Питагорова теорема: формула, доказателство и приложения

Питагоровата теорема гласи, че площта на квадрата върху хипотенузата е равна на сумата от площите на квадратите върху краката. На тази снимка площта на синия квадрат, добавена към площта на червения квадрат, прави площта на лилавия квадрат. Наречена е на името на гръцкия математик Питагор:

Ако дължините на краката са a и b, а дължината на хипотенузата е c, тогава a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Съществуват много различни доказателства на тази теорема. Те се разделят на четири категории:

1. Тези, които се основават на линейни отношения: алгебричните доказателства.
2. Тези, които се основават на сравнение на площи: геометричните доказателства.
3. Тези, които се основават на векторната операция.
4. Тези, които се основават на масата и скоростта: динамичните доказателства.

Едно от доказателствата на Питагоровата теорема е намерено от гръцкия математик Евдокс от Книд.

Доказателството използва три леми:

1. Триъгълници с еднаква основа и височина имат еднаква площ.
2. Триъгълник с основа и височина, еднакви със страната на квадрат, има същата площ като половината на квадрата.
3. Триъгълници с две еднакви страни и един еднакъв ъгъл са конгруентни и имат еднаква площ.

Доказателството е:

1. Синият триъгълник има същата площ като зеления триъгълник, защото има еднаква основа и височина (лема 1).
2. Зелените и червените триъгълници имат две страни, равни на страните на едни и същи квадрати, и ъгъл, равен на прав ъгъл (ъгъл от 90 градуса) плюс ъгъл на триъгълник, така че те са конгруентни и имат еднаква площ (лема 3).
3. Площите на червения и жълтия триъгълник са равни, защото имат еднакви височини и основи (лема 1).
4. Площта на синия триъгълник е равна на площта на жълтия триъгълник, защото

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Кафявите триъгълници имат същата площ по същите причини.
2. Синьото и кафявото имат по половината от площта на по-малък квадрат. Сумата от площите им е равна на половината от площта на по-големия квадрат. Поради тази причина половините от площите на малките квадрати са равни на половината от площта на по-големия квадрат, така че тяхната площ е равна на площта на по-големия квадрат.

Доказателство с помощта на подобни триъгълници

Можем да получим още едно доказателство за Питагоровата теорема, като използваме подобни триъгълници.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\квад \Rightarrow \квад {a^{2}}={dc}\квад (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\квад \Rightarrow \квад {b^{2}}={ec}\квад (2)}

От изображението съберете уравненията (1) и (2):

И получаваме:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}
 

Питагоровите тройки или тройки са три цели числа, които отговарят на уравнението a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Триъгълникът със страни 3, 4 и 5 е добре познат пример. Ако a=3 и b=4, то 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} , защото 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Това може да се покаже и като 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

Триъгълникът "три-четири-пет" работи за всички кратни на 3, 4 и 5. С други думи, числа като 6, 8, 10 или 30, 40 и 50 също са питагорови триъгълници. Друг пример за триъгълник е триъгълникът 12-5-13, защото 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Питагорова тройка, която не е кратна на други тройки, се нарича примитивна питагорова тройка. Всяка примитивна питагорейска тройка може да се намери, като се използва изразът ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , но трябва да са изпълнени следните условия. Те поставят ограничения върху стойностите на m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} са цели положителни числа
2. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} нямат общи коефициенти освен 1
3. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} имат противоположен паритет. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} имат противоположен паритет, когато m {\displaystyle m} е четно, а n {\displaystyle n} е нечетно, или m {\displaystyle m} е нечетно, а n {\displaystyle n} е четно.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Ако и четирите условия са изпълнени, тогава стойностите на m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} създават примитивна питагорова тройка.

m = 2 {\displaystyle m=2} и n = 1 {\displaystyle n=1} създават примитивна питагорова тройка. Стойностите удовлетворяват и четирите условия. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} и m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , така че се създава тройката ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} .