В математиката думата знак най-често означава свойството на число или друг математически обект да бъде положителен или отрицателен. Всяко реално число, различно от нула, е или положително, или отрицателно, и затова се казва, че има знак. Самата нула е без знак — тя не е нито положителна, нито отрицателна. Ако числата се подават без явен знак (например "5"), по подразбиране се приемат за положителни.
Определение и основни свойства
За реални числа се въвежда т.нар. функция знак, означавана обикновено като sgn(x):
- sgn(x) = 1, ако x > 0;
- sgn(x) = 0, ако x = 0;
- sgn(x) = −1, ако x < 0.
Свързано с това е и равенството x = sgn(x)·|x|, където |x| е абсолютната стойност на x. За два ненулеви числа важи sgn(xy) = sgn(x)·sgn(y) и аналогично sgn(x/y) = sgn(x)/sgn(y).
Операции и правила за знаците
- Правила при умножение: (+)·(+) = +, (+)·(−) = −, (−)·(+) = −, (−)·(−) = +.
- Правила при делене са аналогични на умножението (знакът на частното е произведението на знаците на делимото и делителя).
- Събиране и изваждане: при събиране на числа с еднакъв знак резултатът има същия знак; при различни знаци се взема знакът на по-голямото по абсолютна стойност число с подходяща разлика.
- Унарни оператори: +a означава самото a (положителен знак), а −a означава противоположното на a (смяна на знака).
Математически символи и съкращения
Често срещани символи, свързани със знака:
- плюс: +;
- минус: −;
- плюс-минус: ± (означава две възможности, напр. x ± y означава x + y или x − y);
- минус-плюс: ∓ (използва се заедно с ± в двойни изрази, за да се посочи противоположната възможност).
Други употреби на думата "знак" в математиката
Думата "знак" се използва и в по-широк смисъл за означаване на свойства, които имат само две стойности, често +1 и −1:
- знак на пермутация (параметър, който е равен на +1 за четни и −1 за нечетни пермутации);
- знак на детерминанта (показва дали линеен оператор запазва или сменя ориентацията);
- в теорията на числата говорят за "знак" на квадратичен характер или символ на Крилов–Лежандр;
- в алгебричната геометрия и анализ понякога "знак" се използва условно за означаване на ориентационни или фазови характеристики.
Ограничения и забележки
Комплексните числа по принцип нямат знак в смисъл на положително/отрицателно, тъй като множеството на комплексните числа не е наредимо по начин, съвместим с полиномиалната структура. Въпреки това за комплексни числа се говори за фазата (аргумент), която описва посоката им в комплексната равнина, и в някои контексти може да се използват понятия, аналогични на "знак".
Понякога думата "знак" се използва и за обозначаване на различни математически знаци, като например символите за операции (плюс, минус, умножение и др.) или други графични символи, които изпълняват специални роли в изразите и уравненията.
