Единичен вектор — определение, нормализация и примери

Научете какво е единичен вектор, как се нормализира стъпка по стъпка и вижте ясни примери и приложения в математика и физика.

Автор: Leandro Alegsa

07-12-2025 18:28

Единичен вектор е всеки вектор, който е с дължина една единица. Единичните вектори често се записват по същия начин, както нормалните вектори, но със знак, наречен циркумфлекс над буквата (например v ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } $\mathbf {\hat {v}}$ е единичният вектор на v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ .)

За да превърнем един вектор в единичен вектор, просто трябва да го разделим на дължината му: v ^ = v / ‖ v ‖ {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\lVert \mathbf {v} \rVert } ${\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\lVert \mathbf {v} \rVert$ . Полученият единичен вектор ще бъде в същата посока като оригиналния вектор.

Формално определение

Ако v е вектор в евклидово пространство и ‖v‖ е неговата дължина (норма), то единичният вектор в посоката на v се дефинира като:

ĥv = v / ‖v‖, за v ≠ 0.

За нулевия вектор 0 нормализацията не е дефинирана, защото ‖0‖ = 0 и деление на 0 не е възможно.

Нормализиране — стъпка по стъпка

Изчислете дължината (евклидовата норма) на вектора: ‖v‖ = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2).
Разделете всеки компонент на вектора v на тази дължина.
Резултатът е единичен вектор с ‖ĥv‖ = 1 и със същата посока като v.

Примери

Пример 1 (в равнина): Нека v = (3, 4). Тогава ‖v‖ = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Единичният вектор е ĥv = (3/5, 4/5).

Пример 2 (в пространство): Нека v = (1, 2, 2). Тогава ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3. Единичният вектор е ĥv = (1/3, 2/3, 2/3).

Свойства и приложения

Единичните вектори запазват посоката на оригиналния вектор, но имат дължина 1.
Ако u е единичен вектор, то скаларният му квадрат е u · u = 1.
Единичните вектори се използват за представяне на посока в физиката (напр. направление на сила, единичен нормален вектор), за дефиниране на ортонормални базиси (напр. стандартните i, j, k в тримерното пространство) и при проекции:
Проекцията на вектор v върху единичен вектор u е simple: proj_u(v) = (v · u) u.
Набор от взаимно перпендикулярни единични вектори образува ортонормална база, което опростява преобразувания и изчисления в линейната алгебра.

Бележки и добри практики

Преди нормализиране проверете дали векторът не е нулев.
При числена работа обърнете внимание на закръгляванията при много малки норми — може да се появи числена нестабилност.
Често се работи с обозначения като ĥe1, ĥe2, ĥe3 или i, j, k за единични вектори по оста.

Единичните вектори са прост, но мощен инструмент за работа с посоки и проекции във векторната геометрия и приложенията ѝ в науката и техниката.

Стандартни базисни вектори

Три общи единични вектора са i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } $\mathbf {\hat {i}}$ , j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } $\mathbf {\hat {j}}$ и k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } $\mathbf {\hat {k}}$ , отнасящи се до триизмерните единични вектори съответно за осите x, y и z. Тези вектори се наричат стандартни базисни вектори на триизмерна декартова координатна система. Обикновено те се записват като i, j и k.

Те могат да бъдат записани по следния начин: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

За i {\displaystyle i} $i$ -тия стандартен базисен вектор на векторно пространство символът e i {\displaystyle e_{i}} $e_{i}$ (или e ^ i {\displaystyle {\hat {e}}_{i}} ${\hat {e}}_{i}$ ) може да се използва. Това се отнася за вектора с 1 в i {\displaystyle i} $i$ -тата компонента и 0 в останалите.

Свързани страници

Евклидов вектор

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е единичен вектор?

О: Единичен вектор е всеки вектор, който има дължина, равна на единица.

В: Как обикновено се записват единичните вектори?

О: Единичните вектори обикновено се записват по същия начин като нормалните вектори, но с циркумфлекс над буквата.

В: Как можете да превърнете един вектор в единичен вектор?

О: За да превърнете един вектор в единичен вектор, трябва да го разделите на дължината му.

В: Какъв ще бъде резултатът от превръщането на вектор в единичен вектор?

О: Полученият единичен вектор ще бъде в същата посока като първоначалния вектор.

Въпрос: Има ли пример за това как се записва единичен вектор?

О: Да, например v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } е записът на единичния вектор на v{\displaystyle \mathbf {v} } .

Въпрос: Могат ли всички вектори да се превърнат в единични вектори?

О: Да, всеки тип вектор може да се превърне в единичен вектор, като се раздели на дължината си.

обискирам