Тейлъров ред: определение, формула и приложения

Редицата на Тейлър: ясно определение, математическа формула и практични приложения в анализ, физика и информатика — примери и стъпки за изчисление.

Автор: Leandro Alegsa

Редицата на Тейлър е понятие, използвано в информатиката, смятането, химията, физиката и други видове математика от по-високо ниво. Това е поредица, която се използва за създаване на оценка (предположение) за това как изглежда дадена функция. Съществува и специален вид редица на Тейлър, наречена редица на Маклаурин.

Теорията на редицата на Тейлър се състои в това, че ако се избере точка в координатната равнина (осите x и y), е възможно да се предположи как ще изглежда функцията в областта около тази точка. Това става, като се вземат производните на функцията и се съберат всички заедно. Идеята е, че е възможно да се събере безкрайният брой производни и да се получи една крайна сума.

В математиката редицата на Тейлър показва функцията като сума от безкрайни редици. Членовете на сумата се вземат от производните на функцията. Редиците на Тейлър произлизат от теоремата на Тейлър.

Какво представлява формулата на редицата на Тейлър

Общата формула за редицата на Тейлър на функция f около точката a е:

f(x) = Σn=0∞ f(n)(a) / n! · (x − a)n,

където f(n)(a) е n-тата производна на f в точката a, а n! е факториелът на n. Когато a = 0, редицата се нарича редица на Маклаурин:

f(x) = Σn=0∞ f(n)(0) / n! · xn.

Полином на Тейлър и остатъчен член

Когато вземем само първите n+1 члена от редицата, получаваме полинома на Тейлър от степен n (Taylor polynomial):

Pn(x) = Σk=0n f(k)(a) / k! · (x − a)k.

Разликата между истинската функция и полинома е остатъчният член Rn(x). Един удобен запис на остатъка е формата на Лагранж:

Rn(x) = f(n+1)(ξ) / (n+1)! · (x − a)n+1,

където ξ е някоя точка между a и x. Тази формула дава оценка за грешката при апроксимация с полинома от степен n.

Условия за приложимост и аналитичност

За да бъде записана редицата на Тейлър, функцията трябва да има всички необходими производни в точката a. Важно е да се отбележи, че дори ако функцията е C∞ (безкрайно диференцируема), това не гарантира, че редицата ѝ на Тейлър ще съвпада с функцията в някак околност на a. Когато редицата на Тейлър съвпада с функцията в някака околност на a, казваме, че функцията е аналитична в тази точка.

Радиус на сходимост

Редицата на Тейлър има радиус на сходимост R, определящ интервала (или окръжността в комплексната равнина), в който сумата на редицата сближава към функция. Радиусът може да се намери чрез тестовете на отношението или на корена:

  • Ако limsupn→∞ |an|1/n = L, тогава R = 1 / L.
  • Ако limn→∞ |an+1/an| = L, тогава R = 1 / L (ако пределът съществува).

Тук an са коефициентите в редицата f(x) = Σ an (x − a)n.

Често срещани примери

  • ex (Маклаурин): ex = Σn=0∞ xn/n!, за всички x.
  • sin x: sin x = Σn=0∞ (−1)n x2n+1/(2n+1)!, конвергира за всички x.
  • cos x: cos x = Σn=0∞ (−1)n x2n/(2n)!, конвергира за всички x.
  • ln(1+x): ln(1+x) = Σn=1∞ (−1)n+1 xn/n, за |x| < 1 (и при x = 1 условно).

Приложения

Редиците на Тейлър са ключов инструмент в много области:

  • Числени методи: апроксимация на функции и изчисляване на стойности при ограничени ресурси (изчислителни или аналитични).
  • Физика: приближения при малки отклонения (линеаризация), теория на возмущенията, моделирaне на движения и колебания.
  • Химия и молекулна физика: серияни приближения за енергии и потенциали в близост до равновесни точки.
  • Информатика и компютърна графика: рационални и полиномни приближения, оптимизирани алгоритми за изчисляване на функции (например вградените библиотеки за синус/косинус/експоненциал).
  • Аналитично решаване на диференциални уравнения чрез серия (метод на силови редици).

Практически съвети

  • Избирайте точката a близо до стойностите x, за които искате добра апроксимация — това намалява остатъчния член.
  • Оценявайте остатъка Rn за да знаете необходимия брой членове за дадена точност.
  • За повечето стандартни функции има известни редици и таблици; използвайте ги, ако е възможно, вместо да изчислявате производни ръчно.

Редицата на Тейлър е мощен инструмент за анализ и аппроксимация — при правилни условия тя дава ясна връзка между локалното поведение на функцията (нейните производни) и глобалната ѝ представа чрез полиноми или безкрайни суми.

