Равенство и еквивалентност в математиката — определение и свойства

Научете ясно дефиниции, свойства и разлика между равенство, еквивалентност, уравнения и конгруентност в математиката — достъпно и с примери.

В математиката две неща са равни тогава и само тогава, когато са абсолютно еднакви във всяко отношение, което е релевантно за разглежданата теория или структура. Това означава, че те имат еднаква (математическа) стойност и еднакви математически свойства. Математиците използват знака за равенство (=), за да изразят това. Изречението "x = y" означава, че x и y са едно и също по стойност или по смисъла на разглежданата структура.

Релации на еквивалентност и тяхната цел

Еквивалентността в по-общ смисъл се дефинира чрез т.нар. релация на еквивалентност между два математически обекта: два обекта са еквивалентни, ако са свързани чрез тази релация. Често еквивалентността се обозначава със символите ∼ {\displaystyle \sim } или ≡ {\displaystyle \equiv } . Релациите на еквивалентност служат да групират обекти, които са „еднакви“ за дадена цел, дори когато не са абсолютно идентични като елементи.

Основни свойства на равенството и еквивалентността

• Рефлексивност: за всеки обект a важи a = a (или a ∼ a). Релацията „равенство“ винаги е рефлексивна.
• Симетричност: ако a = b, то и b = a. Същото важи за всяка еквивалентност: ако a ∼ b, то и b ∼ a.
• Транзитивност: ако a = b и b = c, тогава a = c. Това свойство също е характерно за еквивалентните релации; равенството е пример за транзитивна релация.

Тези три свойства (рефлексивност, симетричност, транзитивност) са точната дефиниция на релация на еквивалентност. От такава релация следва понятието за еквивалентен клас (или клас на еквивалентност) — множеството от всички елементи, еквивалентни на даден елемент. Множеството от всички еквивалентни класове формира т.нар. квотиентно множество или фактор-множество, което може да се разглежда като „разделяне“ (partition) на оригиналното множество.

Уравнения, идентичности и неравенства

Твърдението, че два израза представляват едно и също количество, се нарича уравнение (или просто равенство). Има важно разграничение между:

• Уравнение: твърдение, което може да бъде вярно за някои стойности на променливите (например x^2 = 4 има решения x = ±2).
• Идентичност: равенство, което е вярно за всички допустими стойности на променливите (например sin^2 t + cos^2 t = 1).
• Неравенство: израз, отбелязан с ≠, >, <, ≥, ≤, който указва, че две неща не са равни или имат различни отношения.

Логическо тълкуване и принцип на Лайбниц

В логиката и философията на математиката равенството се свързва с принципа на неразличимост на идентичните (Leibniz): ако две неща са равни, те притежават едни и същи свойства. Обратно, ако има някое свойство, което е вярно за едното, но не и за другото, те не са равни. Това дава и практически тест за неравенство: намирането на някакво различаващо свойство показва, че обектите не са равни.

Разлика между „равенство“ и „еквивалентност“

Важно е да се разбере, че „равенство“ в строг математически смисъл означава съвпадение на стойности или самите обекти (в зависимост от контекста). „Еквивалентност“ по-скоро означава „еднакви по определен критерий“ — тоест еквивалентни са обекти, които могат да се считат за еднакви за дадена цел, но не задължително идентични като абсолютно един и същ обект. Примери:

• В аритметиката, 2+2 = 4 е равенство.
• В модулна аритметика, 17 ≡ 2 (mod 5) означава, че 17 и 2 са еквивалентни по отношение на деление с остатък при 5; тук ≡ остава релация на еквивалентност.

Примери и приложения

• Числа и алгебра: две изражения могат да бъдат равни като числа (напр. 3/2 = 1.5). Също така има алгебрични идентичности и равенства между функции.
• Функции: казваме, че две функции са равни, ако дават една и съща стойност за всеки вход в домейна си. Ако са равни само на дадено подмножество или при определено отношение, говорим за еквивалентност на функциите по този критерий.
• Модулна аритметика: числата 8 и 3 са еквивалентни modulo 5, защото 8 − 3 е делимо на 5; пише се 8 ≡ 3 (mod 5).

В геометрията: конгруентност и подобие

В геометрията често се използват по-специфични термини: думата конгруентност обозначава, че два геометрични обекта са същите по форма и размер — т.е. могат да се привържат един към друг чрез преместване и/или завъртане (изометрия). Числата са равни, а геометричните обекти често се наричат конгруентни. Две фигури са конгруентни, ако едната може да бъде преместена или завъртяна така, че да съвпадне с другата; ако е необходимо свиване или увеличаване, те не са конгруентни, а са подобни (similar).

Отношението конгруентност често се представя със символа ≅ {\displaystyle \cong } ,

а отношението на подобие се представя със символа ∼ {\displaystyle \sim } . Конгруентността е релация на еквивалентност на множеството на фигурите при групата на изометричните преобразования.

В компютърните науки: равенство срещу идентичност

В компютърните науки често се използва математическото определение, но има практически различия между сравняване на стойности и сравняване на идентичност (референция). В много езици сравнението се изписва като ==, а присвояването — като = или :=. В езиците с референции или указатели има две различни идеи:

• Идентичност (identity): две променливи съдържат една и съща референция към един и същ обект (в този случай операторът a == b често връща true само ако и двете референции сочат към същото място в паметта).
• Еквивалентност по стойност: сравнява вътрешното съдържание или стойността на обектите. Поради това в много езици е въведен отделен метод или оператор — в Java това е методът equals, който сравнява действителните стойности на обектите, а не референциите им.

Разликата е източник на чести грешки (напр. сравняване на низове с == вместо със специализиран метод), затова е важно да се знае какъв тип сравнение се извършва в даден език.

В социалните науки

В социалните науки понятието „равенство“ се използва в по-неформален смисъл: двама души са равнопоставени, ако притежават сходни социални, икономически или правни позиции. Примерно, двама души с еднакво образование, доходи и възраст често се считат за равни по отношение на определени показатели. Друг термин за човек, който е равен на друг по възраст, е връстник.

Заключителни бележки и чести обърквания

• Не бъркайте символите и техните значения: = е за равенство на стойности; ≡ често показва конгруентност или еквивалентност в специфичен контекст (например модулна аритметика); ≅ е употребяван за конгруентност в геометрията; ∼ се използва за различни видове еквивалентности и асимптотични отношения.
• Равенството като формално понятие е силно контекстуално: какво означава „еднакво“ зависи от това кои свойства считаме за релевантни.
• В практиката е удобно да мислим за релации на еквивалентност като „повод“ да разглеждаме различни обекти като „еднакви“ за определена задача, без това да ги прави абсолютно идентични в други отношения.

Текстът по-горе разглежда основните определения, свойства и приложения на равенството и еквивалентността в различни области — от чистата математика през геометрията и компютърните науки до социалните науки — с цел да изясни кога и защо използваме тези понятия и какви са важните разлики между тях.

Въпроси и отговори

В: Какъв е символът, използван за представяне на равенството в математиката?

В: Как два математически обекта могат да бъдат еквивалентни?

Въпрос: Какво означава, когато два израза означават равни количества?

В: Как математиците правят разлика между уравнения и неравенства?

В: Каква е разликата между конгруентност и подобие в геометрията?

Въпрос: В информатиката кой оператор сравнява действителните стойности на обектите, а не тези, към които сочат променливите?

Въпрос: Как се дефинира равенството в социалните науки?

Търсене по буква