Редица | набор от свързани събития, движения или елементи, които следват един след друг в определен ред

Последователност е дума, която означава "набор от свързани събития, движения или елементи, които следват един след друг в определен ред".

Той се използва в математиката и други дисциплини. В обикновена употреба означава поредица от събития, следващи едно след друго. В математиката последователността се състои от няколко неща, които се подреждат едно след друго. Редът, в който са подредени нещата, е от значение. Например, както (Синьо, Червено, Жълто), така и (Жълто, Синьо, Червено) са последователности, но те не са еднакви. Последователностите, съставени от числа, се наричат още прогресии.

Съществуват два вида последователности. Единият вид са крайните последователности, които имат край. Например (1, 2, 3, 4, 5) е крайна последователност. Другият вид са безкрайните последователности, което означава, че те продължават и никога не свършват. Пример за безкрайна последователност е последователността на всички четни числа, по-големи от 0. Тази последователност никога не свършва: тя започва с 2, 4, 6 и т.н. и винаги може да се продължи с изброяването на четни числа.

Ако една последователност е крайна, е лесно да се каже каква е тя: може просто да се запишат всички неща в последователността. Това не работи за безкрайна последователност. Така че друг начин да се запише последователност е да се напише правило за намиране на нещото на всяко място, на което искаме. Правилото трябва да ни каже как да намерим нещото на n-тото място, където n може да бъде всяко естествено число. Това означава, че последователността всъщност е специален вид функция, чиято област са естествените числа. Понякога записваме последователност като ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} $(a_{n})$ , където a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ означава n-тия член на последователността.

Например правилото може да бъде, че това, което е на n-то място, е числото 2×n (2 пъти по n). Това ни казва каква е цялата последователност, въпреки че тя никога не свършва. Първото число е 2×1, което е 2. Второто число е 2×2, или 4. Ако искаме да знаем какво е 100-ото число, можем просто да изчислим 2×100 и да получим 200. Без значение кое нещо от последователността искаме, правилото може да ни каже какво е то.

Видове последователности

Аритметични прогресии (AP)

В аритметичната прогресия разликата между даден член и предходния член винаги е константа.

Пример: $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 и т.н.

Така че, ако вземем първия член като a и постоянната разлика като D, то общата формула за аритметична последователност е $a_{n}=a+(n-1)D$ , където n е броят на членовете.

Геометрични прогресии (GP)

В геометричната прогресия съотношението между даден член и предходния член е винаги постоянно.

Пример: $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 и т.н.

Така че, ако приемем, че a е първият член, а r е съотношението, то общата формула за геометрична прогресия е $a_{n}=ar^{n-1}$ , където n е броят на членовете.

Хармонични прогресии (HP)

В хармоничната прогресия разликата между реципрочната стойност на даден член и реципрочната стойност на члена преди него е константа.

Пример: $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

$(1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}$ и така нататък.

Серия

Поредица е сборът от всички членове на дадена последователност.

Общата формула за изчисляване на сумата на аритметична последователност е

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

Тази на геометрична последователност е $S={\tfrac {a}{1-r}}$ , ако последователността е безкрайна, и $S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ , ако е крайна.

Тук a е първият член, d е общата разлика в аритметичната последователност, r е съотношението в геометричната последователност, а n е броят на членовете.

Свързани страници

Последователност на Коши
Предел на последователност
Серия

Въпроси и отговори

В: Какво е последователност?

О: Последователността е съвкупност от свързани събития, движения или елементи, които следват един след друг в определен ред.

В: Как се използва?

О: Използва се в математиката и други дисциплини. В обикновена употреба означава поредица от събития, следващи едно след друго.

В: Какви са двата вида последователности?

О: Двата вида последователности са крайни последователности, които имат край, и безкрайни последователности, които никога не свършват.

В: Можете ли да дадете пример за безкрайна последователност?

О: Пример за безкрайна последователност е последователността от всички четни числа, по-големи от 0. Тази последователност никога не свършва; тя започва с 2, 4, 6 и т.н.

В: Как можем да запишем безкрайна последователност?

О: Можем да запишем безкрайна последователност, като напишем правило за намиране на нещото на всяко място, което искаме. Правилото трябва да ни каже как да намерим нещото на n-тото място, където n може да бъде всяко естествено число.

Въпрос: Какво означава (a_n), когато записваме последователност?

О: (a_n) означава n-тия член на последователността.