Производна (математика): определение, геометричен смисъл и примери
В математиката (особено в диференциалното смятане) производната е начин да се покаже моментната скорост на изменение, т.е. величината, с която функцията се променя в дадена точка. За функциите, които действат върху реални числа, това е наклонът на допирателната линия в дадена точка на графиката. Производната често се записва като ("dy over dx" или "dy upon dx", което означава разликата в y, разделена на разликата в x). D не е променлива и следователно не може да бъде анулирана. Друг често срещан запис е
-производната на функцията
в точка
, обикновено се чете като "
prime of
.
Оперативно (лимитно) определение
Производната на функцията f в точка x се дефинира като границата (ако тя съществува)
f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x)) / h.
Това означава, че разглеждаме средната скорост на изменение на f върху малък интервал от дължина h и после "свиваме" този интервал към нула. Ако границата съществува и е крайна, казваме, че f е диференцируема в точката x.
Геометричен смисъл и допирателна
Геометрично производната f'(a) в точка a е наклонът на допирателната към графиката y = f(x) в точката (a, f(a)). Уравнението на допирателната в точката a се дава от линейната приближаваща функция:
y = f(a) + f'(a) (x - a).
Това е първата (линейна) редакция на функцията около точката a и е основа за много приложения като линеаризация и методи за числено решаване (напр. метод на Нютон).
Интуиция и физическа интерпретация
- Ако f(t) описва положението на тяло във функция на времето t, то f'(t) е неговата моментна скорост.
- Производната измерва коефициента на промяна: колко бързо се увеличава (или намалява) стойността на f при малка промяна в аргумента.
Свойства и основни правила за диференциране
Ако функциите, които разглеждаме, са диференцируеми, важат следните правила:
- Производна на константа: (c)' = 0.
- Константен множител: (c f(x))' = c f'(x).
- Сума/разлика: (f + g)' = f' + g', (f - g)' = f' - g'.
- Произведение (правило на Лейбниц): (f g)' = f' g + f g'.
- Частно: (f/g)' = (f' g - f g') / g^2, при g ≠ 0.
- Верижно правило (за композиция): (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x).
Често използвани производни (примери)
- Ако f(x) = x^n (n е реално число), то f'(x) = n x^{n-1} (правилото за степените).
- f(x) = sin x ⇒ f'(x) = cos x; f(x) = cos x ⇒ f'(x) = -sin x.
- f(x) = e^x ⇒ f'(x) = e^x. За обща експоненциална функция a^x: (a^x)' = a^x ln a.
- f(x) = ln x ⇒ f'(x) = 1/x (за x > 0).
Примери с изчисление
- f(x) = x^2. f'(x) = 2x. В точката x = 1 наклонът е 2, уравнението на допирателната: y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1.
- f(x) = sin x. f'(x) = cos x. В точката x = π/2 f'(π/2) = 0, т.е. хоризонтална допирателна.
Диференцируемост и непрекъснатост
Ако функцията f е диференцируема в точка a, то тя е и непрекъсната в a. Обратното обаче не е вярно: има функции, които са непрекъснати, но не са диференцируеми (напр. абсолютната стойност |x| в x = 0 има ъгъл/остър връх и не е диференцируема там).
Кога не съществува производна
- На остри ъгли или върхове (като |x| в 0) границата отляво и отдясно на (f(x+h)-f(x))/h дава различни стойности.
- При вертикални допирателни границата може да бъде безкрайна, което означава, че производната не съществува като крайна стойност.
- Функции с дискретни скокове също не са диференцируеми в точките на скок.
По-високи производни и приложение
Вторaта производна f''(x) = (f'(x))' описва промяната на скоростта (ускорение в механичен смисъл). Много задачи в механиката, оптимизацията и анализа изискват използването на втори и по-високи производни.
Критични точки и екстремуми
Точки, в които f'(x) = 0 или където производната не съществува, се наричат критични точки. Те са кандидати за локални минимуми или максимуми. За да определим характера на критична точка, използваме:
- Първи производен тест: промяна на знака на f' преди и след точката.
- Втори производен тест: ако f''(a) > 0 ⇒ локално минимално; ако f''(a) < 0 ⇒ локално максимално (при условие, че f''(a) съществува).
Практически бележки
- За много функции изчисленията се опростяват чрез комбиниране на горните правила.
