Комплект | идея от математиката

Какво да правим с комплектите

Представете си, че комплектът е чанта.

Елемент на

В една чанта могат да се поставят различни неща. По-късно е добре да се зададе въпросът дали дадено нещо е в торбата. Математиците наричат този елемент. Нещо е елемент на дадено множество, ако това нещо може да се намери в съответната торба. Символът, който се използва за това, е ∈ {\displaystyle \in } :

a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathit {A}}} ,

което означава, че един {\displaystyle a} е в торбата A {\displaystyle {\mathit {A}} или един {\displaystyle a} е елемент на A {\displaystyle {\mathit {A}} .

За разлика от торбата, множеството може да съдържа най-много един елемент от даден тип. Така че за набор от плодове няма значение дали има един портокал, или 10 портокала.

Празно множество

Подобно на чантата, комплектът може да бъде и празен. Празното множество е като празната чанта: в него няма нищо. "Празното множество" се нарича още нулево множество и се представя със символа ∅ {\displaystyle \varnothing } .

Вселена

Ако разглеждаме, да речем, някои набори от американски автомобили, например набор от всички фордове и набор от всички доджове, може да пожелаем да разгледаме и целия набор от американски автомобили. В този случай множеството от всички американски автомобили ще се нарича вселена.

С други думи, вселената е съвкупност от всички елементи, които искаме да разгледаме в даден проблем. Вселената обикновено се нарича U {\displaystyle U} .

Сравняване на набори

Могат да се сравнят два набора. Това е като да гледате в две различни чанти. Ако те съдържат едни и същи неща, те са равни. Няма значение в какъв ред са тези неща.

Например, ако A = { S t a n f o r d , S t a n l e y } {\displaystyle {\mathit {A}}=\{Stanford,Stanley\}} и B = { S t a n l e y , S t a n f o r d } {\displaystyle {\mathit {B}}=\{Стенли,Станфорд\}} , множествата са едни и същи.

Кардиналност на множество

Когато математиците говорят за множество, те понякога искат да знаят колко голямо е това множество (или каква е кардиналността на множеството). Те правят това, като преброяват колко елемента има в множеството (колко елемента има в торбата). За крайните множества кардиналността е просто число. Празното множество има кардиналност 0. Множеството { а п л е , о р а н г е } {\displaystyle \{ябълка,портокал\}} има кардиналност 2.

Две множества имат еднакъв кардинален брой, ако можем да сдвоим елементите им - ако можем да съединим два елемента, по един от всяко множество. Множеството { а п п л е , о р а н г е } {\displaystyle \{ябълка,портокал\}} и множеството { s u n , m o o n } {\displaystyle \{sun,moon\}} имат една и съща кардиналност. Например, можем да свържем ябълка със слънце, а портокал с луна. Редът няма значение. Възможно е да сдвоим всички елементи и никой не е пропуснат. Но множеството { д о г , к а т , б и р д } {\displaystyle \{куче,котка,птица\}} и множеството {5 , 6 } {\displaystyle \{5,6\}} имат различна кардиналност. Ако се опитаме да ги сдвоим, винаги ще изпуснем едно животно.

Безкрайна кардиналност

Понякога кардиналността не е число. Понякога дадено множество има безкраен кардинален брой. Множеството на всички цели числа е множество с безкрайна кардиналност. Някои множества с безкрайна кардиналност са по-големи (имат по-голяма кардиналност) от други. Например реалните числа са повече от естествените, което означава, че не можем да сдвоим множеството на целите числа и множеството на реалните числа, дори и да работим вечно.

Преброяемост

Ако можете да преброите елементите на едно множество, то се нарича преброимо множество. Изброимите множества включват всички множества с краен брой членове. Изброимите множества включват и някои безкрайни множества, като например естествените числа. Естествените числа можете да преброите с 1 , 2 , 3 ... {\displaystyle {1,2,3...}} . Естествените числа са наречени "числата за броене", тъй като обикновено ги използваме, за да броим нещата.

Неизброимо множество е безкрайно множество, което не може да се преброи. Ако се опитаме да преброим елементите, винаги ще пропуснем някои от тях. Няма значение каква стъпка ще направим. Множеството на реалните числа е неизброимо множество. Съществуват много други неизброими множества, дори такъв малък интервал като [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .[3]

Подмножества

Ако разгледате множеството A = { a , b } {\displaystyle A=\{a,b\}} и множеството B = { a , b , c , d } {\displaystyle B=\{a,b,c,d\}} , можете да видите, че всички елементи от първото множество са също и във второто множество.
 Казваме: { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} е подмножество на {a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}}
 Като формула това изглежда по следния начин:
{a , b } ⊆ { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c,d\}}

В общия случай, когато всички елементи на множество A {\displaystyle A} са също елементи на множество B {\displaystyle B} , наричаме A {\displaystyle A} подмножество на B {\displaystyle B} :
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} .
Обикновено се чете " A {\displaystyle A} се съдържа в B {\displaystyle B} ."

Пример: Всеки Chevrolet е американски автомобил. Така че множеството на всички Шевролети се съдържа в множеството на всички американски автомобили.

Задаване на операции

Съществуват различни начини за комбиниране на комплекти.

Кръстовища

Пресечната точка A ∩ B {\displaystyle A\cap B} на две множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множество, което съдържа всички елементи, които са едновременно в множеството A {\displaystyle A} и в множеството B {\displaystyle B} .

Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, тогава A ∩ B {\displaystyle A\cap B} е множеството на всички евтини американски автомобили.

Профсъюзи

Обединението A ∪ B {\displaystyle A\cup B} на две множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множество, което съдържа всички елементи, които са в множество A {\displaystyle A} или в множество B {\displaystyle B} . Това "или" е включваща дизюнкция, така че обединението съдържа и елементите, които са в множество A {\displaystyle A} и в множество B {\displaystyle B} . Между другото това означава, че пресечната точка е подмножество на съюза: ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) {\displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cup B)} .

Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, тогава A ∪ B {\displaystyle A\cup B} е множеството на всички автомобили, без всички скъпи автомобили, които не са от Америка.

Допълва

Допълнението може да означава две различни неща:

• Допълнението на A {\displaystyle A} е вселената U {\displaystyle U} без всички елементи на A {\displaystyle A} :

A C = U ∖ A {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
 Вселената U {\displaystyle U} е множеството от всички неща, за които се говори.
Пример: Когато U {\displaystyle U} е множеството на всички автомобили, а A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили,
то A {\displaystyle A}^C е множеството на всички скъпи автомобили.

• Разликата между множествата A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} е множеството B {\displaystyle B} без всички елементи на A {\displaystyle A} :

B ∖ A {\displaystyle B\setminus A}
 Нарича се още относително допълнение на A {\displaystyle A} в B {\displaystyle B} .
Пример: Когато A {\displaystyle A} е множеството на всички евтини автомобили, а B {\displaystyle B} е множеството на всички американски автомобили, то B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} е множеството на всички скъпи американски автомобили.

Ако размените множествата в множеството разлика, резултатът е различен:
В примера с автомобилите, разликата A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} е множеството на всички евтини автомобили, които не са произведени в Америка.

 
Подмножество от правилни многоъгълници  


Пресечна точка на две множества многоъгълници  


Обединение на две множества от многоъгълници  


Разлики на два набора от многоъгълници  

Нотация

Повечето математици използват главни италиански (обикновено римски) букви, за да пишат за множества (например A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ). Нещата, които се разглеждат като елементи на множества, обикновено се пишат с малки римски букви.

Един от начините за представяне на множество е чрез списък на неговите членове, разделени със запетаи и включени в скоби. Например,

• X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} е множество, което има членове 1, 2 и 3.

