяне на e. Якоб Бернули, който открива e, се опитва да реши този проблем:
lim n → ∞ ( +1 n1 ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}. } 
С други думи, има число, към което изразът ( +1 n1 ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
се приближава, когато n става по-голямо. Това число е e.
Друго определение е да се намери решението на следната формула:
2 + + 22+33 + + 44+ 556⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{\ddots \,}}}}}}}}}}} 
Областта, показана в синьо (под графиката на уравнението y=1/x), простираща се от 1 до e, е точно 1.
Първите 200 места на числото e
Първите 200 цифри след десетичната запетая са:
e = . 271828182845904523536028747135266249775724709369995 {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\; 77572\;47093\;69995} 
95749669676277240766303535475945713821785251664274 {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274} 
27466391932003059921817413596629043572900334295260 {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260} 
59563073813232862794349076323382988075319525101901 … {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots } 
.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява числото д?
О: Числото e е математическа константа, която е основата на естествения логаритъм и има стойност приблизително 2,71828.
В: Кой е Ойлер и защо понякога числото e се нарича число на Ойлер?
О: Ойлер е швейцарски математик и числото e понякога се нарича число на Ойлер на негово име, тъй като той има важен принос за неговото изучаване.
В: Кой е Напие и защо e понякога се нарича константа на Напие?
О: Напиер е шотландски математик, който въвежда логаритмите, и в негова чест e понякога се нарича константа на Напиер.
Въпрос: Важна математическа константа ли е e?
О: Да, e е важна математическа константа, която е също толкова важна, колкото π и i.
В: Какъв вид число е e?
О: e е ирационално число, което не може да бъде представено като отношение на цели числа и също така е трансцендентно (не е корен на нито един ненулев полином с рационални коефициенти).
Въпрос: Защо числото e е важно в математиката?
О: Числото e е важно в математиката, защото има голямо значение за експоненциалните функции и е част от група от пет важни математически константи, които се появяват в една от формулировките на Ойлеровото тъждество.
Въпрос: Кой и кога е открил числото e?
О: Числото e е открито от швейцарския математик Якоб Бернули през 1683 г., докато той изучава сложната лихва.
обискирам