Имагинерна единица (i): дефиниция, свойства и приложения в комплексните числа

Научете всичко за имагинерната единица i: дефиниция, ключови свойства и практични приложения в комплексните числа — ясно и достъпно обяснение.

Автор: Leandro Alegsa

14-11-2025 10:55

В математиката имагинерната единица или i {\displaystyle i} $i$ , е числова стойност, която съществува само извън реалните числа и се използва в алгебрата. Когато умножим имагинерната единица по реално число, наричаме резултата имагинерно число. Въпреки че въображаемите числа могат да се използват за решаване на много математически задачи, те не могат да бъдат представени с количество обекти от реалния живот.

Основна дефиниция

Имагинерната единица се дефинира чрез връзката i² = −1. Това означава, че i е число, което при умножение по себе си дава -1. Въвеждането на i позволява разширение на множеството от реални числа до множеството от комплексни числа, които се записват във вида a + b i, където a и b са реални числа. Компонентът a се нарича реална част, а b — имагинерна част.

Основни свойства

Квадрат: i² = −1.
Цикъл на степените: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 и цикълът се повтаря на всеки 4 степени.
Комплексно спрегнато: За z = a + b i, комплексно спрегнатото е \u00A0\ufeff\uoverline{z} = a − b i. Полезно при деление и изчисляване на модул.
Модул: |z| = sqrt(a² + b²) — дава дължината на вектора, представляващ комплексното число в комплексната равнина.
Умножение като ротация и мащабиране: Умножението с i съответства на завъртане с 90° (π/2 радиана) в комплексната равнина: i·(x + y i) = −y + x i.

Операции с комплексни числа — примери

Събиране/изваждане: (a + b i) ± (c + d i) = (a ± c) + (b ± d) i.
Умножение: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i. Пример: (3 + 4 i)(1 − 2 i) = 3 − 6 i + 4 i − 8 i² = (3 + 8) + (−2) i = 11 − 2 i.
Деление: За да разделим z1 / z2, умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатото на знаменателя: (a + b i)/(c + d i) = [(a + b i)(c − d i)]/(c² + d²).

Полярна форма и Ейлерова формула

Вместо a + b i, комплексните числа често се представят в полярна форма: z = r (cos θ + i sin θ), където r = |z| и θ е аргументът (ъгълът). С помощта на Ейлеровата формула това се записва като z = r e^iθ. Тази форма прави лесно повдигането на степени и извличането на корени чрез правилото на де Мойвр: (r e^iθ)ⁿ = rⁿ e^{i n θ}.

Решаване на уравнения и корени

Имагинерната единица позволява решения на уравнения, които нямат реални корени, например x² + 1 = 0 има решения x = ±i. Всяко n-то уравнение с коефициенти в полето на комплексните числа има точно n корена (съгласно Основната теорема на алгебрата).

Геометрична интерпретация

Комплексната равнина (Аргонова — план на Гаус) представя всяко комплексно число като точка или вектор: реалната ос по хоризонтала, имагинерната по вертикала. Умножението с i е въртене с 90° срещу часовниковата стрелка; умножение с e^iθ — въртене с ъгъл θ. По този начин комплексните числа служат естествен език за описване на ротации и мащабирания в равнината.

Приложения

Алгебра и теория на полиномите: корени на уравнения, факторизация.
Електротехника: описване на променлив ток и фазови отношения чрез фази и комплексни импеданси (фазори).
Сигнална обработка: честотен анализ, бързата Фуриева трансформация (FFT) използва комплексни числа интензивно.
Контрол и механика: анализ на системи, стабилност и предавателни функции.
Квантова механика: вълновите функции са комплекснозначни, а фазите и интерференцията са ключови понятия.
Компютърна графика и роботика: ротации в равнината и преобразувания.

Бележки и често срещани заблуди

Имагинерните числа не са „по-малко реални“ от реалните — те са разширение на числовата система с ясно дефинирани правила и приложения.
Няма естествен ред на имагинерните числа като при реалните (не могат да се кажат „по-големи“ или „по-малки“ по стандартния смисъл на реалната ос).

И накрая, въпреки че концепцията за имагинерната единица първоначално може да изглежда абстрактна, тя е неразделна част от съвременната математика и инженерни науки, като улеснява анализите, решенията на уравнения и моделирането на реални феномени.

