Имагинерна единица | стойност на число, която съществува само извън реалните числа

В математиката имагинерната единица или i {\displaystyle i} $i$ , е числова стойност, която съществува само извън реалните числа и се използва в алгебрата. Когато умножим имагинерната единица по реално число, наричаме резултата имагинерно число. Въпреки че въображаемите числа могат да се използват за решаване на много математически задачи, те не могат да бъдат представени с количество обекти от реалния живот.

История

Въображаемите единици са измислени, за да отговорят на полиномното уравнение x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , което обикновено няма решение (вж. по-долу). Терминът "въображаеми" идва от Рене Декарт и е имал за цел да бъде обиден, тъй като, подобно на нулата и отрицателните числа в други исторически времена, въображаемите числа са били смятани за безполезни, тъй като не са естествени. Едва през следващите векове работата на математици като Леонхард Ойлер, Огюстен-Луи Коши и Карл Фридрих Гаус ще докаже, че имагинерните числа са много важни за някои области на алгебрата.

Определение

Общо правило за умножение и деление на числа е, че ако знаците са различни, резултатът е отрицателен (например 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), но ако двете числа имат един и същ знак, резултатът ще бъде положителен (например 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ и - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Това обаче води до проблеми с квадратните корени на отрицателните числа, тъй като две отрицателни числа винаги ще правят положително число:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4} $2\times 2=2^{2}=4$

така че 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

но - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

като - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

За да се запълни тази разлика в стойностите, е създадена въображаемата единица, която се определя като i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}} $i={\sqrt {-1}}$ и i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Използвайки имагинерни числа, можем да решим последния пример:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\времена 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ и - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Квадратен корен от i

Въпреки че въображаемата единица идва от решаването на квадратно уравнение (уравнение, в което неизвестното се появява в квадрат), можем да се запитаме дали трябва да създаваме нови стойности на числата като въображаемата единица, за да решаваме уравнения, в които се появяват по-големи степени на x {\displaystyle x} като x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ и x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . Например уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ има четвърта степен на неизвестната променлива x {\displaystyle x} . Нужни ли са ни нови единици като i {\displaystyle i} $i$ , за да решим това уравнение?

Можем да зададем и подобен въпрос: трябва да създадем ново число, за да намерим квадратния корен от -1, и да наречем това ново число i {\displaystyle i} $i$ . Трябва ли да създадем ново число, за да намерим квадратния корен(и) на i {\displaystyle i} ? $i$

Оказва се, че отговорът и на двата въпроса е "не". По втория въпрос квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ могат да се запишат като реална и имагинерна част. По-конкретно, квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ могат да бъдат записани по следния начин: ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Можем да проверим дали това наистина са квадратните корени на i {\displaystyle i} $i$ , като ги разделим на квадрати и видим дали ще получим i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Можем също така да забележим, че ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , така че ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}} $\pm {\sqrt {i}}$ решава уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , което дава частичен отговор на първия ни въпрос - за уравнението x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , решенията все още са комплексни числа (резултат от добавянето на реално и имагинерно число). За това конкретно уравнение има още две решения: x = ± 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , и те също са комплексни числа. За решаването на уравнението не са необходими нови числа като имагинерната единица.

По принцип всяко уравнение, в което неизвестното се появява с цели числа, може да бъде решено с комплексни числа, така че след като знаем за имагинерната единица, можем да решим всяко уравнение от този вид. Този резултат е толкова важен, че е наречен фундаментална теорема на алгебрата.

Сили на i

Силите на i {\displaystyle i} $i$ или i {\displaystyle i} $i$ следват редовен и предвидим модел:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Както е показано, всеки път, когато умножаваме с още i {\displaystyle i} $i$ , стойностите са 1 , i , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ и след това се повтаря.

Свързани страници

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява въображаемата единица?

О: Въображаемата единица е числова стойност, която съществува само извън реалните числа и се използва в алгебрата.

В: Как използваме имагинерната единица?

О: Умножаваме мнимата единица по реално число, за да получим мнимо число.

В: За какво се използват въображаемите числа?

О: Въображаемите числа могат да се използват за решаване на много математически задачи.

В: Можем ли да представим въображаемо число с реални предмети?

О: Не, не можем да представим въображаемо число с реални предмети.

Въпрос: Откъде идва въображаемата единица?

О: Въображаемата единица произлиза от математиката и алгебрата.

В: Въображаемата единица част от реалните числа ли е?

О: Не, тя съществува извън сферата на реалните числа.

В: Как се изчислява въображаемото число? О: Въображаемото число се изчислява, като реално число се умножи по въображаемата единица.