Равенство на Ойлер

Математическо доказателство за тъждеството на Ойлер с помощта на редицата на Тейлър

Много уравнения могат да бъдат записани като поредица от членове, събрани заедно. Това се нарича редица на Тейлър

Експоненциалната функция e x {\displaystyle e^{x}} може да се запише като редица на Тейлър

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \над n!}}}

Синусът може да се запише и като

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \над 3!}+{x^{5} \над 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \над (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

и Cosine като

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \над 2!}+{x^{4} \овер 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \над (2n)!}{x^{2n}}}

Тук виждаме, че се оформя модел. e x {\displaystyle e^{x}} изглежда като сума от синусоида и косинусоида на Тейлър, само че с всички знаци, променени на положителни. Идентичността, която всъщност доказваме, е e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Така че от лявата страна е e i x {\displaystyle e^{ix}} , чиято редица на Тейлър е 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \овер 2!}-{ix^{3} \овер 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Можем да видим, че всеки втори член е i пъти член на синуса, а останалите членове са членове на косинуса.

Дясната страна е cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , чийто ред на Тейлър е редът на Тейлър на косинуса плюс i пъти редът на Тейлър на синуса, което може да се покаже по следния начин:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

ако ги съберем, ще получим

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \овер 2!}-{ix^{3} \овер 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Следователно:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Сега, ако заменим x с π {\displaystyle \pi } , имаме..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Тогава знаем, че

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

и

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Следователно:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED