Единичен вектор е всеки вектор, който е с дължина една единица. Единичните вектори често се записват по същия начин, както нормалните вектори, но със знак, наречен циркумфлекс над буквата (например {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } е единичният вектор на {\displaystyle \mathbf {v} }.)

За да превърнем един вектор в единичен вектор, просто трябва да го разделим на дължината му: {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\lVert \mathbf {v} \rVert }. Полученият единичен вектор ще бъде в същата посока като оригиналния вектор.




 

Формално определение

Ако v е вектор в евклидово пространство и ‖v‖ е неговата дължина (норма), то единичният вектор в посоката на v се дефинира като:

ĥv = v / ‖v‖, за v ≠ 0.

За нулевия вектор 0 нормализацията не е дефинирана, защото ‖0‖ = 0 и деление на 0 не е възможно.

Нормализиране — стъпка по стъпка

  • Изчислете дължината (евклидовата норма) на вектора: ‖v‖ = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2).
  • Разделете всеки компонент на вектора v на тази дължина.
  • Резултатът е единичен вектор с ‖ĥv‖ = 1 и със същата посока като v.

Примери

Пример 1 (в равнина): Нека v = (3, 4). Тогава ‖v‖ = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Единичният вектор е ĥv = (3/5, 4/5).

Пример 2 (в пространство): Нека v = (1, 2, 2). Тогава ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3. Единичният вектор е ĥv = (1/3, 2/3, 2/3).

Свойства и приложения

  • Единичните вектори запазват посоката на оригиналния вектор, но имат дължина 1.
  • Ако u е единичен вектор, то скаларният му квадрат е u · u = 1.
  • Единичните вектори се използват за представяне на посока в физиката (напр. направление на сила, единичен нормален вектор), за дефиниране на ортонормални базиси (напр. стандартните i, j, k в тримерното пространство) и при проекции:
  • Проекцията на вектор v върху единичен вектор u е simple: proj_u(v) = (v · u) u.
  • Набор от взаимно перпендикулярни единични вектори образува ортонормална база, което опростява преобразувания и изчисления в линейната алгебра.

Бележки и добри практики

  • Преди нормализиране проверете дали векторът не е нулев.
  • При числена работа обърнете внимание на закръгляванията при много малки норми — може да се появи числена нестабилност.
  • Често се работи с обозначения като ĥe1, ĥe2, ĥe3 или i, j, k за единични вектори по оста.

Единичните вектори са прост, но мощен инструмент за работа с посоки и проекции във векторната геометрия и приложенията ѝ в науката и техниката.