Комплексни числа — какво е, представяне и основни операции

Научи всичко за комплексните числа: дефиниция, представяне, основни операции (събиране, умножение, деление) и примери — ясно и достъпно обяснение за студенти и програмисти.

Автор: Leandro Alegsa

28-09-2025 14:47

Комплексното число е число, но се различава от обикновените числа по много начини. Комплексното число е съставено от две числа, комбинирани заедно. Първата част е реално число. Втората част на комплексното число е въображаемо число. Най-важното имагинерно число се нарича i {\displaystyle i} $i$ , определено като число, което ще бъде -1, когато се умножи на квадрат ("на квадрат" означава "умножено по себе си"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Всички останали имагинерни числа са i {\displaystyle i} $i$ , умножено по реално число, по същия начин, по който всички реални числа могат да се разглеждат като 1, умножено по друго число. Аритметичните функции, като събиране, изваждане, умножение и деление, могат да се използват с комплексни числа. Те също следват комутативните, асоциативните и дистрибутивните свойства, точно както реалните числа.

Комплексните числа са открити при опитите за решаване на специални уравнения, в които има експоненти. Те започват да създават истински проблеми за математиците. За сравнение, ако се използват отрицателни числа, е възможно да се намери x в уравнението a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ за всички реални стойности на a и b, но ако за x се допускат само положителни числа, понякога е невъзможно да се намери положително x, както в уравнението $3 + x = 1$ .

При експоненцията има трудност, която трябва да се преодолее. Няма реално число, което да дава -1, когато се умножи по квадрат. С други думи, -1 (или всяко друго отрицателно число) няма реален корен квадратен. Например, няма реално число x {\displaystyle x}, което да решава ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . За да решат този проблем, математиците въвеждат символа i и го наричат имагинерно число. Това е въображаемото число, което ще даде -1, когато се умножи на квадрат.

Първите математици, на които е хрумнало това, вероятно са Джероламо Кардано и Рафаеле Бомбели. Те са живели през XVI век. Вероятно Леонхард Ойлер е въвел писането на i {\displaystyle \mathrm {i} } $\mathrm {i}$ за това число.

Всички комплексни числа могат да се запишат като a + b i {\displaystyle a+bi} $a+bi$ (или a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i} $a+b\cdot i$ ), където a се нарича реалната част на числото, а b - въображаемата част. Записваме ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ или Re ( z ) {\displaystyle \операторно име {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ за реалната част на комплексно число z {\displaystyle z} $z$ . Така, ако z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , пишем a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . По същия начин пишем ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ или Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ за въображаемата част на комплексно число z {\displaystyle z} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ Всяко реално число е и комплексно число; то е комплексно число $z$ с ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} $\Im (z)=0$ .

Комплексното число може да се запише и като подредена двойка $(a, b)$ . И a, и b са реални числа. Всяко реално число може просто да се запише като a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ или като двойка $(a, 0)$ .

Понякога j {\displaystyle j} $j$ се изписва вместо i {\displaystyle i} $i$ . В електротехниката i {\displaystyle i} $i$ означава електрически ток. Изписването на i {\displaystyle i} $i$ може да доведе до много проблеми, тъй като някои числа в електротехниката са сложни числа.

Множеството на всички комплексни числа обикновено се записва като C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .

Геометрично представяне (Аргандова равнина)

Всяко комплексно число z = a + bi може да се представи като точка (a, b) в равнината. Тази равнина често се нарича Argand-ова равнина или комплексна равнина. Оста на абсцисите (х-оста) показва реалната част, а оста на ординатите (у-оста) — мнимата част. По този начин операциите със сложни числа имат ясна геометрична интерпретация: събиране — като векторно събиране, умножение — като умножение на дължина и ротация (в полярна форма).

Модул и аргумент

Модулът (модул, дължина) на комплексно число z = a + bi се дефинира като

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

Аргументът (ъгълът) на z, означаван Arg(z) или θ, е ъгълът между положителната реална ос и вектора (a, b). Често се използва функцията atan2(b, a) за изчисляване на правилния ъгъл в интервала (-π, π] или [0, 2π). Пример: ако z = 1 + i, тогава |z| = sqrt(2), Arg(z) = π/4.

Комплексно спрегнато и негови свойства

Комплексното спрегнато на z = a + bi се означава със z̄ и е z̄ = a − bi. Някои важни свойства:

z · z̄ = |z|^2 = a^2 + b^2
Re(z) = (z + z̄)/2, Im(z) = (z − z̄)/(2i)
Спрегнатото се използва при деление, за да се премахне мнимата част от знаменателя.

Основни операции с примери

Събиране и изваждане: извършват се по компоненти.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Пример: (3 + 2i)(1 − 4i) = (3·1 − 2·(−4)) + (3·(−4) + 2·1)i = 11 − 10i.

Деление: умножаваме числител и знаменател по спрегнатото на знаменателя:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c^2 + d^2)

Разработено: = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c^2 + d^2).

