Метод на Нютон | начин за намиране на реалните нули на функция
Методът на Нютон осигурява начин за намиране на реалните нули на дадена функция. Този алгоритъм понякога се нарича метод на Нютон-Рафсън, кръстен на сър Исак Нютон и Джоузеф Рафсън.
Методът използва производната на функцията, за да намери корените ѝ. Трябва да се направи първоначално "предположение" за местоположението на нулата. От тази стойност се изчислява ново предположение по тази формула:
Тук xn е първоначалното предположение, а xn+1 е следващото предположение. Функцията f (чиято нула се решава) има производна f'.
Чрез многократно прилагане на тази формула към генерираните предположения (т.е. чрез задаване на стойността на xn на изхода на формулата и повторно изчисляване), стойността на предположенията ще се доближи до нулата на функцията.
Методът на Нютон може да се обясни графично, като се разгледат пресечните точки на допирателните с оста x. Първо, изчислява се линия, допирателна към f при xn . След това се намира пресечната точка между тази допирателна линия и оста x. Накрая, x-позицията на тази пресечна точка се записва като следващо предположение, xn+1 .
Функцията (синьо) се използва за изчисляване на наклона на допирателната линия (червено) при xn .
Проблеми с метода на Нютон
Методът на Нютон може да намери решение бързо, ако стойността на предположението започва достатъчно близо до желания корен. Когато обаче началната стойност на предположението не е близо и в зависимост от функцията, методът на Нютон може да намери отговора бавно или изобщо да не го намери.
Свързани страници
- Теорема на Канторович (Твърдение за сходимостта на метода на Нютон, открито от Леонид Канторович)
Въпроси и отговори
В: Какво представлява методът на Нютон?
О: Методът на Нютон е алгоритъм за намиране на реалните нули на дадена функция. Той използва производната на функцията, за да изчисли корените ѝ, и изисква начална предполагаема стойност за местоположението на нулата.
В: Кой е разработил този метод?
О: Методът е разработен от сър Исак Нютон и Джоузеф Рафсън, поради което понякога се нарича метод на Нютон-Рафсън.
В: Как работи този алгоритъм?
О: Този алгоритъм работи чрез многократно прилагане на формула, която приема начална предполагаема стойност (xn) и изчислява нова предполагаема стойност (xn+1). Чрез повтаряне на този процес предположенията ще се приближат до нулата на функцията.
Въпрос: Какво е необходимо, за да се използва този алгоритъм?
О: За да използвате този алгоритъм, трябва да имате първоначална "стойност на предположението" за местоположението на нулата, както и познания за производната на дадената функция.
В: Как можем да обясним метода на Нютон графично?
О: Можем да обясним метода на Нютон графично, като разгледаме пресечните точки на допирателните линии с оста x. Първо се изчислява линия, допирателна към f в точка xn. След това намираме пресечната точка между тази допирателна линия и оста x и записваме нейното положение x като следващото ни предположение - xn+1.
Въпрос: Има ли някакво ограничение при използването на метода на Нютон?
О: Да, ако началната стойност на предположението е твърде далеч от действителния корен, тогава може да отнеме повече време или дори да не успее да се сближи към корена поради колебания около него или отклонение от него.
