Детерминанта на матрица — определение, свойства и как се изчислява

Детерминантата на квадратна матрица е скалар (число), който показва как се държи тази матрица. Той може да се изчисли от числата в матрицата.

Детерминантата на матрицата A {\displaystyle A} $A$ се записва като det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ или | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ във формула. Понякога вместо det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right)} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ и | [ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ , просто се пише det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}} $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ и | a b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$ .

Определение и геометричен смисъл

Детерминантата на квадратна матрица от ред n е число, което описва колко и по какъв начин матрицата променя обеми в n‑измерното пространство. За пример, ако A е n×n матрица и S е измерима част от R^n, то обемът на образа A(S) е |det(A)| пъти обема на S; знакът на детерминантата показва дали ориентацията се запазва (положителна детерминанта) или се обръща (отрицателна).

Означения

det(A) — детерминант на A (виж горе: $\det(A)$ ).
|A| — друг често използван символ за детерминанта (виж: $|A|$ ).

Как се изчислява (методи)

Матрица 2×2: Ако A = [a b; c d], детерминантата е ad − bc. (По-горе са показани еквивалентните означения чрез изображения: $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ и $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$ .)
Матрица 3×3 — правило на Сарус: За матрица [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33] детерминантата може да се намери, като се сумират произведенията по главните диагонали и се извадят произведенията по обратните диагонали. (Може да се намери лесно в учебниците; за по‑големи размери се използват по-долу описаните методи.)
Разлагане по ред/колона (Лапласова експанзия): Избира се ред или колона; детерминантата е сума от елементите на реда (или колоната), умножени по съответните кофактори (± множители и (n−1)×(n−1) детерминанти). Това е удобно за ръчно изчисление при ред/колона със много нули.
Гаусова елиминация до горно триъгълна форма: При редукция до горно триъгълна матрица U с елементи на диагонала p1,...,pn, детерминантата на оригиналната матрица A е продуктът p1·...·pn, умножен по −1 на всяка размяна на редове и коригиран за евентуални множителни коефициенти при скалиране на редовете. Това е ефективен числен метод за големи матрици.

Основни свойства

det(I) = 1, където I е единичната матрица.
det(A B) = det(A) · det(B) (мултипликативност).
det(A^T) = det(A) (детерминантата не се променя при транспониране).
Ако A е обратима, то det(A^{-1}) = 1 / det(A).
Смяна на два реда променя знака на детерминантата (умножава по −1).
Умножаване на един ред (или колона) на матрицата с константа k умножава детерминантата с k. Следователно, ако се умножи цялата n×n матрица A с k (всички елементи), тогава det(kA) = k^n det(A).
Ако матрицата има ред (или колона) от нули, детерминантата е 0.
Детерминантата на диагонална или горна/долна триъгълна матрица е произведението от елементите на главната диагонала.
Ако някой ред е линеен комбинационен от други редове, то детерминантата е 0 (непълна рангова матрица).

Допълнителни характеристики и понятия

Знак и ориентация: Положителна детерминанта означава запазване на ориентацията, отрицателна — обръщане.
Пермутационна формула: Детерминантата може да се дефинира чрез сума по всички пермутации на редове/колони, всяка умножена по знак (параитета) на пермутацията и продукт на съответните елементи (формула на Leibniz). Тази дефиниция е теоретично важна, но не е практична за изчисления при големи n поради факториален ръст на термини.
Блокови матрици: В някои случаи детерминантата на блокова матрица може да се изчисли чрез формули за блокове (например когато някои блокове са нулеви или блоковете се комутират), но това изисква допълнителни условия.

Пример

За да илюстрираме: A = [[1, 2], [3, 4]]. Тук det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Това означава, че A намалява ориентираните площи с фактор 2 и обръща ориентацията.

Какво да запомните

Детерминантата е скаларна характеристика на квадратна матрица, свързана с мащабиране на обеми и ориентация.
det(A) = 0 точно когато A не е обратима (сингулярна).
За практически изчисления на големи матрици се използва Гаусова елиминация и произведение на диагоналните елементи, с внимание към знака при размяна на редове.

Тълкуване

Има няколко начина да се разбере какво казва детерминантата за дадена матрица.

