Комплексното число е число, но се различава от обикновените числа по много начини. Комплексното число е съставено от две числа, комбинирани заедно. Първата част е реално число. Втората част на комплексното число е въображаемо число. Най-важното имагинерно число се нарича i {\displaystyle i}{\displaystyle i} , определено като число, което ще бъде -1, когато се умножи на квадрат ("на квадрат" означава "умножено по себе си"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Всички останали имагинерни числа са i {\displaystyle i}{\displaystyle i}, умножено по реално число, по същия начин, по който всички реални числа могат да се разглеждат като 1, умножено по друго число. Аритметичните функции, като събиране, изваждане, умножение и деление, могат да се използват с комплексни числа. Те също следват комутативните, асоциативните и дистрибутивните свойства, точно както реалните числа.

Комплексните числа са открити при опитите за решаване на специални уравнения, в които има експоненти. Те започват да създават истински проблеми за математиците. За сравнение, ако се използват отрицателни числа, е възможно да се намери x в уравнението a + x = b {\displaystyle a+x=b}{\displaystyle a+x=b} за всички реални стойности на a и b, но ако за x се допускат само положителни числа, понякога е невъзможно да се намери положително x, както в уравнението 3 + x = 1.

При експоненцията има трудност, която трябва да се преодолее. Няма реално число, което да дава -1, когато се умножи по квадрат. С други думи, -1 (или всяко друго отрицателно число) няма реален корен квадратен. Например, няма реално число x {\displaystyle x}x, което да решава ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}{\displaystyle (x+1)^{2}=-9} . За да решат този проблем, математиците въвеждат символа i и го наричат имагинерно число. Това е въображаемото число, което ще даде -1, когато се умножи на квадрат.

Първите математици, на които е хрумнало това, вероятно са Джероламо Кардано и Рафаеле Бомбели. Те са живели през XVI век. Вероятно Леонхард Ойлер е въвел писането на i {\displaystyle \mathrm {i} }{\displaystyle \mathrm {i} } за това число.

Всички комплексни числа могат да се запишат като a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}(или a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}{\displaystyle a+b\cdot i} ), където a се нарича реалната част на числото, а b - въображаемата част. Записваме ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} {\displaystyle \Re (z)}или Re ( z ) {\displaystyle \операторно име {Re} (z)}{\displaystyle \operatorname {Re} (z)} за реалната част на комплексно число z {\displaystyle z}{\displaystyle z} . Така, ако z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , пишем a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} . По същия начин пишем ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} {\displaystyle \Im (z)}или Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}{\displaystyle \operatorname {Im} (z)} за въображаемата част на комплексно число z {\displaystyle z}{\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}Всяко реално число е и комплексно число; то е комплексно число z с ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}{\displaystyle \Im (z)=0} .

Комплексното число може да се запише и като подредена двойка (a, b). И a, и b са реални числа. Всяко реално число може просто да се запише като a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}{\displaystyle a+0\cdot i} или като двойка (a, 0).

Понякога j {\displaystyle j}{\displaystyle j} се изписва вместо i {\displaystyle i}{\displaystyle i} . В електротехниката i {\displaystyle i}{\displaystyle i} означава електрически ток. Изписването на i {\displaystyle i} {\displaystyle i}може да доведе до много проблеми, тъй като някои числа в електротехниката са сложни числа.

Множеството на всички комплексни числа обикновено се записва като C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }.

Геометрично представяне (Аргандова равнина)

Всяко комплексно число z = a + bi може да се представи като точка (a, b) в равнината. Тази равнина често се нарича Argand-ова равнина или комплексна равнина. Оста на абсцисите (х-оста) показва реалната част, а оста на ординатите (у-оста) — мнимата част. По този начин операциите със сложни числа имат ясна геометрична интерпретация: събиране — като векторно събиране, умножение — като умножение на дължина и ротация (в полярна форма).

Модул и аргумент

Модулът (модул, дължина) на комплексно число z = a + bi се дефинира като

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

Аргументът (ъгълът) на z, означаван Arg(z) или θ, е ъгълът между положителната реална ос и вектора (a, b). Често се използва функцията atan2(b, a) за изчисляване на правилния ъгъл в интервала (-π, π] или [0, 2π). Пример: ако z = 1 + i, тогава |z| = sqrt(2), Arg(z) = π/4.

Комплексно спрегнато и негови свойства

Комплексното спрегнато на z = a + bi се означава със z̄ и е z̄ = a − bi. Някои важни свойства:

  • z · z̄ = |z|^2 = a^2 + b^2
  • Re(z) = (z + z̄)/2, Im(z) = (z − z̄)/(2i)
  • Спрегнатото се използва при деление, за да се премахне мнимата част от знаменателя.

Основни операции с примери

Събиране и изваждане: извършват се по компоненти.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Пример: (3 + 2i)(1 − 4i) = (3·1 − 2·(−4)) + (3·(−4) + 2·1)i = 11 − 10i.

Деление: умножаваме числител и знаменател по спрегнатото на знаменателя:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c^2 + d^2)

Разработено: = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c^2 + d^2).

Пример: (3 + 2i) / (1 − 4i): умножаваме с (1 + 4i) → (3 + 2i)(1 + 4i) = −5 + 14i, знаменател 17, следователно ≈ −5/17 + (14/17)i.

Полярна форма и формулата на Ойлер

Чрез модул r = |z| и аргумент θ можем да представим всяко комплексно число като:

z = r (cos θ + i sin θ)

С помощта на формулата на Ойлер тази форма се записва по-компактно:

z = r e^{iθ}, където e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

Оттук следва и теоремата на Де Мойвър: ако z = r e^{iθ}, то z^n = r^n e^{inθ}.

Корени и степени

Всяко комплексно число има точно n комплексни n-ти корена (включително кратни), разпределени равномерно по окръжност с радиус r^{1/n} и център в началото. Това е следствие от полярната форма и свойствата на ъглите.

Алгебрични и теоретични свойства

Множеството на комплексните числа ℂ е поле, съдържащо реалните числа като подполе. Една от фундаменталните теореми в математиката — основната теорема на алгебрата — гласи, че всяко ненулево многочлен с комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Това прави ℂ алгебрично затворено множество.

Приложения

Комплексните числа имат широка употреба в много области:

  • Електротехника и теоретични вериги (използва се j вместо i в някои текстове, за да не се бърка с тока).
  • Обработване на сигнали, теория на управлението и анализ на честотни характеристики.
  • Квантова механика — вълнови функции и оператори.
  • Диференциални уравнения, динамични системи и теория на полетата.
  • Компютърна графика и фрактали (например Манделбротово множество).

Историческа бележка

Въпреки че корените на идеята водят към работата на Кардано и Бомбели през XVI век, геометричното представяне и широко разпространение на комплексните числа са популяризирани по-късно от математици като Леонард Ойлер и Карл Фридрих Гаус. Днес комплексните числа са неизменна част от чистата и приложната математика.