Евклидова геометрия — дефиниция, аксиоми, теореми и история

Евклидова геометрия: дефиниция, аксиоми, основни теореми и история — от "Елементи" на Евклид до развитието и откритията в неевклидовата геометрия.

Евклидовата геометрия е система в математиката. Хората смятат, че Евклид е първият човек, който я е описал; затова тя носи неговото име. Той я описва за първи път в своя учебник "Елементи". Книгата е първото систематично обсъждане на геометрията, каквато е била известна по онова време. В книгата Евклид първо приема няколко аксиоми. Те са в основата на по-късната му работа. Те са интуитивно ясни. Като се започне от тези аксиоми, могат да се докажат други теореми.

Дефиниция и основни понятия

Евклидовата геометрия описва свойствата на точки, прави (линиии), ъгли, триъгълници, кръгове и други фигури в плоскостта или в тримерното пространство при приемане на определен набор от аксиоми. В euклидовото пространство се използват понятия като разстояние (дължина), ъгъл и перпендикулярност; измерването на тези величини се основава на интуитивни и аксиоматични правила. Често се говори за евклидова плоскост (плоска геометрия) и евклидово пространство от измерение n (най-често n = 3).

Аксиоми на Евклид

В "Елементи" Евклид дава пет основни постулата (постулати) и няколко общи понятия (common notions). Ето възможно съвременно формулиране на петте постулата:

• 1) По две различни точки минава точно една права.
• 2) От всеки два края на отрязък може да се продължи права безкрайно в двата края.
• 3) За всеки център и всяко разстояние може да се опише кръг (сфера в пространството).
• 4) Всички прави ъгли са равни.
• 5) (Паралелен постулат) Ако права, пресичаща две прави, образува вътрешни ъгли от едната им страна с обща сума по-малка от две прави, то тези две прави ще пресекат от тази страна, ако се продължат до безкрай.

Освен тях Евклид използва няколко общи достоверности (например: неща, равни на едно и също нещо, са равни едно на друго; ако към равни величини се добавят равни величини, получените са равни и т.н.).

Основни теореми и резултати

От посочените аксиоми следват класически теореми, някои от които:

• Теорема на Питагор — в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите.
• Сумата на ъглите в триъгълник е равна на два прави (180°) — следствие от паралелния постулат.
• Критерии за конгруентност и подобие на триъгълници (SSS, SAS, ASA и др.).
• Теореми за средна линия, перпендикуляри, ъглови бисектрици, свойства на кръгове и допирателни.

Много от класическите построения са изпълними с циркул и пергел, които Евклид описва подробно.

Модерни осаксиоматизирани подходи

През XIX и началото на XX век се оформя нуждата от по-строга аксиоматизация. Давид Хилберт дава системата на Хилбертови аксиоми, която разделя аксиомите на групи: за инцидентност, ред, конгруентност, паралелност и непрекъснатост. Това прави логическата структура на теориите по-ясна и елиминира някои незабелязани преди допускания в Евклидовите изложения.

Друг важен подход е чрез координатна (аналитична) геометрия, въведена от Рене Декарт, където геометричните обекти се описват чрез уравнения и алгебрични операции, а евклидова метрика се дава чрез евклидовата норма и вътрешния продукт.

История и развитие — неевклидови геометрии

През XIX в. са открити и други форми на геометрия. Те са неевклидова геометрия. Карл Фридрих Гаус, Янош Боляй и Николай Иванович Лобачевски са някои от хората, разработили такива геометрии. Много често в тях не се използва паралелният постулат, а другите четири аксиоми.

Най-важните неевклидови алтернативи са:

• Хиперболична геометрия (Лобачевски — Боляй) — през всяка точка извън дадена права минават поне две прави, които не я пресичат (няколко паралелни). Сумата на ъглите в триъгълник е по-малка от 180°.
• Елиптична/Риманова геометрия (Риман) — няма паралелни прави: всички прави се пресичат. Сумата на ъглите в триъгълник е по-голяма от 180°.

Показването на взаимно съгласими модели на тези системи (например моделите на Бертрам/Белтами/Пуанкаре) демонстрират, че паралелният постулат не е логически следствие от другите постулати и че алтернативите са консистентни, ако Евклидовата геометрия е консистентна.

Приложения и значение

• Евклидовата геометрия е основа на класическата инженерна и архитектурна практика — чертежи, строителство, измервания.
• Във физиката евклидовите модели са подходящи за пространства с нулева или малка крива; за по-общи пространства се използват неевклидови (например в общата теория на относителността).
• Аналитичната геометрия и линейната алгебра, базирани на евклидовата структура, са фундаментални за компютърна графика, роботика, обработка на изображения и машинно обучение.

Заключение

Евклидовата геометрия представлява едновременно исторически и логически основополагаща теория в математиката. От интуитивните си аксиоми тя развива богата мрежа от теореми и методи, които са натрупали голямо приложение през вековете. Развитието на нейните алтернативи (неевклидовите геометрии) разшири философското и математическо разбиране за пространство, аксиоми и логическа независимост.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява Евклидовата геометрия?

Въпрос: Кой е написал "Елементи"?

В: Кои са някои примери за неевклидови геометрии?

Въпрос: Какво се обсъжда в "Елементи"?

В: Колко аксиоми има евклидовата геометрия?

В: Кой е разработил неевклидови геометрии?

В: Неевклидовата геометрия използва всичките пет аксиоми или само четири?

Търсене по буква