Експоненция (наричана още степенуване или мощност) е основна аритметична операция в математиката, при която едно число се умножава многократно само по себе си. По аналогия с това, както умножението е многократно събиране, така експоненцията е многократно умножение.

Определение и означения

Ако дадем две числа x (основа) и y (експонента или показател), то експоненцията се записва като {\displaystyle x^{y}} и се чете "x, повдигнато на степента y" или "до y-тата степен".

Когато не е възможно да се напише горният индекс (например при текстов редактор или програмиране), често се използват символите ^ или **, така че 2^4 или 2**4 означава {\displaystyle 2^{4}}.

Прост пример и терминология

В израза {\displaystyle 2^{4}}, 2 е основата, а 4 е експONENTА (показател). Изчисляването се прави чрез четворно умножение: {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}, резултатът е 16 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}.

Други лесни примери:

  • {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} — 5 в трета степен е 125.
  • {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} — квадратът на x.
  • {\displaystyle 1^{x}=1} — 1 на всяка степен е 1.

Специални имена и случаи

Когато експонентата е 2 говорим за квадрат, защото площта на квадрата с страна a се дава от {\displaystyle a^{2}}. Т.е. {\displaystyle x^{2}} е квадратът на x.

Когато експонентата е 3 говорим за куб, тъй като обемът на куб с ръб a е {\displaystyle a^{3}}.

Отрицателни и дробни показатели:

  • Експонента −1 дава реципрочната стойност: {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}, за x ≠ 0.
  • За цяло отрицателно n: {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}.
  • Дробните експоненти дават корени: {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}, например {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}.
  • Обобщение за рационален показател p/q: {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}.

Важно: ако основата е отрицателна, степенуването с дробен (особено с четни знаменатели) или ирационален показател не води до реално число; в такива случаи се работи в комплексните числа или определението не е приложимо в реалната област.

Ирационални показатели и непрекъснатост

За ирационални показатели x дефинираме a^x при a>0 чрез граница на последователност от рационални показатели x_n, чиято граница е x:

{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

{\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Така се гарантира непрекъснато и единствено разширение на степенуването от рационални към реални показатели при положителна основа a>0.

Основни свойства и правила

Следните формули улесняват изчисленията; тук даваме правилата и кратко обяснение за всяко:

  • {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} — степен на произведение: повдигането на произведение до n-та степен дава произведение от отделните степени.
  • {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} — степен на частно.
  • {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} — умножение на една и съща основа прибавя показателите.
  • {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} — деление на една и съща основа изважда показателите.
  • {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} — отрицателни показатели дават реципрочни степени.
  • {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} — степен на степен: умножаване на показателите.
  • {\displaystyle a^{0}=1} — всяка ненулева основа на нулева степен дава 1 (a≠0).

Бележки: редът на операциите има значение — експоненцията не е комутативна спрямо основата и показателя (a^b ≠ b^a в общия случай). За да се оперира с отрицателни или комплексни основи и показатели, е необходимо да се уточни областта на дефиниция (реални или комплексни числа).

Експоненция на матрици и по-общи структури

Степенуването може да се приложи и върху матрици, но само за квадратни матрици; степен a^n означава n-кратно умножение на матрицата сама със себе си. Например за единичната матрица I важи:

⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}.

При матриците важат подобни правила (напр. (AB)^n = A^n B^n не е вярно в общия случай, защото матричното умножение не е комутативно); затова за матриците трябва внимателно да се прилагат свойствата в зависимост от допусканата комутативност и инверсии.

Кратки бележки за експоненциални функции

Ако експонентата е променлива (x) и основата е фиксирана положителна (a>0), функцията a^x е непрекъсната и за a=e (≈2.71828) получаваме най-важната експоненциална функция e^x, свързана тясно с логаритмите и диференциалното смятане: d/dx e^x = e^x.

Експоненцията е широко използвана във всички области на математиката, физиката, инженерните науки, статистиката и финансовите модели — за описание на растеж, упадък, сложни проценти, вероятности и др.