История

Въображаемите единици са измислени, за да отговорят на полиномното уравнение x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , което обикновено няма решение (вж. по-долу). Терминът "въображаеми" идва от Рене Декарт и е имал за цел да бъде обиден, тъй като, подобно на нулата и отрицателните числа в други исторически времена, въображаемите числа са били смятани за безполезни, тъй като не са естествени. Едва през следващите векове работата на математици като Леонхард Ойлер, Огюстен-Луи Коши и Карл Фридрих Гаус ще докаже, че имагинерните числа са много важни за някои области на алгебрата.

Определение

Общо правило за умножение и деление на числа е, че ако знаците са различни, резултатът е отрицателен (например 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), но ако двете числа имат един и същ знак, резултатът ще бъде положителен (например 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ и - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Това обаче води до проблеми с квадратните корени на отрицателните числа, тъй като две отрицателни числа винаги ще правят положително число:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4} $2\times 2=2^{2}=4$

така че 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

но - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

като - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

За да се запълни тази разлика в стойностите, е създадена въображаемата единица, която се определя като i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}} $i={\sqrt {-1}}$ и i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Използвайки имагинерни числа, можем да решим последния пример:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\времена 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ и - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Квадратен корен от i

Въпреки че въображаемата единица идва от решаването на квадратно уравнение (уравнение, в което неизвестното се появява в квадрат), можем да се запитаме дали трябва да създаваме нови стойности на числата като въображаемата единица, за да решаваме уравнения, в които се появяват по-големи степени на x {\displaystyle x} като x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ и x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . Например уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ има четвърта степен на неизвестната променлива x {\displaystyle x} . Нужни ли са ни нови единици като i {\displaystyle i} $i$ , за да решим това уравнение?

Можем да зададем и подобен въпрос: трябва да създадем ново число, за да намерим квадратния корен от -1, и да наречем това ново число i {\displaystyle i} $i$ . Трябва ли да създадем ново число, за да намерим квадратния корен(и) на i {\displaystyle i} ? $i$

Оказва се, че отговорът и на двата въпроса е "не". По втория въпрос квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ могат да се запишат като реална и имагинерна част. По-конкретно, квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ могат да бъдат записани по следния начин: ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Можем да проверим дали това наистина са квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ , като ги разделим на квадрати и видим дали ще получим i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Можем също така да забележим, че ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , така че ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}} $\pm {\sqrt {i}}$ решава уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , което дава частичен отговор на първия ни въпрос - за уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , решенията все още са комплексни числа (резултат от добавянето на реално и имагинерно число). За това конкретно уравнение има още две решения: x = ± 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , и те също са комплексни числа. За решаването на уравнението не са необходими нови числа като имагинерната единица.

По принцип всяко уравнение, в което неизвестното се появява с цели числа, може да бъде решено с комплексни числа, така че след като знаем за имагинерната единица, можем да решим всяко уравнение от този вид. Този резултат е толкова важен, че е наречен фундаментална теорема на алгебрата.

Сили на i

Силите на i {\displaystyle i} $i$ или i {\displaystyle i} $i$ следват редовен и предвидим модел:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Както е показано, всеки път, когато умножаваме с още i {\displaystyle i} $i$ , стойностите са 1 , i , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ и след това се повтаря.

Свързани страници

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява въображаемата единица?

О: Въображаемата единица е числова стойност, която съществува само извън реалните числа и се използва в алгебрата.

В: Как използваме имагинерната единица?

О: Умножаваме мнимата единица по реално число, за да получим мнимо число.

В: За какво се използват въображаемите числа?

О: Въображаемите числа могат да се използват за решаване на много математически задачи.

В: Можем ли да представим въображаемо число с реални предмети?

О: Не, не можем да представим въображаемо число с реални предмети.

Въпрос: Откъде идва въображаемата единица?

О: Въображаемата единица произлиза от математиката и алгебрата.

В: Въображаемата единица част от реалните числа ли е?

О: Не, тя съществува извън сферата на реалните числа.

В: Как се изчислява въображаемото число? О: Въображаемото число се изчислява, като реално число се умножи по въображаемата единица.

обискирам