Сходство в геометрията — определение, критерии и примери

Сходството (понякога наричано и подобие) е основна идея в геометрията. То означава, че две фигури — например многоъгълници, линейни отсечки или други геометрични обекти — могат да станат еднакви чрез промяна на размера (увеличаване или намаляване). Не е необходимо сходните обекти да имат еднакъв размер в първоначалното си положение. Две фигури са подобни, ако ъглите им имат еднаква мярка (всяък ъгъл съответства на ъгъл с равна големина) и съответните страни са пропорционални. Следователно за всяка двойка съответни страни важи отношение на пропорционалност с един и същ коефициент на подобие (мащаб) k. Две окръжности, квадрати или отсечки от линии винаги са подобни помежду си, защото запазват същите ъгли и относителни отношения между страните. Ако фигура F {\displaystyle F} е подобна на фигура F ′ {\displaystyle F'} , тогава пишем F ∼ F ′ {\displaystyle F\sim F'}.

Критерии за подобие на триъгълници

Когато става въпрос за подобие, триъгълниците са специални, защото има няколко лесни критерия, чрез които може да се докаже подобие само с частична информация:

• AA (ъгъл–ъгъл): Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава триъгълниците са подобни. (Третите ъгли автоматично ще бъдат равни.)
• SSS (страна–страна–страна): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг триъгълник (във в същия ред на съответствие), триъгълниците са подобни.
• SAS (страна–ъгъл–страна): Ако две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъгълът между тях е равен, тогава триъгълниците са подобни.

Тези критерии обикновено са достатъчни за задачите в училищната геометрия, защото не е нужно да се проверява едновременно равенство на ъгли и пропорционалност на всички страни — за триъгълниците някои по-малки данни са достатъчни.

Коефициент на подобие и свойства

Коефициентът на подобие (мащабът) k е числото такова, че за всяка двойка съответни страни a и a' на подобни фигури a' = k·a. Някои важни свойства, свързани с k:

• Периметрите на подобни фигури се отнасят с k: P' = k·P.
• Лицата се отнасят с квадрата на коефициента: A' = k²·A.
• Ъглите се запазват (съответните ъгли са равни).
• Отношенията на страни, медиани и височини в една и съща посока са пропорционални с k.
• Доколкото е приложимо, правите и кривите, които са образувани по подобен начин, запазват съотношенията — например всички окръжности са подобни, тъй като съотношението радиуси е фиксирано.

Трансформации: хомотетия и изометрии

Сходството може да бъде разглеждано чрез геометрични трансформации. Основните трансформации, които дават подобни фигури, са:

• Хомотетия (централно подобие): трансформация, която умножава всички вектори от определен център по коефициент k. Хомотетията променя размера, но запазва ъглите и посочва съответствия между точките на фигурите.
• Композиция от хомотетия и изометрии: често подобието се реализира чрез хомотетия, последвана от завъртане, отражение или преместване.

Примери

• Триъгълник със страни 3, 4, 5 е подобен на триъгълник със страни 6, 8, 10. Коефициентът на подобие е k = 2.
• Всички квадрати са подобни: ако страната на един квадрат е a, а на друг е b, тогава коефициентът е k = b/a и ъглите (всички по 90°) се запазват.
• Две окръжности с радиуси r и R са подобни с коефициент R/r — всяка окръжност може да се получи чрез хомотетия от друга със съответния коефициент.

Сходство и конгруентност

Конгруентността (съвпадение) е по-строга връзка между фигури: конгруентните фигури имат еднакви страни и ъгли и могат да се превърнат една в друга само чрез завъртане, отразяване или преместване (изометрии). Всички конгруентни фигури са по дефиниция и подобни, но не всички подобни фигури са конгруентни — това е така, защото при подобие се допуска промяна на размера (k ≠ 1). Когато коефициентът на подобие k = 1, подобието се свива до конгруентност.

Практически съвети при решаване на задачи

• Определете кои ъгли съответстват и кои страни трябва да сравните по пропорция.
• При триъгълници търсете AA, SAS или SSS — това често е най-краткият път до заключение за подобие.
• Използвайте коефициента k, за да пресметнете липсващи страни, периметри и лицa.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява сходството?

В: Как да разберете дали две фигури са подобни?

В: Всички многоъгълници ли са подобни един на друг?

В: Как се сравнява сходството с конгруентността?

Въпрос: Кръговете винаги ли са подобни?

Търсене по буква