Множество (математика): определение, свойства и примери

Представете си, че комплектът е чанта.

Елемент на

В една чанта могат да се поставят различни неща. По-късно е добре да се зададе въпросът дали дадено нещо е в торбата. Математиците наричат този елемент. Нещо е елемент на дадено множество, ако това нещо може да се намери в съответната торба. Символът, който се използва за това, е ∈ {\displaystyle \in } :

a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathit {A}}} ,

което означава, че един {\displaystyle a} е в торбата A {\displaystyle {\mathit {A}} или един {\displaystyle a} е елемент на A {\displaystyle {\mathit {A}} .

За разлика от торбата, множеството може да съдържа най-много един елемент от даден тип. Така че за набор от плодове няма значение дали има един портокал, или 10 портокала.

Празно множество

Подобно на чантата, комплектът може да бъде и празен. Празното множество е като празната чанта: в него няма нищо. "Празното множество" се нарича още нулево множество и се представя със символа ∅ {\displaystyle \varnothing } .

Вселена

Ако разглеждаме, да речем, някои набори от американски автомобили, например набор от всички фордове и набор от всички доджове, може да пожелаем да разгледаме и целия набор от американски автомобили. В този случай множеството от всички американски автомобили ще се нарича вселена.

С други думи, вселената е съвкупност от всички елементи, които искаме да разгледаме в даден проблем. Вселената обикновено се нарича U {\displaystyle U} .

Сравняване на набори

Могат да се сравнят два набора. Това е като да гледате в две различни чанти. Ако те съдържат едни и същи неща, те са равни. Няма значение в какъв ред са тези неща.

Например, ако A = { S t a n f o r d , S t a n l e y } {\displaystyle {\mathit {A}}=\{Stanford,Stanley\}} и B = { S t a n l e y , S t a n f o r d } {\displaystyle {\mathit {B}}=\{Стенли,Станфорд\}} , множествата са едни и същи.

Кардиналност на множество

Когато математиците говорят за множество, те понякога искат да знаят колко голямо е това множество (или каква е кардиналността на множеството). Те правят това, като преброяват колко елемента има в множеството (колко елемента има в торбата). За крайните множества кардиналността е просто число. Празното множество има кардиналност 0. Множеството { а п л е , о р а н г е } {\displaystyle \{ябълка,портокал\}} има кардиналност 2.

Две множества имат еднакъв кардинален брой, ако можем да сдвоим елементите им - ако можем да съединим два елемента, по един от всяко множество. Множеството { а п п л е , о р а н г е } {\displaystyle \{ябълка,портокал\}} и множеството { s u n , m o o n } {\displaystyle \{sun,moon\}} имат една и съща кардиналност. Например, можем да свържем ябълка със слънце, а портокал с луна. Редът няма значение. Възможно е да сдвоим всички елементи и никой не е пропуснат. Но множеството { д о г , к а т , б и р д } {\displaystyle \{куче,котка,птица\}} и множеството {5 , 6 } {\displaystyle \{5,6\}} имат различна кардиналност. Ако се опитаме да ги сдвоим, винаги ще изпуснем едно животно.

Безкрайна кардиналност

Понякога кардиналността не е число. Понякога дадено множество има безкраен кардинален брой. Множеството на всички цели числа е множество с безкрайна кардиналност. Някои множества с безкрайна кардиналност са по-големи (имат по-голяма кардиналност) от други. Например реалните числа са повече от естествените, което означава, че не можем да сдвоим множеството на целите числа и множеството на реалните числа, дори и да работим вечно.

Преброяемост

Ако можете да преброите елементите на едно множество, то се нарича преброимо множество. Изброимите множества включват всички множества с краен брой членове. Изброимите множества включват и някои безкрайни множества, като например естествените числа. Естествените числа можете да преброите с 1 , 2 , 3 ... {\displaystyle {1,2,3...}} . Естествените числа са наречени "числата за броене", тъй като обикновено ги използваме, за да броим нещата.

Неизброимо множество е безкрайно множество, което не може да се преброи. Ако се опитаме да преброим елементите, винаги ще пропуснем някои от тях. Няма значение каква стъпка ще направим. Множеството на реалните числа е неизброимо множество. Съществуват много други неизброими множества, дори такъв малък интервал като [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .[3]

Подмножества

Ако разгледате множеството A = { a , b } {\displaystyle A=\{a,b\}} и множеството B = { a , b , c , d } {\displaystyle B=\{a,b,c,d\}} , можете да видите, че всички елементи от първото множество са също и във второто множество.
 Казваме: { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} е подмножество на {a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}}
 Като формула това изглежда по следния начин:
{a , b } ⊆ { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c,d\}}

В общия случай, когато всички елементи на множество A {\displaystyle A} са също елементи на множество B {\displaystyle B} , наричаме A {\displaystyle A} подмножество на B {\displaystyle B} :
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} .
Обикновено се чете " A {\displaystyle A} се съдържа в B {\displaystyle B} ."

Пример: Всеки Chevrolet е американски автомобил. Така че множеството на всички Шевролети се съдържа в множеството на всички американски автомобили.

Задаване на операции

Съществуват различни начини за комбиниране на комплекти.

Кръстовища

Пресечната точка A ∩ B {\displaystyle A\cap B} на две множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множество, което съдържа всички елементи, които са едновременно в множеството A {\displaystyle A} и в множеството B {\displaystyle B} .

Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, тогава A ∩ B {\displaystyle A\cap B} е множеството на всички евтини американски автомобили.

