Квадратен корен от 2 (√2) — определение, свойства и приложения

Квадратният корен от 2 или (1/2)-тата степен на 2, записван в математиката като √2 или $2 $ ^1⁄₂ , е положително ирационално число, което, умножено по себе си, е равно на числото 2. За да бъде по-коректно, то се нарича главен квадратен корен от 2, за да се разграничи от отрицателната версия на самото себе си, където това също е вярно.

Геометрично корен квадратен от 2 е дължината на диагонала през квадрат със страни с дължина единица; това може да се намери с Питагоровата теорема.

Дефиниция и основни свойства

Числото √2 е положителното решение на уравнението x² = 2. Неговите ключови характеристики са:

Ирационалност: не може да се представи като дроб p/q с цели числа p, q (q ≠ 0).
Алгебрично число от степен 2: то е корен на многочлен с рационални коефициенти x² − 2 = 0, така че степента му над полето на рационалните числа Q е 2.
Друга алгебрична стойност (съпруг): другият корен на същия многочлен е −√2.
Конструктивност: √2 е конструктивно число — може да се построи с пергел и линия (например диагонал на единичен квадрат).

Десетична стойност и продължена дроб

Приблизителната десетична стойност е:

√2 ≈ 1.4142135623730951…

Десетичната му развръзка е несвършваща и не-периодична, което отразява ирационалността. Продължената дроб на √2 е периодична от вида:

√2 = [1; 2, 2, 2, …]

Това означава, че най-добрите рационални приближения (свързани със съкратените дроби на продължената дроб) са 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, … които идват от решенията на Пелевото уравнение (виж по-долу).

Доказателство за ирационалност (кратко)

Един от класическите доказателства е по противоречие: ако √2 = p/q в неприведена форма (p и q цели, без общи делители), то p² = 2q². Оттук p² е четно, следователно и p е четно (p = 2k). Тогава 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², така че и q е четно. Това противоречи на предположението, че p и q нямат общи делители. Следователно √2 не може да бъде рационално число.

Алгебрични и числени връзки

Минималният многочлен над Q е x² − 2, което показва, че степента на разширението Q(√2) над Q е 2.
Числата от формата a + b√2 (a, b ∈ Q) образуват поле, затворено относно събиране, умножение и деление (освен на 0), и често се използва в теория на числата и алгебраични изследвания.
Решенията на уравненията x² − 2y² = ±1 (Пелови уравнения) са тясно свързани с приближенията на √2; най-малкият ненулев положителен разтвор дава основния конвергент 3/2 и следващите решения дават поредните съкратени дроби.

Историческа бележка

Откриването на ирационалността на √2 често се свързва с древногръцките математици — по легенда Хипас от Метапонт установява, че диагоналът на единичния квадрат не може да бъде изразен като отношение на цели числа, което било противно на пифагорейската догма, че всички числа са отношения на цели числа. Това е една от първите известни демонстрации на съществуването на ирационални числа.

Приложения

Геометрия: √2 дава дължината на диагонала на квадрат със страна 1 (Питагорова теорема), използва се при изчисления на диагонали и при сходни проблеми.
Формат на хартиените листове (ISO 216 — серия A): правоъгълниците със отношение на страните √2 (например A4) запазват същото отношение при разрязване наполовина.
Тригонометрия: sin 45° = cos 45° = √2/2.
Теория на числата: използва се при изучаване на Пелови уравнения, непрекъснати дроби и приближения на ирационални числа.
Инженерство и дизайн: съотношението √2 се появява при проектиране на елементи с определени пропорции и при нормализации, където се търсят квадратични корени.

Как да се доближим до √2 числено

Обикновени методи за изчисление включват:

Итерационни методи като метод на Нютон (Нютон–Рафсон) за решаване на f(x) = x² − 2.
Използване на продължена дроб и нейни съкратени дроби за рационални приближения (напр. 99/70, 577/408 и т.н.).
Числови библиотеки и калкулатори, които дават произволна прецизност на √2.

Заключение: √2 е фундаментално число в математиката — просто по отношение на дефиницията си, но с дълбоки алгебрични, геометрични и исторически последствия. Неговата ирационалност, продължена дроб и връзки с Пеловите уравнения правят √2 често използван пример в уводните курсове по теория на числата и алгебра.

Квадратният корен от 2 е равен на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с краища с дължина 1

Доказателство, че квадратният корен от 2 не е рационален

Числото 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ не е рационално. Ето доказателството.

Да предположим, че 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ е рационално. Така че има някакви числа a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ такива, че a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Можем да изберем a и b така, че или a, или b да е нечетно. Ако и a, и b са четни, дробта може да бъде опростена (например вместо да запишем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ вместо това можем да напишем 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Ако двете страни на уравнението се квадратират, получаваме a² / b² = 2 и a² = 2 b² .
Дясната страна е 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Това число е четно. Следователно лявата страна също трябва да е четна. Значи a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ е четно. Ако едно нечетно число се умножи на квадрат, то резултатът ще бъде нечетно число. Ако пък се квадратира четно число, то резултатът също ще бъде четно число. Така че a {\displaystyle a} е четно.
Тъй като a е четно, то може да се запише като: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Използва се уравнението от стъпка 3. Получаваме 2b² = (2k)²
Може да се използва правило за експонентиране (вж. статията) - резултатът е 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
И двете страни се делят на 2. Така че b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Това означава, че b {\displaystyle b} $b$ е четно.
В стъпка 2 казахме, че a е нечетно или b е нечетно. Но в стъпка 4 беше казано, че a е четно, а в стъпка 7 беше казано, че b е четно. Ако предположението, което направихме в стъпка 1, е вярно, тогава всички тези други неща трябва да са верни, но тъй като те не се съгласуват помежду си, не могат всички да са верни; това означава, че нашето предположение не е вярно.