Последователност (математика) — дефиниция, видове и примери

Ясно обяснение на математическа последователност: дефиниция, видове (крайни и безкрайни), формули, прогресии и практични примери за намиране на n-тия член.

Автор: Leandro Alegsa

Последователност е набор от свързани елементи, подредени един след друг в определен ред. Редът има значение: например (Синьо, Червено, Жълто) и (Жълто, Синьо, Червено) са различни последователности, макар да съдържат едни и същи елементи. В по-общ смисъл последователностите се използват в математиката и в други дисциплини, а когато елементите са числа, често ги наричаме още прогресии.

Видове последователности

Основните видове са два:

  • Крайни последователности — имат краен брой елементи. Пример: (1, 2, 3, 4, 5).
  • Безкрайни последователности — нямат краен брой елементи и продължават безкрайно. Пример е последователността на всички четни числа: 2, 4, 6, 8, …

Представяне и нотация

Крайна последователност може просто да се запише чрез изброяване на всички елементи. За безкрайни последователности това не е възможно, затова обикновено даваме правило, което за всяко естествено число n определя n‑тия елемент. Така една последователност може да се разглежда като функция, чиято област (domain) е множеството на естествените числа.

Понякога записваме последователност като ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} {\displaystyle (a_{n})}, където a n {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle a_{n}} означава n-тия член на последователността. Правилото за генериране може да бъде изразено явно (формула за an в зависимост от n) или рекурсивно (определящо а1 и връзка между аn+1 и по-ранните членове).

Примери на явни и рекурсивни правила

  • Явно правило: an = 2 × n. Това определя последователността 2, 4, 6, 8, … — за да намерим 100-ия член, просто изчисляваме 2×100 = 200.
  • Рекурсивно правило: a1 = 1, an+1 = an + 3. Тази последователност е 1, 4, 7, 10, … (аритметична прогресия с разлика 3).
  • Друг пример: an = (−1)n дава редуваща се последователност −1, 1, −1, 1, …

Специални видове прогресии

  • Аритметична прогресия — всеки следващ член се получава чрез прибавяне на константа d към предишния: an = a1 + (n − 1)·d. Пример: 5, 8, 11, … с d = 3.
  • Геометрична прогресия — всеки следващ член се получава чрез умножение по константа r: an = a1 · r^(n − 1). Пример: 3, 6, 12, 24, … с r = 2.

Свойства на последователностите

  • Ограниченост (bounded) — последователността е ограничена, ако съществуват числа M и m такива, че за всеки n: m ≤ an ≤ M. Пример: an = sin(n) е ограничена между −1 и 1.
  • Монотонност — последователността може да бъде монотонно растяща (an+1 ≥ an) или монотонно намаляваща (an+1 ≤ an). Пример: an = n е монотонно растяща.
  • Сходящи и разходящи последователности — безкрайната последователност е сходяща, ако има краен предел (лимит) при n → ∞; в противен случай е разходяща. Пример: an = 1/n сходи към 0, а an = (−1)n е разходяща (осцилира).

Подпоследователност и операции

Подпоследователност е последователност, получена чрез избор на елементи от оригиналната последователност в нарастващи индекси (например всички елементи с четен индекс). Твърдения за сходящи последователности често се изучават чрез техните подпоследователности: ако една последователност има две подпоследователности с различни граници, то тя не е сходяща.

Можем да извършваме операции върху последователности термин по термин: сума, разлика, произведение, частно (когато знаменателите са ненулеви). Понякога тези операции запазват свойства като сходство или ограниченост в зависимост от условията.

Кратки практически примери и забележки

  • Пример за явна безкрайна последователност: an = n2 дава 1, 4, 9, 16, … и е разходяща (расте неограничено).
  • Пример за геометрична последователност с граница: an = (1/2)n сходи към 0, защото |1/2| < 1.
  • Важно е да се прави разлика между поредица (sequence) и множество: поредицата има подредените си елементи и повтарящи се стойности са допустими и означателни (напр. 1,1,2 е различно от 1,2).

Ако имате конкретен пример или вид последователност, който искате да разгледаме (напр. да проверим дали е сходяща или да намерим формула за n‑тия член), напишете го и ще го анализираме стъпка по стъпка.

Видове последователности

Аритметични прогресии (AP)

В аритметичната прогресия разликата между даден член и предходния член винаги е константа.

Пример: 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 и т.н.

Така че, ако вземем първия член като a и постоянната разлика като D, то общата формула за аритметична последователност е a n = a + ( n - 1 ) D {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D} {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D}, където n е броят на членовете.

Геометрични прогресии (GP)

В геометричната прогресия съотношението между даден член и предходния член е винаги постоянно.

Пример: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 и т.н.

Така че, ако приемем, че a е първият член, а r е съотношението, то общата формула за геометрична прогресия е a n = a r n - 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}, където n е броят на членовете.

Хармонични прогресии (HP)

В хармоничната прогресия разликата между реципрочната стойност на даден член и реципрочната стойност на члена преди него е константа.

Пример: 3 , 1.5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 / 1.5 ) - ( 1 / 3 ) = 1 3 , ( 1 / 1 ) - ( 1 / 1.5 ) = 1 3 , ( 1 / 3 4 ) - ( 1 / 1 ) = 1 3 {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}} {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}и така нататък.



 

Серия

Поредица е сборът от всички членове на дадена последователност.

Общата формула за изчисляване на сумата на аритметична последователност е

S = n 2 [ 2 a + ( n - 1 ) d ] {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}

Тази на геометрична последователност е S = a 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}} {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}, ако последователността е безкрайна, и S = a ( 1 - r n ) 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}} {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}, ако е крайна.

Тук a е първият член, d е общата разлика в аритметичната последователност, r е съотношението в геометричната последователност, а n е броят на членовете.



 

Свързани страници

  • Последователност на Коши
  • Предел на последователност
  • Серия
 

Въпроси и отговори

В: Какво е последователност?


О: Последователността е съвкупност от свързани събития, движения или елементи, които следват един след друг в определен ред.

В: Как се използва?


О: Използва се в математиката и други дисциплини. В обикновена употреба означава поредица от събития, следващи едно след друго.

В: Какви са двата вида последователности?


О: Двата вида последователности са крайни последователности, които имат край, и безкрайни последователности, които никога не свършват.

В: Можете ли да дадете пример за безкрайна последователност?


О: Пример за безкрайна последователност е последователността от всички четни числа, по-големи от 0. Тази последователност никога не свършва; тя започва с 2, 4, 6 и т.н.

В: Как можем да запишем безкрайна последователност?


О: Можем да запишем безкрайна последователност, като напишем правило за намиране на нещото на всяко място, което искаме. Правилото трябва да ни каже как да намерим нещото на n-тото място, където n може да бъде всяко естествено число.

Въпрос: Какво означава (a_n), когато записваме последователност?


О: (a_n) означава n-тия член на последователността.


обискирам
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3