Zoom

Анимация, която показва как редицата на Тейлър може да се използва за апроксимиране на функция. Синята линия показва експоненциалната функция f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}. {\displaystyle f(x)=e^{x}}. Червените линии показват сумата от n производни - т.е. n+1 члена в редицата на Тейлър. С увеличаването на n червената линия се приближава до синята.

История

Древногръцкият философ Зенон от Елея пръв стига до идеята за тази поредица. В резултат на това се появява парадоксът, наречен "пародокс на Зенон". Той смятал, че е невъзможно да се съберат безкраен брой стойности и в резултат да се получи една крайна стойност.

Друг гръцки философ, Аристотел, дава отговор на този философски въпрос. Архимед обаче е този, който предлага математическо решение, използвайки своя метод на изчерпването. Той успял да докаже, че когато нещо е разделено на безкраен брой малки части, те все пак ще се съберат в едно цяло, когато се съберат отново. Древният китайски математик Лиу Хуей доказва същото няколкостотин години по-късно.

Най-ранните известни примери за серията на Тейлър са дело на Мадхава от Сангамаграма в Индия през 1300 г. По-късно индийски математици пишат за работата му с тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и арктангенс. Днес все още не съществува нито едно от съчиненията или записите на Мадхава. Други математици основават работата си на откритията на Мадхава и работят повече с тези серии до 1500 г.

Джеймс Грегъри, шотландски математик, работи в тази област през 1600 г. Грегъри изучава редиците на Тейлър и публикува няколко редици на Маклаурин. През 1715 г. Брук Тейлър открива общ метод за прилагане на редицата към всички функции. (Всички предишни изследвания показвали как да се прилага методът само за конкретни функции.) През 1700 г. Колин Маклаурин публикува специален случай на редицата на Тейлър. Тази редица, която е базирана около нулата, се нарича редица на Маклаурин.

Определение

Редицата на Тейлър може да се използва за описване на всяка функция ƒ(x), която е гладка функция (или, на математически език, "безкрайно диференцируема".) Функцията ƒ може да бъде реална или комплексна. След това редицата на Тейлър се използва, за да се опише как изглежда функцията в околността на някакво число а.

Тази редица на Тейлър, записана като мощна редица, изглежда по следния начин:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

Тази формула може да се запише и в сигма-нотацията по следния начин:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Тук n! е факториалът на n. ƒ (n)(a) е n-тата производна на ƒ в точката a. a {\displaystyle a}a е число в областта на функцията. Ако редицата на Тейлър на дадена функция е равна на тази функция, функцията се нарича "аналитична функция".

Серия Maclaurin

Когато a = 0 {\displaystyle a=0} {\displaystyle a=0}, функцията се нарича редица на Маклаурин. Редицата на Маклаурин, записана като мощна редица, изглежда така:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

Записана в сигма-нотация, редицата на Макларън е:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Обща редица на Тейлър

Някои важни редици на Тейлър и Маклаурин са следните.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ за всички x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ за всички }}x\! } {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ за всички x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ за всички }}x\! } {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 за всички x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ за всички }}x\! } {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n за всички x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ за всички }}x\! } {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ за всички x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ за всички }}x\! } {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ за всички | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ за всички }}|x|<1} {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n за всички | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ за всички }}|x|<1} {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ за | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! } {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

Където B n {\displaystyle B_{n}}{\displaystyle B_{n}} е n-тото число на Бернули, а ln {\displaystyle \ln }{\displaystyle \ln } е естественият логаритъм.

Въпроси и отговори

В: Какво е серия на Тейлър?


О: Редицата на Тейлър е идея, използвана в информатиката, смятането, химията, физиката и други видове математика от по-високо ниво. Това е поредица, която се използва за създаване на оценка (предположение) за това как изглежда дадена функция.

Въпрос: Каква е разликата между редицата на Тейлър и редицата на Маклаурин?


О: Съществува и специален вид редица на Тейлър, наречена редица на Маклаурин.

Въпрос: Каква е теорията зад редицата на Тейлър?


О: Теорията на редицата на Тейлър се състои в това, че ако се избере точка в координатната равнина (осите x и y), тогава е възможно да се предположи как ще изглежда функцията в областта около тази точка.

Въпрос: Как се създава функцията с помощта на редицата на Тейлър?


О: Това става, като се вземат производните на функцията и се съберат всички заедно. Идеята е, че е възможно да се събере безкрайният брой производни и да се получи една крайна сума.

Въпрос: Какво показва редицата на Тейлър в математиката?


О: В математиката редицата на Тейлър показва функцията като сума от безкрайни редици. Членовете на сумата се вземат от производните на функцията.

В: Откъде произлизат редиците на Тейлър?


О: Редиците на Тейлър произлизат от теоремата на Тейлър.

Въпрос: В кои области се използват често редиците на Тейлър?


О: Редиците на Тейлър се използват често в информатиката, смятането, химията, физиката и други видове математика на по-високо ниво.


обискирам
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3