Тейлъров ред: определение, формула и приложения

Древногръцкият философ Зенон от Елея пръв стига до идеята за тази поредица. В резултат на това се появява парадоксът, наречен "пародокс на Зенон". Той смятал, че е невъзможно да се съберат безкраен брой стойности и в резултат да се получи една крайна стойност.

Друг гръцки философ, Аристотел, дава отговор на този философски въпрос. Архимед обаче е този, който предлага математическо решение, използвайки своя метод на изчерпването. Той успял да докаже, че когато нещо е разделено на безкраен брой малки части, те все пак ще се съберат в едно цяло, когато се съберат отново. Древният китайски математик Лиу Хуей доказва същото няколкостотин години по-късно.

Най-ранните известни примери за серията на Тейлър са дело на Мадхава от Сангамаграма в Индия през 1300 г. По-късно индийски математици пишат за работата му с тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и арктангенс. Днес все още не съществува нито едно от съчиненията или записите на Мадхава. Други математици основават работата си на откритията на Мадхава и работят повече с тези серии до 1500 г.

Джеймс Грегъри, шотландски математик, работи в тази област през 1600 г. Грегъри изучава редиците на Тейлър и публикува няколко редици на Маклаурин. През 1715 г. Брук Тейлър открива общ метод за прилагане на редицата към всички функции. (Всички предишни изследвания показвали как да се прилага методът само за конкретни функции.) През 1700 г. Колин Маклаурин публикува специален случай на редицата на Тейлър. Тази редица, която е базирана около нулата, се нарича редица на Маклаурин.

Редицата на Тейлър може да се използва за описване на всяка функция ƒ(x), която е гладка функция (или, на математически език, "безкрайно диференцируема".) Функцията ƒ може да бъде реална или комплексна. След това редицата на Тейлър се използва, за да се опише как изглежда функцията в околността на някакво число а.

Тази редица на Тейлър, записана като мощна редица, изглежда по следния начин:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Тази формула може да се запише и в сигма-нотацията по следния начин:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}

Тук n! е факториалът на n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) е n-тата производна на ƒ в точката a. a {\displaystyle a} е число в областта на функцията. Ако редицата на Тейлър на дадена функция е равна на тази функция, функцията се нарича "аналитична функция".

Серия Maclaurin

Когато a = 0 {\displaystyle a=0} , функцията се нарича редица на Маклаурин. Редицата на Маклаурин, записана като мощна редица, изглежда така:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Записана в сигма-нотация, редицата на Макларън е:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Някои важни редици на Тейлър и Маклаурин са следните.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ за всички x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ за всички }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ за всички x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ за всички }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 за всички x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ за всички }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n за всички x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ за всички }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ за всички x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ за всички }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ за всички | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ за всички }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n за всички | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ за всички }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ за | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Където B n {\displaystyle B_{n}} е n-тото число на Бернули, а ln {\displaystyle \ln } е естественият логаритъм.