Детерминанта на матрица — определение, свойства и как се изчислява

Има няколко начина да се разбере какво казва детерминантата за дадена матрица.

Геометрично тълкуване

Една n × n {\displaystyle n\times n} матрица може да се разглежда като описваща линейна карта в n {\displaystyle n} измерения. В този случай детерминантата показва коефициента, с който тази матрица мащабира (увеличава или свива) дадена област от n {\displaystyle n} -измерното пространство.

Например, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} матрица A {\displaystyle A} , разглеждана като линейна карта, ще превърне квадрат в двуизмерното пространство в паралелограм. Площта на този паралелограм ще бъде det ( A ) {\displaystyle \det(A)} пъти по-голяма от площта на квадрата.

По същия начин една матрица 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B} , разглеждана като линейна карта, ще превърне куб в триизмерното пространство в паралелепипед. Обемът на този паралелепипед ще бъде det ( B ) {\displaystyle \det(B)} пъти по-голям от обема на куба.

Детерминантата може да бъде отрицателна или нулева. Линейната карта може да разтяга и мащабира даден обем, но може и да го отразява по ос. Винаги когато това се случи, знакът на детерминантата се променя от положителен в отрицателен или от отрицателен в положителен. Отрицателен детерминант означава, че обемът е бил отразен върху нечетен брой оси.

"Тълкуване на система от уравнения"

Може да се мисли, че матрицата описва система от линейни уравнения. Тази система има уникално нетривиално решение, точно когато детерминантата не е 0 (нетривиално означава, че решението не е просто всички нули).

Ако детерминантата е равна на нула, тогава или няма уникално нетривиално решение, или има безкрайно много такива.

Една матрица има обратна матрица точно тогава, когато детерминантата ѝ не е 0. По тази причина матрица с ненулев детерминант се нарича инвертируема. Ако детерминантата е 0, тогава матрицата се нарича неинвертируема или сингулярна.

От геометрична гледна точка може да се мисли за сингулярна матрица като за "сплескване" на паралелепипед в паралелограм или на паралелограм в линия. Тогава обемът или площта е 0, което означава, че няма линейна карта, която да върне старата форма.

Има няколко начина за изчисляване на детерминанта.

Формули за малки матрици

• За матрици 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} и 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} важат следните прости формули:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

• За матрици 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} формулата е:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

За запомняне на тази формула може да се използва правилото на Сарус (вж. изображението).

Разширяване на кофакторите

За по-големи матрици детерминантата се изчислява по-трудно. Един от начините за това се нарича кофакторно разширение.

Да предположим, че имаме n × n {\displaystyle n\times n} матрица A {\displaystyle A} . Първо, избираме произволен ред или колона от матрицата. За всяко число a i j {\displaystyle a_{ij}} в този ред или колона изчисляваме нещо, наречено негов кофактор C i j {\displaystyle C_{ij}} . Тогава det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

За да се изчисли такъв кофактор C i j {\displaystyle C_{ij}} , изтриваме ред i {\displaystyle i} и колона j {\displaystyle j} от матрицата A {\displaystyle A} . Така получаваме по-малка ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} матрица. Наричаме я M {\displaystyle M} . Тогава кофакторът C i j {\displaystyle C_{ij}} е равен на ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Ето един пример за кофакторно разширение на левия стълб на матрица 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} :

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}}

Както беше показано по-горе, може да се опрости изчисляването на детерминантата, като се избере ред или колона, в които има много нули; ако a i j {\displaystyle a_{ij}} е 0, тогава може да се пропусне изчисляването на C i j {\displaystyle C_{ij}} .

• Инвертируема матрица
• Обем