Производна (математика): определение, геометричен смисъл и примери

Производната на y по отношение на x се определя като изменение на y спрямо изменението на x, тъй като разстоянието между x 0 {\displaystyle x_{0}} и x 1 {\displaystyle x_{1}} става безкрайно малко (безкрайно малко). На математически език,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

Това означава, че с приближаването на разстоянието между двете точки x (h) към нулата наклонът на линията между тях се доближава до допирателната.

Линейни функции

Производните на линейните функции (функции от вида m x + c {\displaystyle mx+c} без квадратични или по-висши членове) са постоянни. Това означава, че производната в едно място на графиката ще остане същата в друго.

Когато зависимата променлива y {\displaystyle y} пряко приема стойността на x {\displaystyle x} ( y = x {\displaystyle y=x} ), наклонът на линията е 1 на всички места, така че d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x)=1} независимо от мястото.

Когато y {\displaystyle y} променя числото x {\displaystyle x} 'чрез добавяне или изваждане на постоянна стойност, наклонът все още е 1, защото промяната в x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} не се променя, ако графиката се премести нагоре или надолу. Това означава, че наклонът все още е 1 по цялата графика и неговата производна също е 1.

Функции за захранване

Мощните функции (под формата на x a {\displaystyle x^{a}} ) се държат различно от линейните функции, тъй като експонентата и наклонът им се променят.

Мощността на функциите по принцип следва правилото, че d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . Тоест, ако дадем a на числото 6, тогава d d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}

Друг пример, който е по-малко очевиден, е функцията f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} . По същество това е същото, защото 1/x може да се опрости, за да се използват експоненти:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Освен това корените могат да се променят, за да се използват дробни експоненти, при което може да се намери тяхната производна:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Експоненциални функции

Експоненциалната функция е от вида a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , където a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} са константи, а f ( x ) {\displaystyle f(x)} е функция на x {\displaystyle x} . Разликата между експоненциала и полинома е, че при полинома x {\displaystyle x} е повдигнат на някаква степен, докато при експоненциала x {\displaystyle x} е на степен.

Пример 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Пример 2

Намерете d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Следователно,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}

Логаритмични функции

Производната на логаритмите е реципрочната стойност:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .

Да вземем например d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . Това може да се сведе до (чрез свойствата на логаритмите):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))}

Логаритъмът на 5 е константа, така че неговата производна е 0. Производната на ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} е 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Така че,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

За производни на логаритми, които не са в основа e, като например d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , това може да се сведе до:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Тригонометрични функции

Функцията косинус е производна на функцията синус, а производната на косинус е отрицателен синус (при условие че x се измерва в радиани):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Дериватите могат да бъдат разделени на по-малки части, когато са управляеми (тъй като имат само една от горепосочените функционални характеристики). Например d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} може да се разбие като:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

Производната на дадена функция може да се използва за търсене на максимумите и минимумите на функцията, като се търсят места, където наклонът ѝ е нула.

Производните се използват в метода на Нютон, който помага да се намерят нулите (корените) на дадена функция.Производните могат да се използват и за определяне на вдлъбнатостта на дадена функция и дали функцията е нарастваща или намаляваща.

• Коефициент на разликата
• Фундаментална теорема на смятането
• Имплицитно производно
• Интегрален
• Частично производно
• Втора производна