Паралелепипед — определение, видове и свойства в геометрията

Свойства

Всяка от трите двойки успоредни повърхности може да се разглежда като основна равнина на призмата. Паралелепипедът има три набора от по четири успоредни ръба; ръбовете във всеки набор са с еднаква дължина.

Паралелепипедите са резултат от линейни трансформации на куб (за недегенерираните случаи: биективните линейни трансформации).

Тъй като всяко лице има точкова симетрия, паралелепипедът е зоноедър. Също така целият паралелепипед има точкова симетрия _{Ci (}вж. също триклинен). Всяко лице, гледано отвън, е огледален образ на противоположното лице. По принцип лицата са хирални, но паралелепипедът не е.

Възможно е да се получи теселация, запълваща пространството, с конгруентни копия на всеки паралелепипед.

Том

Обемът на паралелепипед е произведение от площта на основата A и височината h. Основата е всяка от шестте страни на паралелепипеда. Височината е перпендикулярното разстояние между основата и срещуположната страна.

Алтернативен метод определя векторите a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) и c = (c1, c2, c3), за да представи три ръба, които се срещат в един връх. Тогава обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на скаларното тройно произведение a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Това е вярно, защото, ако изберем b и c за краища на основата, площта на основата по дефиниция на кръстосаното произведение (вж. геометричното значение на кръстосаното произведение) е равна на площта на основата,

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \дясно|\ляво|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \право|,}

където θ е ъгълът между b и c, а височината е

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

където α е вътрешният ъгъл между a и h.

От фигурата можем да заключим, че големината на α е ограничена до 0° ≤ α < 90°. Напротив, векторът b × c може да образува с a вътрешен ъгъл β, по-голям от 90° (0° ≤ β ≤ 180°). А именно, тъй като b × c е успореден на h, стойността на β е или β = α, или β = 180° - α. Така че

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

и

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Стигаме до заключението, че

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \ пъти \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

което по дефиниция на скаларното (или точковото) произведение е равно на абсолютната стойност на a - (b × c), Q.E.D.

Последният израз е еквивалентен и на абсолютната стойност на детерминантата на триизмерна матрица, построена с редове (или колони) a, b и c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Това се намира, като се използва правилото на Крамер за три намалени двуизмерни матрици, намерени от оригинала.

Ако a, b и c са дължините на ръбовете на паралелепипеда, а α, β и γ са вътрешните ъгли между ръбовете, обемът е

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Съответстващ тетраедър

Обемът на всеки тетраедър, който има три допиращи се ръба на паралелепипед, е равен на една шеста от обема на този паралелепипед (вж. доказателството).

Специални случаи

При паралелепипедите с равнина на симетрия има два случая:

• има четири правоъгълни повърхности
• тя има две ромбовидни страни, а от останалите страни две съседни са равни и другите две също (двете двойки са огледални образи).

Вижте също моноклинно.

Правоъгълен кубоид, наричан още правоъгълен паралелепипед или понякога просто кубоид, е паралелепипед, чиито всички стени са правоъгълни; кубът е кубоид с квадратни стени.

Ромбоедърът е паралелепипед с всички ромбовидни повърхности; триъгълният трапец е ромбоедър със съвпадащи ромбовидни повърхности.

Съвършен паралелепипед

Съвършеният паралелепипед е паралелепипед с цели дължини на ръбовете, лицевите диагонали и пространствените диагонали. През 2009 г. е доказано съществуването на десетки съвършени паралелепипеди, което дава отговор на открит въпрос на Ричард Гай. Един пример има ръбове 271, 106 и 103, малки лицеви диагонали 101, 266 и 255, големи лицеви диагонали 183, 312 и 323 и пространствени диагонали 374, 300, 278 и 272.

Известни са някои съвършени паралелопипеди с две правоъгълни лица. Но не е известно дали съществуват такива, при които всички лица са правоъгълни; такъв случай би се нарекъл съвършен кубоид.

Parallelotope

Кокстетър нарича обобщението на паралелепипеда в по-големи измерения паралелотоп.

Конкретно в n-мерното пространство той се нарича n-мерен паралелот или просто n-паралелот. Така паралелограмът е 2-паралелот, а паралелепипедът е 3-паралелот.

По-общо казано, паралелотът или паралелотът на Вороной има успоредни и съвпадащи противоположни страни. Така 2-паралелотоп е паралелотон, който може да включва и някои шестоъгълници, а 3-паралелотоп е паралелоедър, включващ 5 вида полиедри.

Диагоналите на n-паралелота се пресичат в една точка и са пресечени от тази точка. Преобръщането в тази точка оставя n-паралелота непроменен. Вижте също фиксирани точки на изометрични групи в евклидовото пространство.

Ребрата, излъчващи се от един връх на k-паралелота, образуват k-рамка ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} от векторното пространство и паралелотът може да се възстанови от тези вектори, като се вземат линейни комбинации на векторите с тегла между 0 и 1.

n-обемът на n-паралелота, вграден в R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, където m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, може да се изчисли с помощта на детерминантата на Грам. Алтернативно, обемът е нормата на външното произведение на векторите:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Ако m = n, това е абсолютната стойност на детерминантата на n вектора.

Друга формула за изчисляване на обема на n-паралелота P в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , чиито n + 1 върха са V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , е

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

където [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} е редовият вектор, образуван от конкатенацията на V i {\displaystyle V_{i}} и 1. Всъщност детерминантата не се променя, ако [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} се извади от [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0), а поставянето на [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} на последната позиция променя само знака му.

По същия начин обемът на всеки n-образен комплекс, който има n сходящи ръба на паралелотоп, има обем, равен на 1/n! от обема на този паралелотоп.

Лексикография

Думата се появява като parallelipipedon в превода на Елементи на Евклид на сър Хенри Билингсли от 1570 г. В изданието на своя Cursus mathematicus от 1644 г. Пиер Еригон използва изписването parallelepipedum. В Оксфордския речник на английския език днешният паралелепипед е цитиран за първи път в Chorea gigantum на Уолтър Чарлтън (1663 г.).

В речника на Чарлз Хътън (1795 г.) се срещат паралелопипед и паралелопипедон, което показва влиянието на комбинираната форма паралело-, сякаш вторият елемент е пипедон, а не епипедон. Ноа Уебстър (1806 г.) включва изписването parallelopiped. В изданието на Оксфордския речник на английския език от 1989 г. паралелопипед (и паралелипипед) са описани изрично като неправилни форми, но в изданието от 2004 г. те са посочени без коментар и е дадено само произношение с ударение върху петата сричка пи (/паɪ/).

Отказът от традиционното произношение е скрил различното разделение, което предполагат гръцките корени, като epi- ("на") и pedon ("земя") се комбинират, за да се получи epiped, плоска "равнина". По този начин страните на паралелепипеда са равнинни, като противоположните страни са успоредни.