Друг начин, наречен запис на строителя на множеството, е чрез изказване на това, което е вярно за членовете на множеството, като този:

• {x | x е естествено число & x < 4}.

На разговорен английски това означава: "множеството от всички x, така че x е естествено число и x е по-малко от четири". Символът [ipe "|" означава "такъв, че" или "така, че".

Празното множество се записва по специален начин: ∅ {\displaystyle \emptyset } , ∅ {\displaystyle \varnothing } или { } {\displaystyle \{\}} .

Когато обектът a е член на множество A {\displaystyle A} , той се записва като:

• a ∈ A.

На разговорен английски това означава: "a е член на A {\displaystyle A} ".

 

Диаграми на Вен

За илюстриране на операциите върху множества математиците използват диаграми на Вен. Диаграмите на Вен използват кръгове, за да покажат отделните множества. Вселената е изобразена с правоъгълник. Резултатите от операциите се показват като оцветени области. В илюстрацията на операцията "пресичане" лявото кръгче показва множество A {\displaystyle A} , а дясното кръгче - множество B {\displaystyle B} .

 

 

Специални комплекти

Някои множества са много важни за математиката. Те се използват много често. Едно от тях е празното множество. Много от тези специални множества са написани с удебелен шрифт на черната дъска и включват:

• P {\displaystyle \mathbb {P} } , с което се обозначава множеството на всички първични числа.
• N {\displaystyle \mathbb {N} } , с което се обозначава множеството на всички естествени числа. Това означава, че N {\displaystyle \mathbb {N} } = {1, 2, 3, ...}, или понякога N {\displaystyle \mathbb {N} } = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , с което се обозначава множеството на всички цели числа (положителни, отрицателни или нулеви). Така че Z {\displaystyle \mathbb {Z} } = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , с което се обозначава множеството на всички рационални числа (т.е. множеството на всички правилни и неправилни дроби). И така, Q = { a b | a , b ∈ Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}} , което означава всички дроби a b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}} , където a и b са в множеството на всички цели числа и b не е равно на 0. Например, 1 4 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} } и 11 6 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q} } . Всички цели числа са в това множество, тъй като всяко цяло число a може да бъде изразено като дроб a 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}} .
• R {\displaystyle \mathbb {R} } , с което се обозначава множеството на всички реални числа. Това множество включва всички рационални числа, както и всички ирационални числа (т.е. числата, които не могат да бъдат преписани като дроби, като π , {\displaystyle \pi ,} e , {\displaystyle e,} и √2).
• C {\displaystyle \mathbb {C} } , с което се обозначава множеството на всички комплексни числа.

Всяко от тези множества от числа има безкраен брой елементи, а P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } .

 

Парадокси за множествата

Математикът Бъртранд Ръсел открива, че има проблеми с неофициалното определение на множествата. Той изказва това в парадокс, наречен парадокс на Ръсел. По-лесна за разбиране версия, по-близка до реалния живот, се нарича парадокс на Барбър.

Парадоксът на бръснаря

Някъде има малък град. В него има бръснар. Всички мъже в градчето не обичат брадите, затова или се бръснат сами, или отиват в бръснарницата, за да ги обръсне бръснарят.

Следователно можем да направим извод за самия бръснар: Бръснарят бръсне всички мъже, които не се бръснат сами. Той бръсне само тези мъже (тъй като останалите се бръснат сами и не се нуждаят от бръснар, който да ги обръсне).

Това, разбира се, повдига въпроса: Какво прави бръснарят всяка сутрин, за да изглежда чисто избръснат? Това е парадоксът.

Ако бръснарят се бръсне сам, той не може да бъде бръснар, тъй като бръснарят не се бръсне сам. Ако не се бръсне сам, той попада в категорията на тези, които не се бръснат сами, и следователно не може да бъде бръснар.

 

Свързани страници

• Множество на Кантор
• Теория на групите
• Отворен комплект
• Връзка
• Теория на множествата