- В числения анализ се използват апроксимации на производни (напр. разностни схеми), когато аналитичната производна е трудна за получаване.
Производната е фундаментална част от анализа и има приложение в широк спектър дисциплини — от физиката и инженерството до икономиката и статистиката. Разбирането на дефиницията чрез лимит, геометричния смисъл и основните правила за диференциране дава солидна основа за по-нататъшно изучаване и приложения.


Функция (черно) и тангенс (червено). Производната в точката е наклонът на допирателната.
Определение за производно
Производната на y по отношение на x се определя като изменение на y спрямо изменението на x, тъй като разстоянието между и
става безкрайно малко (безкрайно малко). На математически език,
Това означава, че с приближаването на разстоянието между двете точки x (h) към нулата наклонът на линията между тях се доближава до допирателната.
.gif)

Анимация, даваща интуитивна представа за производната, тъй като "люлките" на функцията се променят при промяна на аргумента.
Производни на функции
Линейни функции
Производните на линейните функции (функции от вида без квадратични или по-висши членове) са постоянни. Това означава, че производната в едно място на графиката ще остане същата в друго.
Когато зависимата променлива пряко приема стойността на
(
), наклонът на линията е 1 на всички места, така че
независимо от мястото.
Когато променя числото
'чрез добавяне или изваждане на постоянна стойност, наклонът все още е 1, защото промяната в
и
не се променя, ако графиката се премести нагоре или надолу. Това означава, че наклонът все още е 1 по цялата графика и неговата производна също е 1.
Функции за захранване
Мощните функции (под формата на ) се държат различно от линейните функции, тъй като експонентата и наклонът им се променят.
Мощността на функциите по принцип следва правилото, че . Тоест, ако дадем a на числото 6, тогава
Друг пример, който е по-малко очевиден, е функцията . По същество това е същото, защото 1/x може да се опрости, за да се използват експоненти:
Освен това корените могат да се променят, за да се използват дробни експоненти, при което може да се намери тяхната производна:
Експоненциални функции
Експоненциалната функция е от вида , където
и
са константи, а
е функция на
. Разликата между експоненциала и полинома е, че при полинома
е повдигнат на някаква степен, докато при експоненциала
е на степен.
Пример 1
Пример 2
Намерете .
Следователно,
Логаритмични функции
Производната на логаритмите е реципрочната стойност:
.
Да вземем например . Това може да се сведе до (чрез свойствата на логаритмите):
Логаритъмът на 5 е константа, така че неговата производна е 0. Производната на е
. Така че,
За производни на логаритми, които не са в основа e, като например , това може да се сведе до:
Тригонометрични функции
Функцията косинус е производна на функцията синус, а производната на косинус е отрицателен синус (при условие че x се измерва в радиани):
.
Свойства на производните
Дериватите могат да бъдат разделени на по-малки части, когато са управляеми (тъй като имат само една от горепосочените функционални характеристики). Например може да се разбие като:
Употреба на деривати
Производната на дадена функция може да се използва за търсене на максимумите и минимумите на функцията, като се търсят места, където наклонът ѝ е нула.
Производните се използват в метода на Нютон, който помага да се намерят нулите (корените) на дадена функция.Производните могат да се използват и за определяне на вдлъбнатостта на дадена функция и дали функцията е нарастваща или намаляваща.
Свързани страници
- Коефициент на разликата
- Фундаментална теорема на смятането
- Имплицитно производно
- Интегрален
- Частично производно
- Втора производна
Въпроси и отговори
В: Какво е производното?
О: Производната е начин да се покаже моментната скорост на изменение или количеството, с което функцията се променя в една дадена точка.
В: Как обикновено се записва?
О: Обикновено се записва като "dy over dx" или "dy upon dx", което означава разликата в y, разделена на разликата в x. Друг често срещан запис е f'(x), което означава производната на функцията f в точка x.
В: Променлива ли е d?
О: Не, d не е променлива и не може да се анулира.
В: Какво представлява "f" в този контекст?
О: В този контекст "f" представлява функция.
В: Какво представлява "x" в този контекст?
О: В този контекст "x" представлява точка от графиката.
В: Какво представлява "y" в този контекст?
О: В този контекст "y" представлява наклона на допирателната линия в тази точка от графиката.
В: Как можете да прочетете "f'(x)"? О: Можете да прочетете "f'(x)" като "f прост на x".