Квадратен корен от 2
Квадратният корен от 2 или (1/2)-тата степен на 2, записван в математиката като √2 или 21⁄2 , е положително ирационално число, което, умножено по себе си, е равно на числото 2. За да бъде по-коректно, то се нарича главен квадратен корен от 2, за да се разграничи от отрицателната версия на самото себе си, където това също е вярно.
Геометрично корен квадратен от 2 е дължината на диагонала през квадрат със страни с дължина единица; това може да се намери с Питагоровата теорема.
Квадратният корен от 2 е равен на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с краища с дължина 1
Доказателство, че квадратният корен от 2 не е рационален
Числото 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
не е рационално. Ето доказателството.
- Да предположим, че 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} е рационално. Така че има някакви числа a , b {\displaystyle a,b}
такива, че a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}
. - Можем да изберем a и b така, че или a, или b да е нечетно. Ако и a, и b са четни, дробта може да бъде опростена (например вместо да запишем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
вместо това можем да напишем 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Ако двете страни на уравнението се квадратират, получаваме a2 / b2 = 2 и a2 = 2 b2 .
- Дясната страна е 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Това число е четно. Следователно лявата страна също трябва да е четна. Значи a 2 {\displaystyle a^{2}}
е четно. Ако едно нечетно число се умножи на квадрат, то резултатът ще бъде нечетно число. Ако пък се квадратира четно число, то резултатът също ще бъде четно число. Така че a {\displaystyle a}
е четно. - Тъй като a е четно, то може да се запише като: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Използва се уравнението от стъпка 3. Получаваме 2b2 = (2k)2
- Може да се използва правило за експонентиране (вж. статията) - резултатът е 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - И двете страни се делят на 2. Така че b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. Това означава, че b {\displaystyle b}
е четно. - В стъпка 2 казахме, че a е нечетно или b е нечетно. Но в стъпка 4 беше казано, че a е четно, а в стъпка 7 беше казано, че b е четно. Ако предположението, което направихме в стъпка 1, е вярно, тогава всички тези други неща трябва да са верни, но тъй като те не се съгласуват помежду си, не могат всички да са верни; това означава, че нашето предположение не е вярно.
Не е вярно, че 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} е рационално число. Значи 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} е ирационално число.
