Конгруентност в геометрията — определение, изометрия и примери
Конгруентност в геометрията: ясно определение, изометрии, твърди движения и практични примери — разберете кога фигури са еднакви по форма и размер.
В геометрията две фигури или обекти са конгруентни, ако имат еднаква форма и размер — тоест, ако едната може да бъде приведена в съвпадение с другата чрез придвижване, завъртане или огледално отразяване без промяна на размерите. Това включва и случая, когато едната има същата форма и размер като огледалния образ на другата.
Формално определение
По-точно, две множества от точки се наричат конгруентни тогава и само тогава, когато едното може да се трансформира в другото чрез изометрия. Изометриите са преобразувания, които запазват разстоянията между точките — т.нар. твърди движения (translations, rotations, reflections и техни комбинации).
Какво означава практически
На практика това означава, че един обект може да бъде преместен, завъртян и/или отразен така, че да съвпадне точно с друг обект, без да се променя неговият размер или форма. Например две равнинни фигури върху лист хартия са конгруентни, ако можем да ги изрежем и да ги наложим една върху друга, така че всички точки да се съвпаднат. При нужда е разрешено обръщането на хартията (отразяване).
Свързани трансформации (изометрии)
- Транслация (преместване) — преместване без завъртане или огледално отразяване.
- Ротация (завъртане) — въртене около точка с фиксиран ъгъл.
- Рефлексия (отразяване) — огледален образ спрямо права линия (в равнина) или равнина (в пространството).
- Комбинации — например смес от завъртане и транслация или огледално отразяване, последвано от преместване.
- Глайд-рефлексия — комбинация от рефлексия и транслация (в равнината).
Свойства на конгруентните фигури
- Запазват се всички дължини и ъгли — съответните страни и ъгли са равни.
- Периметърът и лицето (площта) са еднакви.
- Ако две фигури са конгруентни, всяко свойство, зависещо само от разстояния и ъгли, е общо за тях.
- Конгруентността е рефлексивна, симетрична и транзитивна — образува еквивалентно отношение върху множеството на фигурите.
Критерии за конгруентност на триъгълници
Това са най-често използваните практически тестове за установяване на конгруентност между триъгълници:
- SSS (страна-страна-страна): три страни съответно равни → триъгълниците са конгруентни.
- SAS (страна-ъгъл-страна): две страни и прилежащият ъгъл сред тях равни → конгруентност.
- ASA (ъгъл-страна-ъгъл): страна и двата прилежащи ъгъла равни → конгруентност.
- AAS (ъгъл-ъгъл-страна): два ъгъла и една несъседна страна равни → конгруентни.
- RHS / HL (правоъгълен триъгълник): хипотенуза и един катет равни → конгруентност на правоъгълни триъгълници.
Примери и приложения
- Две кръгове с равни радиуси са конгруентни (може да се пренесе един върху друг чрез транслация).
- Два многоъгълника са конгруентни, ако съответните им страни и ъгли съвпадат след някоя изометрия. Понятието важи и за многоъгълници, при които може да се провери чрез сравнение на поредиците от страни и ъгли или чрез разгъване и припокриване.
- В практиката конгруентността се използва в строителството, инженерството и дизайна при проверка на детайли, съвпадение на части и при симетрични конструкции.
Конгруентност срещу подобие
Две фигури са конгруентни, когато имат еднаква форма и размер. Ако едната трябва да бъде увеличена или намалена, за да съвпадне с другата, те не са конгруентни — в този случай те са подобни. При подобие съотношенията на съответните страни са равни и ъглите съответстват, но абсолютните дължини могат да се различават.
Допълнителни бележки
- В Евклидовата геометрия конгруентността се разглежда чрез изометрии; в по-общи метрични пространства понятията могат да се адаптират чрез изометриите на съответното пространство.
- Понятието на конгруентност включва както директни изометрии (прости придвижвания и завъртания), така и обратни (огледални) — в зависимост от това дали ориентацията се запазва или не.
В обобщение: две геометрични фигури са конгруентни, когато една може да бъде преобразувана в другата чрез твърди движения, т.е. чрез изометрии, които запазват разстояния и ъгли. Такова съвпадение може да бъде постигнато чрез преместване, завъртане и/или огледално отразяване, но не чрез промяна на размера.
