Хексаедър: определение, видове, примери (куб) и свойства

Хексаедър: определение, видове (изпъкнали и вдлъбнати), примери като куба, основни свойства и илюстрации — ясно и с примери за лесно разбиране.

Хексаедър (множествено число: хексаедри) е всеки многостен с шест стени. Кубът например е правилен хексаедър с квадратни стени и три квадрата около всеки връх. Хексаедрите могат да имат различни по форма и големина стени — триъгълни, четириъгълни или други многоъгълници — стига общият им брой да е шест.

Съществуват седем топологично различни изпъкнали шестостени, един от които съществува в две огледални форми. (Два полиедъра са "топологично различни", ако имат вътрешно различни подредби на стените и върховете, така че е невъзможно да се изкриви единият в другия само чрез промяна на дължините на ръбовете или ъглите между ръбовете или стените.)

Съществуват още три топологично различни хексаедри, които могат да се реализират само като вдлъбнати фигури:

Видове и примери

• Куб — правилен хексаедър с 6 квадратни лица. Има 8 върха, 12 ръба и 6 лица.
• Кубоид (правоъгълен паралелепипед) — общият случай на куба, с правоъгълни лица; също хексаедър.
• Призма с четириъгълна основа — две четириъгълни основи и четири странични лица (общо 6 лица).
• Пирамиди и би-пирамиди — например петоъгълна пирамида (една петоъгълна основа + 5 триъгълни страни = 6 лица) и триъгълна би-пирамида (две върхови върху триъгълна основа) със 6 триъгълни лица.
• Други изпъкнали и вдлъбнати форми — сред вдлъбнатите хексаедри има топологично различни конфигурации, които не могат да се получат като изпъкнали.

Свойства и формули

• Ейлерова характеристика: за всеки изпъкнал полиедър V − E + F = 2. При хексаедър F = 6, следователно V − E = −4.
• Примери с числа:
  • Куб: V = 8, E = 12, F = 6.
  • Триъгълна би-пирамида (triangular dipyramid): V = 5, E = 9, F = 6.
  • Петоъгълна пирамида: V = 6, E = 10, F = 6.
  • Четириъгълна призма: V = 8, E = 12, F = 6 (като куба, но лицата могат да са правоъгълници или други четириъгълници).
• Правилен хексаедър (куб):
  • Формула за лице: S = 6a² (a — дължина на реброто).
  • Обем: V = a³.
  • Диедричен ъгъл между срещуположни лица: 90° (за куба).
  • Координати при центриран в началото куб с страна a: (±a/2, ±a/2, ±a/2).
  • Брой различни развивки (нетове): 11.
• Дуал: Дуалът на един хексаедър е полиедър с 6 върха. Например дуалът на правилния хексаедър (куб) е правилният октедър (октаедър).

Класификация по геометрични свойства

• Изпъкли срещу вдлъбнати: изпъклите хексаедри имат всички върхове издадени навън; вдлъбнатите имат част от ъглите обърнати навътре и могат да имат по-сложна топология.
• Правилни и неправилни: единственото правилно хексаедрично тяло е кубът. Всички останали са неправилни — техните лица и ъгли могат да са различни.
• Топологична еквивалентност: броят на топологично различните изпъкнали хексаедри е 7 (с едно огледално двойничество), а към тях се добавят и няколко вдлъбнати типа.

Приложения и появяване

• Хексаедрите са често срещани в практиката: кутии, тухли, кубчета за игра и модели в архитектурата и инженерството.
• В числените методи (например метод на крайните елементи) съществуват хексаедрични елементи, предпочитани при някои симулации заради подходящата им структура.
• В компютърната графика и обработка на обемни данни кубичните клетки (воксели) са дискретни хексаедрични елементи на пространството.

Бележки

• Терминът "хексаедър" се използва и в по-широк смисъл за всякакъв многостен с шест лица, независимо от формата на лицата.
• Когато се изучават конкретни класове (например правоъгълни призми, пирамиди и т.н.), полезно е да се разглеждат и числа на върховете и ръбовете, за да се провери съвместимостта с Ейлеровата формула.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява хексаедърът?

В: Може ли кубът да се счита за хексаедър?

Въпрос: Колко са топологично различните изпъкнали хексаедри?

Въпрос: Възможно ли е два полиедъра да са топологично различни?

Въпрос: Колко огледални форми има един от седемте топологично различни изпъкнали шестостени?

Въпрос: Има ли топологично различни шестостени, които могат да се реализират само като вдлъбнати фигури?

Въпрос: Може ли един от топологично обособените изпъкнали шестостени да бъде изкривен в един от топологично обособените вдлъбнати шестостени?

Търсене по буква