Реални числа — определение, свойства и примери

Реално число е рационално или ирационално число. Обикновено, когато хората казват "число", те имат предвид "реално число". Официалният символ за реални числа е удебелено R или удебелено R на черната дъска {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Някои реални числа се наричат положителни. Положително число е "по-голямо от нула". Реалните числа могат да се разглеждат като безкрайно дълга линийка. Има знак за нула и всяко друго число, подредени по големина. За разлика от линийката, има числа под нулата. Те се наричат отрицателни реални числа. Отрицателните числа са "по-малки от нула". Те са като огледален образ на положителните числа, с изключение на това, че им е даден знак минус (-), така че да се означават по различен начин от положителните числа.

Съществуват безкрайно много реални числа. Няма най-малкото или най-голямото реално число. Без значение колко реални числа са преброени, винаги има още, които трябва да бъдат преброени. Между реалните числа няма празни пространства. Това означава, че ако се вземат две различни реални числа, между тях винаги ще има трето реално число, независимо колко близо едно до друго са първите две числа.

Ако едно положително число се прибави към друго положително число, то става по-голямо. Нулата също е реално число. Ако към дадено число се добави нула, то не се променя. Ако към друго число се добави отрицателно число, това число става по-малко.

Реалните числа са неизброими. Това означава, че няма начин всички реални числа да бъдат подредени в последователност. Всяка последователност от реални числа ще пропусне реално число, дори ако последователността е безкрайна. Това прави реалните числа специални. Въпреки че има безкрайно много реални числа и безкрайно много цели числа, можем да кажем, че има "повече" реални числа, отколкото цели числа, защото целите числа са изброими, а реалните числа са неизброими.

Някои по-прости бройни системи са вътре в реалните числа. Например рационалните числа и целите числа са в реалните числа. Съществуват и по-сложни бройни системи от реалните числа, като например комплексните числа. Всяко реално число е комплексно число, но не всяко комплексно число е реално число.

Основни свойства на множеството на реалните числа

Множеството R на реалните числа има няколко важни свойства, използвани навсякъде в анализа и алгебрата:

Поле: Реалните числа образуват поле — съществуват операции събиране и умножение, които са затворени в R и удовлетворяват асоциативност, комутативност, дистрибутивност; съществуват неутрални елементи (0 за събиране, 1 за умножение) и обратни елементи (с изключение на делението на 0).
Подредено поле: R е снабдено с естествен порядък (по-голямо/по-малко), съвместим с аритметиката: ако a < b, то a + c < b + c и, за c > 0, a·c < b·c.
Пълнота (Least Upper Bound Property): Всяко непразно ограничено отгоре подмножество на R има най-малко горна граница (супремум). Именно тази характеристика отличава реалните числа от рационалните и осигурява липсата на "дупки".
Плътност: Между всякакви две различни реални числа винаги има рационално число и винаги има и ирационално число. Това е следствие както от плътността на рационалните числа, така и от общи конструкции за ирационални числа между две точки.

Операции и алагебрични правила

Реалните числа са затворени спрямо събиране, изваждане, умножение; деление е разрешено за всички неща, различни от нула.
Свойства като асоциативност, комутативност и дистрибутивност важат във всички изчисления с реални числа.
Нулата и единицата са специални елементи: a + 0 = a и a·1 = a за всяко a ∈ R.
Абсолютна стойност |x| измерва разстоянието от x до нула; удовлетворява неравенството на триъгълника: |x + y| ≤ |x| + |y|.

Десетични представяния и разграничение рационално/ирационално

Всяко реално число може да бъде представено чрез десетична експанзия:

Рационалните числа имат крайна или периодична (повтаряща се) десетична експанзия. Например 1/4 = 0.25, 1/3 = 0.333... (с период 3).
Ирационалните числа имат безкрайна, непериодична десетична експанзия. Примери: √2 = 1.4142135..., π = 3.1415926..., e = 2.7182818....

Това разделение е практичен начин да разпознаем рационални срещу ирационални числа, макар че на теория доказателства (например доказателство, че √2 е ирационално) са по-надеждни от просто наблюдение на десетично представяне.

