Степенуване (математика) | аритметична операция върху числа

В математиката експоненцията (мощността) е аритметична операция върху числа. Тя може да се разглежда като многократно умножение, както умножението може да се разглежда като многократно събиране.

В общия случай, ако са дадени две числа x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} , експоненцията на x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} може да се запише като x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ и се чете като " x {\displaystyle x} , повдигнато на степента на y {\displaystyle y} ", или " x {\displaystyle x} до y {\displaystyle y} -тата степен". В миналото са използвани и други методи за математическо записване. Когато не може да се напише горният индекс, хората могат да записват степени, като използват знаците ^ или **, така че 2^4 или 2**4 означава 2 4 {\displaystyle 2^{4}}. $2^{4}$ .

Тук числото x {\displaystyle x} се нарича основа, а числото y {\displaystyle y} се нарича експонента. Например, в 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , 2 е основата, а 4 е експонентата.

За да изчислите 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , просто се умножават 4 копия на 2. Така че 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , а резултатът е 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . Уравнението може да се прочете на глас като "2, увеличено на степен 4, е равно на 16".

Други примери за експоненция са:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ за всяко число x

Ако експонентата е равна на 2, мощността се нарича квадрат, тъй като площта на квадрат се изчислява с помощта на 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Така че

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ е квадратът на x {\displaystyle x}

По същия начин, ако експонентата е равна на 3, мощността се нарича куб, защото обемът на куб се изчислява с помощта на 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Така че

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ е кубът на x {\displaystyle x}

Ако експонентата е равна на -1, тогава мощността е просто реципрочната стойност на основата. Така че

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Ако експонентата е цяло число, по-малко от 0, тогава мощността е реципрочната стойност, увеличена до противоположната експонента. Например:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Ако експонентата е равна на 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ${\tfrac {1}{2}}$ , тогава резултатът от експонентирането е квадратен корен от основата, като x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Например:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

По същия начин, ако експонентата е 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ , тогава резултатът е n-тият корен, където:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Ако експонентата е рационално число p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} ${\tfrac {p}{q}}$ , тогава резултатът е q-тият корен на основата, повдигнат на степента на p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

В някои случаи експонентата може дори да не е рационална. За да повишим основата a до ирационална х-та степен, използваме безкрайна последователност от рационални числа (x_n ), чиято граница е x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

като тази:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Съществуват някои правила, които улесняват изчисляването на експонентите:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Възможно е да се изчисли експоненцията на матрици. В този случай матрицата трябва да е квадратна. Например, I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Комутативност

И събирането, и умножението са комутативни. Например 2+3 е същото като 3+2, а 2 - 3 е същото като 3 - 2. Въпреки че експоненцията е повторение на умножението, тя не е комутативна. Например, 2³=8, но 3²=9.

Обратни операции

Събирането има една обратна операция: изваждане. Също така умножението има една обратна операция - деление.

Но експоненцията има две обратни операции: корен и логаритъм. Това е така, защото експоненцията не е комутативна. Можете да видите това в този пример:

Ако имате x+2=3, можете да използвате изваждане, за да разберете, че x=3-2. Същото е и ако имате 2+x=3: също получавате x=3-2. Това е така, защото x+2 е същото като 2+x.
Ако имате x - 2=3, можете да използвате деление, за да разберете, че x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Същото е и ако имате 2 - x=3: също получавате x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Това е така, защото x - 2 е същото като 2 - x
Ако имате x²=3, тогава използвайте (квадратния) корен, за да откриете x: получавате резултата, че x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Ако обаче имате 2^x =3, тогава не можете да използвате корена, за да откриете x. По-скоро трябва да използвате (двоичния) логаритъм, за да откриете x: получавате резултата, че x=log₂ (3).

Свързани страници

Експонент
Експоненциална функция
Експонентиране чрез квадратиране
Тетрация

Въпроси и отговори

В: Какво представлява експоненцията?

О: Експоненцията е аритметична операция с числа, която може да се разглежда като многократно умножение.

В: Как се записва експоненцията?

О: Експоненцията обикновено се записва като x^y, където x е основата, а y е експонентата. То може да се запише и със знаците ^ или **, например 2^4 или 2**4.

В: Какви са някои примери за експоненция?

О: Примери за експоненция са 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 за всяко число x; и 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

В: Какво означава, когато експонентата е равна на -1?

О: Когато експонентата е равна на -1, тогава мощността е просто реципрочната стойност на основата (x^(-1) = 1/x).

В: Как се изчислява ирационална степен на основа?

О: За да повишим основата a до ирационална х-та степен, използваме безкрайна последователност от рационални числа (xn), чиято граница е x (a^x = lim n->безкрайност a^(x_n)).

Въпрос: Има ли правила, които улесняват пресмятането на експонентите?

О: Да, има няколко правила, които улесняват пресмятането на експоненти. Сред тях са: (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); и т.н.