Разпределително свойство в алгебрата — дефиниция, свойства и примери

Разпределението е понятие от алгебрата: то показва как трябва да се обработват двоичните операции. Най-простият случай е събирането и умножението на числа. Например, в аритметиката:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), но 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

В лявата страна на първото уравнение 2 умножава сумата от 1 и 3; в дясната страна то умножава поотделно 1 и 3, като произведенията се добавят след това. Тъй като те дават един и същ краен отговор (8), се казва, че умножението с 2 се разпределя върху събирането на 1 и 3. Тъй като на мястото на 2, 1 и 3 по-горе можеше да се поставят всякакви реални числа и пак да се получи вярно уравнение, казваме, че умножението на реални числа се разпределя върху събирането на реални числа.

Дефиниция (формално)

Разпределително свойство (или просто разпределение) описва връзката между две двоични операции на едно множество. Нека имаме множество S със стойности и две операции, обозначени с + и · (или други символи). Казваме, че операцията · е ляво-разпределителна спрямо +, ако за всички a, b, c в S важи:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Операцията · е дясно-разпределителна спрямо +, ако за всички a, b, c в S важи:

(b + c) · a = (b · a) + (c · a).

Ако и двете равенства са изпълнени за всички елементи на S, казваме, че · е двустранно разпределителна спрямо + (или просто: · се разпределя над +).

Свойства и последици

Разширяване и събиране: Разпределителното свойство позволява разтваряне на скоби и събирането на подобни членове (пример: FOIL метод за полиноми).
Свързаност с други структури: В пръстени и полета обикновено едната операция (умножение) е разпределителна спрямо другата (събиране). В ринговете и полетата разпределителността е изискване за дефиниране на структурата.
Незадължителност: Разпределителност не следва автоматично от останалите свойства (асоциативност, комутативност и т.н.). Има структури, в които една операция не се разпределя над друга или където разпределителността е само от едната страна.
Комутативност не е задължителна: Дори ако · не е комутативна (пример: матрично умножение), то може да бъде и ляво, и дясно разпределително спрямо събирането.

Примери

Числа (реални, рационални, комплексни): Стандартното умножение се разпределя върху събирането:
(a + b)·c = a·c + b·c и c·(a + b) = c·a + c·b, за всички реални a, b, c.
Полиноми: Умножението на полиноми се разпределя спрямо събирането; това е основата на умножаването на многочлени и на разложение на изрази.
Векторни пространства: Скалярното умножение е разпределително спрямо векторното събиране:
α (u + v) = αu + αv и (α + β) u = αu + βu.
Матрици: Умножението на матрици се разпределя спрямо суми от матрици както отляво, така и отдясно:
A (B + C) = A B + A C и (B + C) A = B A + C A (при подходящи размерности).
Булева алгебра: Операциите AND (∧) и OR (∨) са разпределителни една спрямо друга:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) и a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Примери, където няма разпределение

Деление: Делението не се разпределя върху събирането. Например:
2 / (1 + 3) = 0.5, но (2 / 1) + (2 / 3) ≈ 2 + 0.666... = 2.666... — неравенство.
Изваждане: Изваждането не е разпределително върху събирането в общия случай:
a - (b + c) = a - b - c, но (a - b) + (a - c) = 2a - b - c ≠ a - (b + c) в общия случай.
Композиране на функции: Обикновено композицията на функции не е разпределителна спрямо събирането или други операции, освен в специални случаи.

Кога едностранната разпределителност е важна

В некомутиращи структури (като някои алгебрични операции) може да имаме само лява или само дясна разпределителност. Това е важно при дефиниране на определени алгебрични системи (напр. полукръгове, полупръстени), където се посочва дали разпределителността е лява, дясна или и двете.

Практическо значение

Разпределителното свойство е в основата на много техники за опростяване и преобразуване на алгебрични изрази: разнасяне на множител, факторизация, умножение на многочлени, решаване на уравнения и симплификация на изчисления. Разбирането кои операции са разпределителни и при какви условия помага да се избегнат грешки в сметки и доказателства.

Ключова идея: разпределителността позволява да "разнасяме" една операция през друга (обикновено умножение през събиране), но това не е присъщо за всички операции — винаги е важно да се проверява свойството в конкретната алгебрична структура.

Определение

При дадено множество $S$ и два двоични оператора ∗ и + върху $S$ казваме, че операцията:

∗ е ляводистрибутивно над +, ако при дадени елементи $x, y$ и $z$ от $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ е дяснодистрибутивно над +, ако при дадени елементи $x, y$ и $z$ от $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ и

∗ е дистрибутивно над +, ако е ляво- и дясно-дистрибутивно. Забележете, че когато ∗ е комутативна, горните три условия са логически еквивалентни.

Приложения

Разпределителното свойство може да се приложи и за:

Реални числа
Комплексни числа
Матрици (прилагат се специални правила)
Вектори (прилагат се специални правила)
Задава
Пропозиционална логика

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява разпределението в алгебрата?

О: Разпределението е понятие в алгебрата, което описва как се извършват двоични операции като събиране и умножение.

В: Можете ли да дадете пример за разпределение в аритметиката?

О: Да, пример за разпределение в аритметиката е 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), където от лявата страна 2 умножава сумата от 1 и 3, а от дясната страна 2 умножава 1 и 3 поотделно, като произведенията се събират след това.

Въпрос: Защо понятието за разпределение е важно в алгебрата?

О: Понятието за разпределение е важно в алгебрата, защото помага за опростяване на уравненията и улеснява решаването им.

Въпрос: Разпределя ли се умножението спрямо събирането на всички реални числа?

О: Да, умножението на реални числа се разпределя върху събирането на реални числа, което означава, че на мястото на стойностите в уравнението, използвано за примера за разпределение в аритметиката, може да се поставят всякакви реални числа и пак да се получи вярно уравнение.

Въпрос: Във всички случаи ли събирането е по-разпространяващо от умножението?

О: Не, събирането не е разпределително спрямо умножението във всички случаи; това е вярно само за определени множества от числа, като например реалните числа.

В: Можете ли да дадете пример, в който разпределението не е вярно?

О: Да, пример, при който разпределението не е вярно, е 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). В този случай уравнението от лявата страна не е равно на уравнението от дясната страна, защото делението не се разпределя спрямо събирането.

Въпрос: Как разпределението се прилага при двоичните операции?

О: Разпределението в алгебрата се прилага конкретно за двоични операции като събиране и умножение, където описва как да се извършват операциите, когато има повече от един операнд.