Профсъюзи

Обединението A ∪ B {\displaystyle A\cup B} на две множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множество, което съдържа всички елементи, които са в множество A {\displaystyle A} или в множество B {\displaystyle B} . Това "или" е включваща дизюнкция, така че обединението съдържа и елементите, които са в множество A {\displaystyle A} и в множество B {\displaystyle B} . Между другото това означава, че пресечната точка е подмножество на съюза: ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) {\displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cup B)} .

Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, тогава A ∪ B {\displaystyle A\cup B} е множеството на всички автомобили, без всички скъпи автомобили, които не са от Америка.

Допълва

Допълнението може да означава две различни неща:

• Допълнението на A {\displaystyle A} е вселената U {\displaystyle U} без всички елементи на A {\displaystyle A} :

A C = U ∖ A {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
 Вселената U {\displaystyle U} е множеството от всички неща, за които се говори.
Пример: Когато U {\displaystyle U} е множеството на всички автомобили, а A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили,
то A {\displaystyle A}^C е множеството на всички скъпи автомобили.

• Разликата между множествата A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множеството B {\displaystyle B} без всички елементи на A {\displaystyle A} :

B ∖ A {\displaystyle B\setminus A}
 Нарича се още относително допълнение на A {\displaystyle A} в B {\displaystyle B} .
Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, то B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} е множеството на всички скъпи американски автомобили.

Ако размените множествата в множеството разлика, резултатът е различен:
В примера с автомобилите, разликата A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} е множеството на всички евтини автомобили, които не са произведени в Америка.

Повечето математици използват главни италиански (обикновено римски) букви, за да пишат за множества (например A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ). Нещата, които се разглеждат като елементи на множества, обикновено се пишат с малки римски букви.

Един от начините за представяне на множество е чрез списък на неговите членове, разделени със запетаи и включени в скоби. Например,

• X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} е множество, което има членове 1, 2 и 3.

Друг начин, наречен запис на строителя на множеството, е чрез изказване на това, което е вярно за членовете на множеството, като този:

• {x | x е естествено число & x < 4}.

На разговорен английски това означава: "множеството от всички x, така че x е естествено число и x е по-малко от четири". Символът [ipe "|" означава "такъв, че" или "така, че".

Празното множество се записва по специален начин: ∅ {\displaystyle \emptyset } , ∅ {\displaystyle \varnothing } или { } {\displaystyle \{\}} .

Когато обектът a е член на множество A {\displaystyle A} , той се записва като:

• a ∈ A.

На разговорен английски това означава: "a е член на A {\displaystyle A} ".

За илюстриране на операциите върху множества математиците използват диаграми на Вен. Диаграмите на Вен използват кръгове, за да покажат отделните множества. Вселената е изобразена с правоъгълник. Резултатите от операциите се показват като оцветени области. В илюстрацията на операцията "пресичане" лявото кръгче показва множество A {\displaystyle A} , а дясното кръгче - множество B {\displaystyle B} .

Някои множества са много важни за математиката. Те се използват много често. Едно от тях е празното множество. Много от тези специални множества са написани с удебелен шрифт на черната дъска и включват:

• P {\displaystyle \mathbb {P} } , с което се обозначава множеството на всички първични числа.
• N {\displaystyle \mathbb {N} } , с което се обозначава множеството на всички естествени числа. Това означава, че N {\displaystyle \mathbb {N} } = {1, 2, 3, ...}, или понякога N {\displaystyle \mathbb {N} } = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , с което се обозначава множеството на всички цели числа (положителни, отрицателни или нулеви). Така че Z {\displaystyle \mathbb {Z} } = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , с което се обозначава множеството на всички рационални числа (т.е. множеството на всички правилни и неправилни дроби). И така, Q = { a b | a , b ∈ Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}} , което означава всички дроби a b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}} , където a и b са в множеството на всички цели числа и b не е равно на 0. Например, 1 4 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} } и 11 6 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} } . Всички цели числа са в това множество, тъй като всяко цяло число a може да бъде изразено като дроб a 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}} .
• R {\displaystyle \mathbb {R} } , с което се обозначава множеството на всички реални числа. Това множество включва всички рационални числа, както и всички ирационални числа (т.е. числата, които не могат да бъдат преписани като дроби, като π , {\displaystyle \pi ,} e , {\displaystyle e,} и √2).
• C {\displaystyle \mathbb {C} } , с което се обозначава множеството на всички комплексни числа.

Всяко от тези множества от числа има безкраен брой елементи, а P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } .

Математикът Бъртранд Ръсел открива, че има проблеми с неофициалното определение на множествата. Той изказва това в парадокс, наречен парадокс на Ръсел. По-лесна за разбиране версия, по-близка до реалния живот, се нарича парадокс на Барбър.

Парадоксът на бръснаря

Някъде има малък град. В него има бръснар. Всички мъже в градчето не обичат брадите, затова или се бръснат сами, или отиват в бръснарницата, за да ги обръсне бръснарят.

Следователно можем да направим извод за самия бръснар: Бръснарят бръсне всички мъже, които не се бръснат сами. Той бръсне само тези мъже (тъй като останалите се бръснат сами и не се нуждаят от бръснар, който да ги обръсне).

Това, разбира се, повдига въпроса: Какво прави бръснарят всяка сутрин, за да изглежда чисто избръснат? Това е парадоксът.

Ако бръснарят се бръсне сам, той не може да бъде бръснар, тъй като бръснарят не се бръсне сам. Ако не се бръсне сам, той попада в категорията на тези, които не се бръснат сами, и следователно не може да бъде бръснар.

• Множество на Кантор
• Теория на групите
• Отворен комплект
• Връзка
• Теория на множествата