Експоненция (степенуване) — определение, свойства и правила

Експоненция (наричана още степенуване или мощност) е основна аритметична операция в математиката, при която едно число се умножава многократно само по себе си. По аналогия с това, както умножението е многократно събиране, така експоненцията е многократно умножение.

Определение и означения

Ако дадем две числа x {\displaystyle x} (основа) и y {\displaystyle y} (експонента или показател), то експоненцията се записва като x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ и се чете "x {\displaystyle x}, повдигнато на степента y {\displaystyle y} " или "до y-тата степен".

Когато не е възможно да се напише горният индекс (например при текстов редактор или програмиране), често се използват символите ^ или **, така че 2^4 или 2**4 означава 2 4 {\displaystyle 2^{4}}. $2^{4}$ .

Прост пример и терминология

В израза 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , 2 е основата, а 4 е експONENTА (показател). Изчисляването се прави чрез четворно умножение: $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , резултатът е 16 $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ .

Други лесни примери:

$5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$ — 5 в трета степен е 125.
$x^{2}=x\cdot {}x$ — квадратът на x.
$1^{x}=1$ — 1 на всяка степен е 1.

Специални имена и случаи

Когато експонентата е 2 говорим за квадрат, защото площта на квадрата с страна a се дава от $a^{2}$ . Т.е. $x^{2}$ е квадратът на x.

Когато експонентата е 3 говорим за куб, тъй като обемът на куб с ръб a е $a^{3}$ .

Отрицателни и дробни показатели:

Експонента −1 дава реципрочната стойност: $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ , за x ≠ 0.
За цяло отрицателно n: $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$ .
Дробните експоненти дават корени: $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ , например $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$ .
Обобщение за рационален показател p/q: $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$ .

Важно: ако основата е отрицателна, степенуването с дробен (особено с четни знаменатели) или ирационален показател не води до реално число; в такива случаи се работи в комплексните числа или определението не е приложимо в реалната област.

Ирационални показатели и непрекъснатост

За ирационални показатели x дефинираме a^x при a>0 чрез граница на последователност от рационални показатели x_n, чиято граница е x:

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Така се гарантира непрекъснато и единствено разширение на степенуването от рационални към реални показатели при положителна основа a>0.

Основни свойства и правила

Следните формули улесняват изчисленията; тук даваме правилата и кратко обяснение за всяко:

$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$ — степен на произведение: повдигането на произведение до n-та степен дава произведение от отделните степени.
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$ — степен на частно.
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$ — умножение на една и съща основа прибавя показателите.
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$ — деление на една и съща основа изважда показателите.
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$ — отрицателни показатели дават реципрочни степени.
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$ — степен на степен: умножаване на показателите.
$a^{0}=1$ — всяка ненулева основа на нулева степен дава 1 (a≠0).

Бележки: редът на операциите има значение — експоненцията не е комутативна спрямо основата и показателя (a^b ≠ b^a в общия случай). За да се оперира с отрицателни или комплексни основи и показатели, е необходимо да се уточни областта на дефиниция (реални или комплексни числа).

Експоненция на матрици и по-общи структури

Степенуването може да се приложи и върху матрици, но само за квадратни матрици; степен a^n означава n-кратно умножение на матрицата сама със себе си. Например за единичната матрица I важи:

⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

При матриците важат подобни правила (напр. (AB)^n = A^n B^n не е вярно в общия случай, защото матричното умножение не е комутативно); затова за матриците трябва внимателно да се прилагат свойствата в зависимост от допусканата комутативност и инверсии.

Кратки бележки за експоненциални функции

Ако експонентата е променлива (x) и основата е фиксирана положителна (a>0), функцията a^x е непрекъсната и за a=e (≈2.71828) получаваме най-важната експоненциална функция e^x, свързана тясно с логаритмите и диференциалното смятане: d/dx e^x = e^x.

Експоненцията е широко използвана във всички области на математиката, физиката, инженерните науки, статистиката и финансовите модели — за описание на растеж, упадък, сложни проценти, вероятности и др.

Комутативност

И събирането, и умножението са комутативни. Например 2+3 е същото като 3+2, а 2 - 3 е същото като 3 - 2. Въпреки че експоненцията е повторение на умножението, тя не е комутативна. Например, 2³=8, но 3²=9.

Обратни операции

Събирането има една обратна операция: изваждане. Също така умножението има една обратна операция - деление.

Но експоненцията има две обратни операции: корен и логаритъм. Това е така, защото експоненцията не е комутативна. Можете да видите това в този пример:

Ако имате x+2=3, можете да използвате изваждане, за да разберете, че x=3-2. Същото е и ако имате 2+x=3: също получавате x=3-2. Това е така, защото x+2 е същото като 2+x.
Ако имате x - 2=3, можете да използвате деление, за да разберете, че x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Същото е и ако имате 2 - x=3: също получавате x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Това е така, защото x - 2 е същото като 2 - x
Ако имате x²=3, тогава използвайте (квадратния) корен, за да откриете x: получавате резултата, че x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Ако обаче имате 2^x =3, тогава не можете да използвате корена, за да откриете x. По-скоро трябва да използвате (двоичния) логаритъм, за да откриете x: получавате резултата, че x=log₂ (3).

Свързани страници

Експонент
Експоненциална функция
Експонентиране чрез квадратиране
Тетрация

Въпроси и отговори

В: Какво представлява експоненцията?

О: Експоненцията е аритметична операция с числа, която може да се разглежда като многократно умножение.

В: Как се записва експоненцията?

О: Експоненцията обикновено се записва като x^y, където x е основата, а y е експонентата. То може да се запише и със знаците ^ или **, например 2^4 или 2**4.

В: Какви са някои примери за експоненция?

О: Примери за експоненция са 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 за всяко число x; и 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

В: Какво означава, когато експонентата е равна на -1?

О: Когато експонентата е равна на -1, тогава мощността е просто реципрочната стойност на основата (x^(-1) = 1/x).

В: Как се изчислява ирационална степен на основа?

О: За да повишим основата a до ирационална х-та степен, използваме безкрайна последователност от рационални числа (xn), чиято граница е x (a^x = lim n->безкрайност a^(x_n)).

Въпрос: Има ли правила, които улесняват пресмятането на експонентите?

О: Да, има няколко правила, които улесняват пресмятането на експоненти. Сред тях са: (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); и т.н.