Дериватив (математика) | е начин да се покаже моментната скорост на промяна

Определение за производно

Производната на y по отношение на x се определя като изменение на y спрямо изменението на x, тъй като разстоянието между x 0 {\displaystyle x_{0}} и x 1 {\displaystyle x_{1}} става безкрайно малко (безкрайно малко). На математически език,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

Това означава, че с приближаването на разстоянието между двете точки x (h) към нулата наклонът на линията между тях се доближава до допирателната.

 
Анимация, даваща интуитивна представа за производната, тъй като "люлките" на функцията се променят при промяна на аргумента.  

Производни на функции

Линейни функции

Производните на линейните функции (функции от вида m x + c {\displaystyle mx+c} без квадратични или по-висши членове) са постоянни. Това означава, че производната в едно място на графиката ще остане същата в друго.

Когато зависимата променлива y {\displaystyle y} пряко приема стойността на x {\displaystyle x} ( y = x {\displaystyle y=x} ), наклонът на линията е 1 на всички места, така че d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x)=1} независимо от мястото.

Когато y {\displaystyle y} променя числото x {\displaystyle x} 'чрез добавяне или изваждане на постоянна стойност, наклонът все още е 1, защото промяната в x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} не се променя, ако графиката се премести нагоре или надолу. Това означава, че наклонът все още е 1 по цялата графика и неговата производна също е 1.

Функции за захранване

Мощните функции (под формата на x a {\displaystyle x^{a}} ) се държат различно от линейните функции, тъй като експонентата и наклонът им се променят.

Мощността на функциите по принцип следва правилото, че d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . Тоест, ако дадем a на числото 6, тогава d d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}

Друг пример, който е по-малко очевиден, е функцията f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} . По същество това е същото, защото 1/x може да се опрости, за да се използват експоненти:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Освен това корените могат да се променят, за да се използват дробни експоненти, при което може да се намери тяхната производна:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Експоненциални функции

Експоненциалната функция е от вида a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , където a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} са константи, а f ( x ) {\displaystyle f(x)} е функция на x {\displaystyle x} . Разликата между експоненциала и полинома е, че при полинома x {\displaystyle x} е повдигнат на някаква степен, докато при експоненциала x {\displaystyle x} е на степен.

Пример 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Пример 2

Намерете d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Следователно,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}

Логаритмични функции

Производната на логаритмите е реципрочната стойност:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .

Да вземем например d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . Това може да се сведе до (чрез свойствата на логаритмите):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))}

Логаритъмът на 5 е константа, така че неговата производна е 0. Производната на ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} е 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Така че,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

За производни на логаритми, които не са в основа e, като например d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , това може да се сведе до:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Тригонометрични функции

Функцията косинус е производна на функцията синус, а производната на косинус е отрицателен синус (при условие че x се измерва в радиани):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Свойства на производните

Дериватите могат да бъдат разделени на по-малки части, когато са управляеми (тъй като имат само една от горепосочените функционални характеристики). Например d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} може да се разбие като:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

Употреба на деривати

Производната на дадена функция може да се използва за търсене на максимумите и минимумите на функцията, като се търсят места, където наклонът ѝ е нула.

Производните се използват в метода на Нютон, който помага да се намерят нулите (корените) на дадена функция.Производните могат да се използват и за определяне на вдлъбнатостта на дадена функция и дали функцията е нарастваща или намаляваща.

 

Свързани страници

• Коефициент на разликата
• Фундаментална теорема на смятането
• Имплицитно производно
• Интегрален
• Частично производно
• Втора производна