Пример за конгруентност. Двата триъгълника вляво са конгруентни, а третият е подобен на тях. Последният триъгълник не е нито подобен, нито конгруентен на някой от останалите. Обърнете внимание, че конгруентността позволява промяна на някои свойства, като местоположение и ориентация, но оставя други непроменени, като разстояние и ъгли. Непроменените свойства се наричат инварианти.
Примери
- всички квадрати с еднаква дължина на страните си са конгруентни.
- всички равностранни триъгълници с еднаква дължина на страните си са конгруентни.
Тестове за конгруентност
- Два ъгъла и страната между тях са еднакви в два триъгълника (конгруентност ASA)
- Два ъгъла и страна, която не е между тях, са еднакви в двата триъгълника (конгруентност по AAS)
- И трите страни на двата триъгълника са еднакви (конгруентност на SSS)
- две страни и ъгълът между тях правят 2 триъгълника конгруентни (SAS конгруентност)
Как можем да получим нови конгруентни фигури?
Имаме доста възможности, няколко правила за създаване на нови форми, които са конгруентни с първоначалната.
- Ако изместим геометрична форма в равнината, ще получим форма, която е конгруентна на първоначалната.
- Ако завъртим, вместо да преместваме, също ще получим форма, конгруентна на първоначалната.
- Дори ако вземем огледален образ на първоначалната форма, пак ще получим конгруентна форма.
- Ако комбинираме трите дейности една след друга, пак ще получим конгруентни фигури.
- Няма повече еднакви фигури. По-точно това означава, че ако дадена форма е конгруентна с оригиналната, то тя може да бъде достигната чрез трите дейности, описани по-горе.
Връзката, че дадена форма е конгруентна с друга форма, има три известни свойства.
- Ако оставим първоначалната форма на първоначалното ѝ място, тогава тя е конгруентна със себе си. Това поведение, това свойство се нарича рефлексивност.
Например, ако горното преместване не е правилно преместване, а само преместване, което прави движение с дължина нула. Или по същия начин, ако горното завъртане не е правилно завъртане, а само завъртане с ъгъл нула.
- Ако дадена форма е конгруентна с друга форма, то тази друга форма също е конгруентна с първоначалната. Това поведение, това свойство се нарича симетрия.
Например, ако изместим назад, завъртим назад или отразим обратно новата форма към първоначалната, тогава първоначалната форма е конгруентна с новата.
- Ако форма C е конгруентна на форма B и формата B е конгруентна на оригиналната форма A, то формата C също е конгруентна на оригиналната форма A. Това поведение, това свойство се нарича транзитивност.
Например, ако първо приложим преместване, а след това завъртане, получената нова форма все още е конгруентна с оригиналната.
Известните три свойства - рефлексивност, симетрия и транзитивност - заедно създават понятието за еквивалентност. Следователно свойството конгруентност е един вид отношение на еквивалентност между фигурите на равнината.
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво означава две фигури да са конгруентни в геометрията?
О: Две фигури са конгруентни в геометрията, ако имат еднаква форма и размер или ако едната има същата форма и размер като огледален образ на другата.
В: Как две множества от точки се наричат конгруентни?
О: Две множества от точки се наричат конгруентни тогава и само тогава, когато едното може да се трансформира в другото чрез изометрия.
В: За какво се използват твърдите движения в изометрията?
О: В изометрията се използват твърди движения за преместване, завъртане или отразяване на геометрични фигури, без да се променя размерът им, така че да съвпадат точно с други обекти.
Въпрос: Могат ли две фигури да бъдат конгруентни, ако едната от тях трябва да промени размера си, за да съвпадне с другата?
О: Не, ако единият от обектите трябва да промени размера си, за да съвпадне с другия, тогава двата обекта не са конгруентни, но се наричат подобни.
Въпрос: Какво можем да кажем за конгруентността на две различни равнинни фигури върху лист хартия?
О: Две различни равнинни фигури върху лист хартия са еднакви, ако можем да ги изрежем и след това да ги съпоставим напълно, като обърнем хартията, ако е необходимо.
В: Какво представляват конгруентните многоъгълници?
О: Съвместимите многоъгълници са многоъгълници, които могат да се сгънат наполовина, за да се образува друг правилен многоъгълник, който също е съобразен.
В: Какъв е критерият, по който два обекта се наричат конгруентни в геометрията?
О: Критерият за конгруентност на два обекта в геометрията е единият обект да може да бъде преместен, завъртян или отразен така, че да съвпада точно с другия обект, без да се променя размерът му.
обискирам