Геометрично тълкуване

Една n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ матрица може да се разглежда като описваща линейна карта в n {\displaystyle n} измерения. В този случай детерминантата показва коефициента, с който тази матрица мащабира (увеличава или свива) дадена област от n {\displaystyle n} -измерното пространство.

Например, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ матрица A {\displaystyle A} $A$ , разглеждана като линейна карта, ще превърне квадрат в двуизмерното пространство в паралелограм. Площта на този паралелограм ще бъде det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ пъти по-голяма от площта на квадрата.

По същия начин една матрица 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ B {\displaystyle B} $B$ , разглеждана като линейна карта, ще превърне куб в триизмерното пространство в паралелепипед. Обемът на този паралелепипед ще бъде det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ пъти по-голям от обема на куба.

Детерминантата може да бъде отрицателна или нулева. Линейната карта може да разтяга и мащабира даден обем, но може и да го отразява по ос. Винаги когато това се случи, знакът на детерминантата се променя от положителен в отрицателен или от отрицателен в положителен. Отрицателен детерминант означава, че обемът е бил отразен върху нечетен брой оси.

"Тълкуване на система от уравнения"

Може да се мисли, че матрицата описва система от линейни уравнения. Тази система има уникално нетривиално решение, точно когато детерминантата не е 0 (нетривиално означава, че решението не е просто всички нули).

Ако детерминантата е равна на нула, тогава или няма уникално нетривиално решение, или има безкрайно много такива.

За 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ матрица [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , детерминантата е площта на паралелограма. (Площта е равна на a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Сингулярни матрици

Една матрица има обратна матрица точно тогава, когато детерминантата ѝ не е 0. По тази причина матрица с ненулев детерминант се нарича инвертируема. Ако детерминантата е 0, тогава матрицата се нарича неинвертируема или сингулярна.

От геометрична гледна точка може да се мисли за сингулярна матрица като за "сплескване" на паралелепипед в паралелограм или на паралелограм в линия. Тогава обемът или площта е 0, което означава, че няма линейна карта, която да върне старата форма.

Изчисляване на детерминанта

Има няколко начина за изчисляване на детерминанта.

Формули за малки матрици

За матрици 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ и 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ важат следните прости формули:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.} $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

За матрици 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ формулата е:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

За запомняне на тази формула може да се използва правилото на Сарус (вж. изображението).

Разширяване на кофакторите

За по-големи матрици детерминантата се изчислява по-трудно. Един от начините за това се нарича кофакторно разширение.

Да предположим, че имаме n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ матрица A {\displaystyle A} $A$ . Първо, избираме произволен ред или колона от матрицата. За всяко число a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ в този ред или колона изчисляваме нещо, наречено негов кофактор C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ . Тогава det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

За да се изчисли такъв кофактор C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ , изтриваме ред i {\displaystyle i} $i$ и колона j {\displaystyle j} $j$ от матрицата A {\displaystyle A} $A$ . Така получаваме по-малка ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ матрица. Наричаме я M {\displaystyle M} $M$ . Тогава кофакторът C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ е равен на ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Ето един пример за кофакторно разширение на левия стълб на матрица 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ :

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Както беше показано по-горе, може да се опрости изчисляването на детерминантата, като се избере ред или колона, в които има много нули; ако a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ е 0, тогава може да се пропусне изчисляването на C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .

Формулата за детерминанта 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ е сума от продукти. Тези продукти се движат по диагоналите, които "заобикалят" към върха на матрицата. Този трик се нарича Правило на Сарус.

Свързани страници

Инвертируема матрица
Обем

Въпроси и отговори

В: Какво е детерминанта?

О: Детерминантата е скалар (число), който показва как се държи една квадратна матрица.

В: Как може да се изчисли детерминантата на една матрица?

О: Детерминантата на матрицата може да се изчисли от числата в матрицата.

В: Как се записва детерминантата на матрица?

О: Детерминантата на една матрица се записва като det(A) или |A| във формула.

В: Има ли други начини за записване на детерминантата на матрица?

О: Да, вместо det([a b c d]) и |[a b c d]|, може просто да се напише det [a b c d] и |[a b c d]|.

В: Какво означава, когато казваме "скалар"?

О: Скаларът е отделно число или величина, която има големина, но няма посока.

В: Какво представляват квадратните матрици?

О: Квадратните матрици са матрици с равен брой редове и колони, като например матрици 2х2 или 3х3.