Примери

Рационални: 0, 7, -3/5, 2.75 (всички могат да се запишат като дроб p/q с цели p и q ≠ 0).
Ирационални: √2, π, e, число като 0.101001000100001... (пример за число с специална непериодична десетична част).
Комбинации: сумата или произведението на две рационални числа е рационално; сумата на рационално и ирационално число обикновено е ирационално (с някои тривиални неприложими изключения).

Неизброимост и следствия

Класически резултат на Кантор показва, че множеството на реалните числа е неизброимо — няма биекция между N (естествените числа) и R. Това има следствия в математическата логика и теория на множествата: например, "повечето" числа са ирационални и реалните числа формират по-голямо безкрайно множество от това на целите/рационалните числа.

Реални числа в приложенията

Реалните числа са основата на математическия анализ, геометрията и физиката. Те моделират измервания, координати, функции, граници и непрекъснати промени. Свойството на пълнота гарантира, че много аналитични конструкции (напр. предел на монометрични последователности, интеграли и др.) имат смисъл в рамките на реалните числа.

Кратко обобщение

Реалните числа включват рационалните и ирационалните числа и се изобразяват като непрекъсната числова линия.
Те образуват пълно подредено поле: имат алгебрични свойства (поле), линейен порядък и свойството на пълнота (най-малка горна граница).
Между две реални числа винаги има други реални числа; множеството R е неизброимо.

Ако желаете, мога да добавя формално определение на пълнотата (sup/inf), доказателство за неизброимостта на R по метода на Диагонализация на Кантор или доказателство, че √2 е ирационално.

Различни видове реални числа

Съществуват различни видове реални числа. Понякога не се говори за всички реални числа наведнъж. Понякога се говори само за специални, по-малки множества от тях. Тези множества имат специални имена. Те са:

Естествени числа: Това са реални числа, които нямат десетичен знак и са по-големи от нула.
Цели числа: Това са положителни реални числа, които нямат десетични знаци, а също и нула. Естествените числа също са цели числа.
Цели числа: Това са реални числа без десетични дроби. Те включват както положителни, така и отрицателни числа. Целите числа също са цели числа.
Рационални числа: Това са реални числа, които могат да бъдат записани като дробни части на цели числа. Целите числа също са рационални числа.
Трансцендентните числа не могат да се получат чрез решаване на уравнение с цели числа.
Ирационални числа: Това са реални числа, които не могат да се запишат като дроб на цели числа. Трансцендентните числа също са ирационални.

Числото 0 (нула) е специално. Понякога то се приема за част от подмножеството, което трябва да се разгледа, а друг път - не. То е елементът на идентичност за събиране и изваждане. Това означава, че добавянето или изваждането на нула не променя първоначалното число. За умножение и деление идентичният елемент е 1.

Едно реално число, което не е рационално, е 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Това число е ирационално. Ако се начертае квадрат със страни, дълги една единица, дължината на линията между противоположните му ъгли ще бъде 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}. ${\sqrt {2}}$ .

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е реално число?

О: Реално число е всяко рационално или ирационално число, което може да бъде изразено чрез десетично разширение. Това е най-често срещаният вид число, за което се говори, когато се каже "число".

В: Кой символ представя реалните числа?

О: Официалният символ за реални числа е удебелено R или удебелено R на черната дъска {\displaystyle \mathbb {R} } .

В: По какво се различават положителните и отрицателните числа?

О: Положителните числа са "по-големи от нула", докато отрицателните числа са "по-малки от нула" и към тях са прикрепени знаци минус (-), за да могат да се означават по различен начин от положителните числа.

Въпрос: Има ли повече реални числа от цели числа?

О: Да, реалните числа са безкрайно много, докато целите числа могат да се преброяват. Това означава, че макар и двата вида числа да са безкрайно много, все пак реалните числа са повече от целите.

Въпрос: Всички комплексни числа ли са също реални числа?

О: Не, всяко реално число е комплексно число, но не всяко комплексно число е реално число. По същия начин 3/7 е рационално число, но не е цяло число.

Въпрос: Възможно ли е да се подредят всички реални числа в последователност?

О: Не, защото множеството на всички реални числа е неизброимо, което означава, че колкото и дълга да е последователността, винаги ще бъде пропуснато поне едно от тях.