Матрица (математика): определение, видове и основни операции

Разберете матриците: определение, видове, основни операции и правила за събиране, умножение и приложения в линейна алгебра, науки и компютърни науки.

Автор: Leandro Alegsa

09-10-2025 12:08

В математиката матрица (мн.ч. матрици) е правоъгълна таблица от числа, подредени в редове и колони. Редовете се четат хоризонтално (отляво надясно), а колоните — вертикално (отгоре надолу). Горната лява клетка обикновено се обозначава като ред 1, колона 1 (i = 1, j = 1); индексът на произволен елемент се отбелязва с aij — елементът на i‑тия ред и j‑тата колона (вижте диаграмата).

Матриците обикновено се означават с главни букви, например A {\displaystyle A} $A$ , B {\displaystyle B} $B$ и C {\displaystyle C} $C$ . Съществуват ясни правила за събиране, изваждане и "умножаване" на матрици, които се различават от тези за обикновените числа. Например произведението A B {\displaystyle AB} $AB$ не винаги е равно на B A {\displaystyle BA} $BA$ (умножението на матрици е обикновено некомутативно). Матрица може да бъде и едноизмерна (ред–вектор или колона–вектор) или да има по-голям брой измерения (напр. тензор), но в класическата линейна алгебра говорим предимно за двумерни таблици.

Нотация и размерности

Ако матрица A има m реда и n колони, казваме, че размерът ѝ е m × n (четете “m на n”).

Редовият вектор е матрица с 1 ред и n колони (1 × n).
Колонният вектор е матрица с m реда и 1 колона (m × 1).
Квадратна матрица е тази с равен брой редове и колони (n × n) — за нея имат смисъл понятия като детерминанта и обратна матрица.

Видове матрици (често срещани)

Нулева матрица — всички елементи са нули.
Единична (идентична) матрица I — квадратна матрица с 1 на диагонала и 0 извън него; неутрален елемент за умножение.
Диагонална матрица — всички елементи извън главния диагонал са нули.
Триъгълна (горна/долна) — всички елементи под (или над) диагонала са нули.
Симетрична матрица — A = A^T (за реални матрици елементите са огледално равни).
Ортонормална/ортогонална — Q^T Q = I (за реални матрици колони/редове са ортонормални вектори).
Разрежена (sparse) — повечето елементи са нули; използва се в изчислителни приложения.

Основни операции

Събиране и изваждане — възможни само за матрици със същата размерност; извършва се елемент по елемент: (A ± B)ij = Aij ± Bij.
Умножение със скалар — всеки елемент се умножава по това число.
Умножение на матрици — ако A е m × n и B е n × p, тогава произведението AB е m × p. Елементът (AB)ij се получава като сума от произведения: (AB)ij = sum over k от 1 до n на Aik · Bkj. За да може да умножим A и B, броят на колоните на A трябва да съвпада с броя на редовете на B. В резултат умножението обикновено не е комутативно (AB ≠ BA).
Транспониране — A^T е матрица, получена чрез обръщане на редовете и колоните: (A^T)ij = Aji.
Детерминанта — дефинирана само за квадратни матрици; дава мярка за обратимостта (det(A) ≠ 0 ⇔ A има обратна матрица).
Обратна матрица — за квадратна матрица A с обрат A^−1 е вярно: A A^−1 = A^−1 A = I. Обратна матрица съществува само за невзаимно изключващи (незасичащи) матрици с det(A) ≠ 0.
Ранг — максималният брой линейно независими редове или колони; важен за решаването на линейни системи.
Следа (trace) — сумата от диагоналните елементи на квадратна матрица; трaс е инвариант при сходства.

Основни свойства

Ассоциативност за умножение: (AB)C = A(BC) (когато размерностите позволяват).
Дистрибутивност: A(B + C) = AB + AC и (A + B)C = AC + BC.
За транспониране: (AB)^T = B^T A^T.
За детерминанта: det(AB) = det(A) · det(B) (за квадратни матрици).
Ако A е обратима, тогава (A^−1)^T = (A^T)^−1.

Приложения

Матриците са основен инструмент във много области:

Решаване на линейни системи от уравнения (Ax = b) — чрез методи като елиминация, инверсна матрица или факторизации (LU, QR).
Линейни трансформации и геометрични преобразования — в компютърна графика, роботика и 3D моделиране.
Статистика и машинно обучение — ковариационни матрици, модели на регресия, невронни мрежи и др.
Физика и инженерство — системи от уравнения, моделиране на динамика, анализ на сигнали.
Маркови вериги и модели на вероятности — матриците на преходи.

Къде се изучават матриците

В много природни и технически науки матриците са повсеместни. В университетските програми курсовете за матрици и линейна алгебра (линейна алгебра) обикновено се преподават рано в обучението. Матриците също са ключови в компютърните науки, инженерните науки, физиката, икономиката и статистиката.

За по-задълбочено изучаване е полезно да се запознаете с понятия като собствените стойности и собствените вектори (eigenvalues и eigenvectors), ортогонални проекции, факторизации (LU, QR, SVD) и алгоритми за числено решаване на големи матрични задачи.

Конкретните записи на матрица често се посочват чрез използване на двойки индекси за числата на всеки от редовете и колоните.

