Елементи на Евклид — основополагаща книга по евклидова геометрия и числа

Елементи на Евклид (понякога: Елементи, на гръцки: Στοιχεῖα Stoicheia) е голям комплект от математически книги по геометрия, съставен от древногръцкия математик Евклид (ок. 325 г. пр.н.е.–265 г. пр.н.е.) в Александрия около 300 г. пр.н.е. Комплектът съдържа 13 тома (или книги), обикновено номерирани I–XIII, и често е отпечатван като отделни физически книги, а не като един том. На латински трудът е известен като "Euclidis Elementorum" и е най-влиятелният и най-широко разпространеният математически текст от античността.

Съдържание и структура

В основата на Елементите стоят дефиниции, постулати (аксиоми) и логически доказателства. Евклид започва с малък набор от основни постулати и общи понятия и от тях извежда голямо количество теореми. Книгите покриват:

• Елементарна планиметрия — свойства на линии, ъгли, триъгълници, многоъгълници и окръжности.
• Теория на числата — делимост, простите числа, най-голям общ делител и други резултати.
• Конични сечения и перспектива — в по-късните книги има материали за конуси и перспективни проекции.
• Сферична геометрия и възможно описание на квадрични повърхнини в някои откъси.

Главни идеи и метод

Евклидовият метод е аналитичен и аксиоматичен: той приема няколко очевидни истини (напр. "чрез две точки може да се построи права линия") и ги използва, за да докаже по-сложни твърдения. Най-известна е т.нар. пета постулата — постулатът за паралелите — който гласи накратко, че през точка извън дадена права може да се прокара единствена права, която не пресича първата (паралелна на нея). Няколко века този постулат е бил считан за по-малко "очевиден" и е предизвиквал много опити за доказване от останалите постулати, което в крайна сметка довежда до откритието на неевклидовите геометрии през XIX век.

Евклидов алгоритъм и теория на числата

Включените в Елементите резултати по теория на числата са важни и до днес. Евклид формулира метода за намиране на най-големите общи делители чрез последователно деление (днешният "Евклидов алгоритъм"), както и доказателства за безкрайността на простите числа и свойства на взаимно прости числа. В текста също се разглеждат отношението между квадрати и други числови конструкции.

Влияние, преводи и редакции

Елементите са били основен учебник по геометрия в Европа и Близкия изток за повече от две хилядолетия. Трудът е превеждан многократно — на латински, арабски, и впоследствие на съвременни езици — и е подложен на множество редакции, коментари и илюстрирани издания. Учените от различни епохи са го използвали като еталон за строго логическо изложение и доказателствен стил. Много училищни и университетски курсове по геометрия до XX век (и частично и днес) почиват върху схемата и съдържанието на Евклида.

Историческо значение и критика

Исторически Елементите са поставили стандарт за математическа яснота и строга дедукция. Въпреки това, част от материалите в книгите не винаги са оригинални открития на Евклид — той често е систематизирал и подредил резултати, събрани от предшественици като Питагорейците и Аполоний. Също така, по-късните математици установяват, че някои аргументи в текста се нуждаят от по-строги формулировки на аксиомите (особено при пресичания и равенства), което спомага за развитието на модерната аксиоматична теория.

Наследство

Днес системата от идеи, изложена в Елементите, се нарича евклидова геометрия — за да се различава от неевклидовите геометрии, които математиката открива през XIX век. Независимо от това, Евклидовият подход остава ценен за обучение по логическо мислене, формулиране на доказателства и разбирането на базови геометрични и числови понятия.

Издания

• 1460-те години, Regiomontanus (непълно)
• 1533 г., editio princeps на Simon Grynäus
• 1557 г., от Жан Маниен и Пиер дьо Мондоре, прегледан от Стефан Грацилис (само предложения, без пълни доказателства, включва гръцкия оригинал и латинския превод)
• 1572, Commandinus
• 1574 г., Кристоф Клавий

Преводи

• 1505 г., Bartolomeo Zamberti (латински)
• 1543 г., Venturino Ruffinelli (Италиански)
• 1555 г., Johann Scheubel (Германия)
• 1557 г., Жан Мание и Пиер дьо Мондоре, рецензиран от Стефан Грацилис (от гръцки на латински)
• 1562 г., Jacob Kündig (Германия)
• 1564 г., Пиер Форкадел дьо Безие (френски)
• 1570 г., Henry Billingsley (Английски)
• 1576 г., Родриго де Заморано (испански)
• 1594 г., Typografia Medicea (издание на арабския превод на Насир ал-Дин ал-Туси)
• 1607 г., Матео Ричи, Xu Guangqi (китайски)
• 1660 г., Isaac Barrow (Английски)
• 1720 г. Джаганнатха Самрат (санскрит, по арабския превод на Насир ал-Дин ал-Туси)
• 1738 г., Иван Сатаров (руски от френски)
• 1780 г., Барух Бен-Яаков Мшкелаб (иврит)
• 1807 г., Józef Czech (на полски език по гръцки, латински и английски издания)

В момента се отпечатва

Елементи на Евклид - всички тринадесет книги в един том, по превода на Хийт, Green Lion Press, ISBN 978-1-888009-18-7.

Елементите: (2006), превод: сър Томас Хийт, Barnes & Noble, ISBN 978-0-7607-6312-4.

 
Италианският йезуит Матео Ричи (вляво) и китайският математик Сю Гуанцзи (вдясно) публикуват китайското издание на "Елементи на Евклид" (幾何原本) през 1607 г.  

Въпроси и отговори

Въпрос: Кой е написал "Елементи на Евклид"?

В: Кога е написана?

Въпрос: Какво е заглавието на латинския превод на "Елементи на Евклид"?

В: Какви теми са разгледани в книгата?

В: Какво прави Евклид с малък набор от аксиоми?

В: Какво е най-голям общ делител?

Въпрос: Как се нарича днешната геометрична система в сравнение с това, което е било известно като "геометрия" в древността?

Търсене по буква