Вектор (математика) — определение, свойства и примери

• Джон върви на север 20 метра. Посоката "север" заедно с разстоянието "20 метра" е вектор.
• Една ябълка пада със скорост 10 метра в секунда. Посоката "надолу" в комбинация със скоростта "10 метра в секунда" е вектор. Този вид вектор се нарича още скорост.

• Разстоянието между двете места е 10 километра. Това разстояние не е вектор, защото не съдържа посока.
• Броят на плодовете в една кутия не е вектор.
• Посочването на човек не е вектор, защото има само посока. Няма големина (например разстоянието от пръста на човека до сградата).
• Дължината на обект.
• Един автомобил се движи със скорост 100 км/ч. Това не описва вектор, тъй като има само големина, но не и посока.

• Изместването е вектор. Преместването е разстоянието, което нещо изминава в определена посока. Мярката за разстояние сама по себе си е скалар.
• Силата, която включва посока, е вектор.
• Скоростта е вектор, защото е скорост в определена посока.
• Ускорението е скоростта на изменение на скоростта. Обектът се ускорява, ако променя скоростта си или посоката си.

Добавяне на вектори на хартия по метода "от главата към опашката

Методът за събиране на вектори "от глава към опашка" е полезен за изчисляване на хартия на резултата от събирането на два вектора. За да го направите:

• Всеки вектор се рисува като стрелка с определена дължина зад нея, като всяка единица дължина на хартията представлява определена величина на вектора.
• Начертайте следващия вектор, като опашката (краят) на втория вектор се намира в главата (предната част) на първия вектор.
• Повторете това за всички следващи вектори: Начертайте опашката на следващия вектор в главата на предишния.
• Начертайте линия от опашката на първия вектор до главата на последния вектор - това е резултантът (сумата) на всички вектори.

Нарича се метод "Head to Tail", защото всяка глава от предишния вектор води до опашката на следващия.

Използване на формуляр за компонент

^{[трябва да се обясни ]}

Използването на компонентната форма за събиране на два вектора буквално означава събиране на компонентите на векторите, за да се създаде нов вектор. Например, нека a и b са два двумерни вектора. Тези вектори могат да бъдат записани в термините на техните компоненти.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Да предположим, че c е сумата от тези два вектора, така че c = a + b. Това означава, че c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Ето един пример за събиране на два вектора, като се използват техните съставни форми:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}}

Този метод работи за всички вектори, а не само за двуизмерните.

Използване на точковото произведение

Точковото произведение е един от методите за умножаване на вектори. При него се получава скалар. Използва се формата на компонента:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\&=2+12\\&=14\end{aligned}}

Използване на кръстосаното произведение

Кръстосаното произведение е друг метод за умножаване на вектори. За разлика от точковото произведение, при него се получава вектор. Използване на компонентна форма:

a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Тук | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} означава дължината на {\displaystyle \mathbf {a} } , а n {\displaystyle \mathbf {n} } е единичният вектор, разположен под прав ъгъл към двата а {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Умножаване по скалар

За да умножите вектор по скалар (нормално число), умножавате числото по всеки компонент на вектора:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Пример за това е

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\&=(15,20)\end{aligned}}}

• Аналитична геометрия
• Нулев вектор
• Единичен вектор
• Векторно поле
• Векторни графики
• Векторно пространство
• Векторно подпространство