Определения и означения

Хоризонталните линии в една матрица се наричат редове, а вертикалните - колони. Матрица с m реда и n колони се нарича m-by-n матрица (или m×n матрица), а m и n се наричат нейните размери.

Местата в матрицата, където се намират числата, се наричат входове. Входът на матрица A, който се намира в ред с номер i и колона с номер j, се нарича вход i,j на A. Той се записва като A[i,j] или a_i,j .

Записваме A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ , за да дефинираме m × n матрица A, като всеки запис в матрицата се нарича_i,j за всички 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n.

Пример:

Матрицата

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

е матрица 4×3. Тази матрица има m=4 реда и n=3 колони.

Елементът A[2,3] или a_2,3 е 7.

Операции

Добавяне

Сумата на две матрици е матрицата, чийто (i,j)-ти запис е равен на сумата от (i,j)-тите записи на две матрици:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Двете матрици са с еднакви размери. Тук A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ е вярно (и е вярно по принцип за матрици с еднакви размери).

Умножение на две матрици

Умножението на две матрици е малко по-сложно:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}$

Така е и с числата:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\края{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

Две матрици могат да бъдат умножени една с друга, дори да имат различни размери, стига броят на колоните в първата матрица да е равен на броя на редовете във втората матрица.
Резултатът от умножението, наречен произведение, е друга матрица със същия брой редове като първата матрица и същия брой стълбове като втората матрица.
Умножението на матрици не е комутативно, което означава, че в общия случай A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} $AB\neq BA$ .
Умножението на матриците е асоциативно, което означава, че ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} $(AB)C=A(BC)$ .

Специални матрици

Има някои специални матрици.

Квадратна матрица

Квадратната матрица има същия брой редове като стълбове, така че m=n.

Пример за квадратна матрица е

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Тази матрица има 3 реда и 3 колони: m=n=3.

Идентичност

Всяко квадратно размерно множество на матрица има специален аналог, наречен "матрица на идентичността", представен със символа I {\displaystyle I} . Идентичната матрица има само нули, освен по главния диагонал, където има само единици. Например:

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

е идентична матрица. Има точно една идентична матрица за всяко квадратно измерение. Матрицата на идентичността е специална, защото при умножаване на която и да е матрица по матрицата на идентичността, резултатът винаги е оригиналната матрица без промяна.

Обратна матрица

Инверсна матрица е матрица, която, умножена по друга матрица, е равна на идентичната матрица. Например:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ е обратното на [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

Формулата за обратната стойност на матрица 2х2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}$ е:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}} $\left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Където det {\displaystyle \det } $\det$ е детерминантата на матрицата. За матрица 2х2 детерминантата е равна на:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}} ${xv-yz}$

Едноколонна матрица

Матрица, която има много редове, но само един стълб, се нарича стълбов вектор.

Детерминанти

Детерминантата взема квадратна матрица и изчислява просто число - скалар. За да разберете какво означава това число, вземете всяка колона от матрицата и я нарисувайте като вектор. Паралелограмът, съставен от тези вектори, има площ, която е детерминантата. За всички 2х2 матрици формулата е много проста: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

За матрици 3х3 формулата е по-сложна: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Няма прости формули за детерминантите на по-големи матрици и много програмисти изучават как да накарат компютрите бързо да намират големи детерминанти.

Свойства на детерминантите

Има три правила, които всички детерминанти следват. Те са:

Детерминантата на една идентична матрица е 1
Ако се разменят два реда или две колони на матрицата, детерминантата се умножава по -1. Математиците наричат това редуване.
Ако всички числа в един ред или колона се умножат по друго число n, тогава детерминантата се умножава по n. Също така, ако една матрица M има колона v, която е сума от две колонични матрици v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ и v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ , тогава детерминантата на M е сумата от детерминантите на M с v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ на мястото на v и M с v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ на мястото на v. Тези две условия се наричат мултилинейност.

Свързани страници

Детерминанта
Собствени стойности и собствени вектори
Матричен анализ
Матрична функция
Числена линейна алгебра
Система от линейни уравнения
Транспониране

Въпроси и отговори

В: Какво е матрица?

О: Матрицата е правоъгълник от числа, подредени в редове и колони. Редовете са по една линия отляво надясно (хоризонтално), а колоните вървят отгоре надолу (вертикално).

В: Как се представят матриците?

О: Матриците често се представят с главни римски букви, например A, B и C.

В: Какво се случва, когато умножите две матрици заедно?

О: Произведението AB не винаги дава същия резултат като BA, което е различно от умножаването на обикновени числа.

В: Може ли една матрица да има повече от две измерения?

О: Да, една матрица може да има повече от две измерения, като например 3D матрица. Тя може да бъде и едноизмерна, като един ред или колона.

В: Къде се използват матриците?

О: Матриците се използват в много природни и компютърни науки, инженерство, физика, икономика и статистика.

В: Кога в университетите се преподават курсове за матрици?

О: Обикновено в университетите се преподават курсове за матрици (обикновено наричани линейна алгебра) много рано - понякога дори през първата година на обучението.

В: Възможно ли е да се събират или изваждат матрици?

О: Да - има правила за събиране и изваждане на матрици, но те се различават от тези за обикновените числа.

обискирам