Конгруентност
В геометрията две фигури или обекти са конгруентни, ако имат еднаква форма и размер. Също така, ако едната има същата форма и размер като огледалния образ на другата.
По-точно, две множества от точки се наричат конгруентни тогава и само тогава, когато едното може да се трансформира в другото чрез изометрия. За изометрия се използват твърдите движения.
Това означава, че един обект може да бъде преместван и отразяван (но не и да се променя размерът му), така че да съвпада точно с другия обект. Така две различни равнинни фигури върху лист хартия са конгруентни, ако можем да ги изрежем и след това да ги съпоставим напълно. Обръщането на хартията е разрешено.
Съвместимите многоъгълници са многоъгълници, които, ако сгънете правилен многоъгълник наполовина, ще се получат като съвместими многоъгълници.
Две геометрични фигури са конгруентни, ако едната може да бъде преместена или завъртяна така, че да пасне точно на мястото на другата. Ако единият от обектите трябва да промени размера си, двата обекта не са конгруентни: те просто се наричат подобни.
Ако две фигури или предмети са конгруентни, те имат еднаква форма и размер; но могат да бъдат завъртени, преместени, отразени огледално или транслирани, така че да паснат точно на мястото на другата фигура или предмет.
Пример за конгруентност. Двата триъгълника вляво са конгруентни, а третият е подобен на тях. Последният триъгълник не е нито подобен, нито конгруентен на някой от останалите. Обърнете внимание, че конгруентността позволява промяна на някои свойства, като местоположение и ориентация, но оставя други непроменени, като разстояние и ъгли. Непроменените свойства се наричат инварианти.
Примери
- всички квадрати с еднаква дължина на страните си са конгруентни.
- всички равностранни триъгълници с еднаква дължина на страните си са конгруентни.
Тестове за конгруентност
- Два ъгъла и страната между тях са еднакви в два триъгълника (конгруентност ASA)
- Два ъгъла и страна, която не е между тях, са еднакви в двата триъгълника (конгруентност по AAS)
- И трите страни на двата триъгълника са еднакви (конгруентност на SSS)
- две страни и ъгълът между тях правят 2 триъгълника конгруентни (SAS конгруентност)
Как можем да получим нови конгруентни фигури?
Имаме доста възможности, няколко правила за създаване на нови форми, които са конгруентни с първоначалната.
- Ако изместим геометрична форма в равнината, ще получим форма, която е конгруентна на първоначалната.
- Ако завъртим, вместо да преместваме, също ще получим форма, конгруентна на първоначалната.
- Дори ако вземем огледален образ на първоначалната форма, пак ще получим конгруентна форма.
- Ако комбинираме трите дейности една след друга, пак ще получим конгруентни фигури.
- Няма повече еднакви фигури. По-точно това означава, че ако дадена форма е конгруентна с оригиналната, то тя може да бъде достигната чрез трите дейности, описани по-горе.
Връзката, че дадена форма е конгруентна с друга форма, има три известни свойства.
- Ако оставим първоначалната форма на първоначалното ѝ място, тогава тя е конгруентна със себе си. Това поведение, това свойство се нарича рефлексивност.
Например, ако горното преместване не е правилно преместване, а само преместване, което прави движение с дължина нула. Или по същия начин, ако горното завъртане не е правилно завъртане, а само завъртане с ъгъл нула.
- Ако дадена форма е конгруентна с друга форма, то тази друга форма също е конгруентна с първоначалната. Това поведение, това свойство се нарича симетрия.
Например, ако изместим назад, завъртим назад или отразим обратно новата форма към първоначалната, тогава първоначалната форма е конгруентна с новата.
- Ако форма C е конгруентна на форма B и формата B е конгруентна на оригиналната форма A, то формата C също е конгруентна на оригиналната форма A. Това поведение, това свойство се нарича транзитивност.
Например, ако първо приложим преместване, а след това завъртане, получената нова форма все още е конгруентна с оригиналната.
Известните три свойства - рефлексивност, симетрия и транзитивност - заедно създават понятието за еквивалентност. Следователно свойството конгруентност е един вид отношение на еквивалентност между фигурите на равнината.
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво означава две фигури да са конгруентни в геометрията?
О: Две фигури са конгруентни в геометрията, ако имат еднаква форма и размер или ако едната има същата форма и размер като огледален образ на другата.
В: Как две множества от точки се наричат конгруентни?
О: Две множества от точки се наричат конгруентни тогава и само тогава, когато едното може да се трансформира в другото чрез изометрия.
В: За какво се използват твърдите движения в изометрията?
О: В изометрията се използват твърди движения за преместване, завъртане или отразяване на геометрични фигури, без да се променя размерът им, така че да съвпадат точно с други обекти.
Въпрос: Могат ли две фигури да бъдат конгруентни, ако едната от тях трябва да промени размера си, за да съвпадне с другата?
О: Не, ако единият от обектите трябва да промени размера си, за да съвпадне с другия, тогава двата обекта не са конгруентни, но се наричат подобни.
Въпрос: Какво можем да кажем за конгруентността на две различни равнинни фигури върху лист хартия?
О: Две различни равнинни фигури върху лист хартия са еднакви, ако можем да ги изрежем и след това да ги съпоставим напълно, като обърнем хартията, ако е необходимо.
В: Какво представляват конгруентните многоъгълници?
О: Съвместимите многоъгълници са многоъгълници, които могат да се сгънат наполовина, за да се образува друг правилен многоъгълник, който също е съобразен.
В: Какъв е критерият, по който два обекта се наричат конгруентни в геометрията?
О: Критерият за конгруентност на два обекта в геометрията е единият обект да може да бъде преместен, завъртян или отразен така, че да съвпада точно с другия обект, без да се променя размерът му.