Пример: (3 + 2i) / (1 − 4i): умножаваме с (1 + 4i) → (3 + 2i)(1 + 4i) = −5 + 14i, знаменател 17, следователно ≈ −5/17 + (14/17)i.

Полярна форма и формулата на Ойлер

Чрез модул r = |z| и аргумент θ можем да представим всяко комплексно число като:

z = r (cos θ + i sin θ)

С помощта на формулата на Ойлер тази форма се записва по-компактно:

z = r e^{iθ}, където e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

Оттук следва и теоремата на Де Мойвър: ако z = r e^{iθ}, то z^n = r^n e^{inθ}.

Корени и степени

Всяко комплексно число има точно n комплексни n-ти корена (включително кратни), разпределени равномерно по окръжност с радиус r^{1/n} и център в началото. Това е следствие от полярната форма и свойствата на ъглите.

Алгебрични и теоретични свойства

Множеството на комплексните числа ℂ е поле, съдържащо реалните числа като подполе. Една от фундаменталните теореми в математиката — основната теорема на алгебрата — гласи, че всяко ненулево многочлен с комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Това прави ℂ алгебрично затворено множество.

Приложения

Комплексните числа имат широка употреба в много области:

Електротехника и теоретични вериги (използва се j вместо i в някои текстове, за да не се бърка с тока).
Обработване на сигнали, теория на управлението и анализ на честотни характеристики.
Квантова механика — вълнови функции и оператори.
Диференциални уравнения, динамични системи и теория на полетата.
Компютърна графика и фрактали (например Манделбротово множество).

Историческа бележка

Въпреки че корените на идеята водят към работата на Кардано и Бомбели през XVI век, геометричното представяне и широко разпространение на комплексните числа са популяризирани по-късно от математици като Леонард Ойлер и Карл Фридрих Гаус. Днес комплексните числа са неизменна част от чистата и приложната математика.

Операции над комплексни числа

Събиране, изваждане, умножение, деление, стига делителят да не е нула, и експонентиране (превръщане на числата в експоненти) са възможни с комплексни числа. Някои други изчисления също са възможни с комплексни числа.

Правилото за събиране и изваждане на сложни числа е много просто:

Нека z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , тогава z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , и z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Умножаването е малко по-различно:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Друга забележителна операция за комплексните числа е конюгацията. Комплексният конюгат z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ${\overline {z}}$ на z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ е a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . Това е доста просто, но е важно за изчисленията, защото z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}} $z\times {\overline {z}}$ принадлежи на реалните числа за всички комплексни z {\displaystyle z} $z$ :

z z¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Можем да използваме това за извършване на деление:

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Други форми на описание на комплексни числа

Комплексните числа могат да се изобразят в така наречената комплексна равнина. Ако имате число z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , можете да отидете до точка на реалната ос и до b на имагинерната ос и да начертаете вектор от ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ до ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Дължината на този вектор може да се изчисли, като се използва Питагоровата теорема и ъгълът между положителната реална ос и този вектор, като се върви обратно на часовниковата стрелка. Дължината на вектора за число z {\displaystyle z} $z$ се нарича негов модул (изписан като | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), а ъгълът се нарича негов аргумент ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Това води до тригонометричната форма на описание на комплексните числа: чрез дефинициите на синус и косинус, за всички z {\displaystyle z} $z$ означава, че

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Това е тясно свързано с формулата на Дьо Моер.

Съществува дори още една форма, наречена експоненциалнаформа.

Комплексното число може да се изобрази визуално като две числа, които образуват вектор на диаграмата на Арганд, представяща комплексната равнина.

Заключение

С добавянето на комплексните числа в математиката всеки полином с комплексни коефициенти има корени, които са комплексни числа. Успешното добавяне на комплексните числа към математиката също така помогна да се отвори път към създаването на други видове числа, които биха могли да решат и да помогнат за обяснението на много различни проблеми, например: хиперкомплексните числа, седефените числа, хиперреалните числа, сюрреалните числа и много други. Вижте видовете числа.

Въпроси и отговори

В: Какво е комплексно число?

О: Комплексното число е число, състоящо се от две части, като първата част е реално число, а втората част е въображаемо число.

В: Кое е най-важното въображаемо число?

О: Най-важното въображаемо число се нарича i, което се определя като число, което при квадрат ще бъде -1.

Въпрос: Как се използват аритметичните функции при комплексните числа?

О: Аритметичните функции, като събиране, изваждане, умножение и деление, могат да се използват с комплексни числа. Те също така следват комутативните, асоциативните и дистрибутивните свойства точно както реалните числа.

Въпрос: Кой символ представя множеството на комплексните числа?

О: Множеството на комплексните числа често се представя със символа C.

В: Защо са открити комплексните числа?

О: Комплексните числа са открити при опитите за решаване на специални уравнения, в които има експоненти, тъй като те създават реални проблеми за математиците.

В: Кой въвежда писането на i за този вид числа?

О: Вероятно Леонхард Ойлер е въвел писането на i за този вид числа.

В: Как може да се запише комплексно число като наредена двойка?

А: Комплексното число може да се запише като наредена двойка (a, b), където и a, и b са реални числа.

обискирам