Логаритъм: определение, видове и примери за лесно разбиране

Логаритмите са използвани за първи път в Индия през II в. пр. Първият, който използва логаритми в съвременността, е германският математик Михаел Щифел (около 1487-1567 г.). През 1544 г. той записва следните уравнения: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} и q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} . Това е основата за разбиране на логаритмите. За Stifel m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} трябва да са цели числа. Джон Напиер (1550-1617) не е искал това ограничение и е искал диапазон за експонентите.

Според Напиер логаритмите изразяват съотношения: a {\displaystyle a} има същото съотношение към b {\displaystyle b} , както c {\displaystyle c} към d {\displaystyle d} , ако разликата на техните логаритми съвпада. Математически: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Първоначално е използвана основата e (въпреки че числото все още не е било назовано). Хенри Бригс предложил да се използва 10 като основа за логаритми, като логаритмите са много полезни в астрономията.

Логаритъмът показва какъв експонент (или степен) е необходим, за да се получи определено число, така че логаритмите са обратното (противоположно) на експоненцията.

Точно както експоненциалната функция има три части, логаритмът също има три части: основа, аргумент и отговор (наричан още мощност).

Следва пример за експоненциална функция:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

В тази функция основата е 2, аргументът е 3, а отговорът е 8.

Това експоненциално уравнение има обратно, логаритмично уравнение:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

В това уравнение основата е 2, аргументът е 8, а отговорът е 3.

Събирането има една обратна операция - изваждането. Също така умножението има една обратна операция - деление. Експоненцията обаче всъщност има две обратни операции: корен и логаритъм. Причината за това е свързана с факта, че експонентирането не е комутативно.

Следващият пример илюстрира това:

• Ако x+2=3, с помощта на изваждането може да се установи, че x=3-2. Същото важи и за 2+x=3: също се получава x=3-2. Това е така, защото x+2 е същото като 2+x.
• Ако x - 2=3, с помощта на делението може да се установи, че x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Същото е и ако 2 - x=3: получава се също x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Това е така, защото x - 2 е същото като 2 - x.
• Ако x²=3, можем да използваме (квадратния) корен, за да установим, че x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Ако обаче 2^x =3, тогава не може да се използва коренът, за да се открие x. По-скоро трябва да се използва (двоичният) логаритъм, за да се открие, че x=log₂ (3).
  Това е така, защото 2^x обикновено не е същото като x² (например 2⁵ =32, но 5²=25).

Логаритмите могат да улеснят умножението и делението на големи числа, тъй като събирането на логаритми е същото като умножението, а изваждането на логаритми е същото като делението.

Преди калкулаторите да станат популярни и разпространени, хората са използвали логаритмични таблици в книгите, за да умножават и делят. Същата информация в логаритмичната таблица е била достъпна на шибърното правило - инструмент с изписани върху него логаритми.

Освен за изчисления логаритмът има и много други приложения в реалния живот:

• Логаритмичните спирали са често срещани в природата. Примери за това са черупката на наутилуса или подредбата на семената на слънчогледа.
• В химията отрицателната стойност на логаритъма на база 10 на активността на хидрониевите йони (H O₃⁺ , формата, която H⁺ приема във водата) е мярката, известна като pH. Активността на хидрониевите йони в неутрална вода е 10⁻⁷ mol/L при 25 °C, следователно pH е 7. (Това е резултат от равновесната константа, произведението от концентрацията на хидрониевите йони и хидроксилните йони във водните разтвори, която е 10⁻¹⁴ M² .)
• Скалата на Рихтер измерва интензивността на земетресенията по логаритмична скала с основа 10.
• В астрономията видимата звездна величина измерва яркостта на звездите логаритмично, тъй като окото също реагира логаритмично на яркостта.
• Музикалните интервали се измерват логаритмично като полутонове. Интервалът между две ноти в полутонове е логаритъмът от база 2^1/12 на съотношението на честотите (или еквивалентно, 12 пъти логаритъма от база 2). Дробните полутонове се използват за неравноделните темпераменти. Специално за измерване на отклоненията от равнотемпературната скала интервалите се изразяват и в центове (стотни от равнотемпературния полутон). Интервалът между две ноти в центове е логаритъмът от база 2^1/1200 на отношението на честотите (или 1200 пъти логаритъма от база 2). В MIDI нотите се номерират по полутоновата скала (логаритмична абсолютна номинална височина на тона със средно C на 60). За микронастройката към други системи за настройка се определя логаритмична скала, която запълва диапазоните между полутоновете на равнотемпературната скала по съвместим начин. Тази скала съответства на номерата на нотите за цели полутонове. (вж. микронастройката в MIDI Archived 2008-02-12 at Wayback Machine).

Логаритмите до основа 10 се наричат общи логаритми. Обикновено те се записват без основата. Например:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Това е вярно, защото:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }
 

Логаритмите до основа e се наричат естествени логаритми. Числото e е почти 2,71828 и се нарича още константа на Ойлер по името на математика Леонхард Ойлер.

Естествените логаритми могат да приемат символите log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} или ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} . Някои автори предпочитат да използват естествените логаритми като log ( x ) {\displaystyle \log(x)} , но обикновено споменават това в предговора.

Логаритмите имат много свойства. Например:

Свойства от определението за логаритъм

Това свойство произтича директно от определението за логаритъм:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Например

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} и

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} , защото 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}} .

Логаритъмът до основа b на числото a е равен на логаритъма на a, разделен на логаритъма на b,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Например, нека a е 6, а b е 2. С помощта на калкулатори можем да покажем, че това е вярно (или поне много близко):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2,584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2,584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\displaystyle 2,584962\approx {\frac {0,778151}{0,301029}}\approx 2,584970}

Резултатите по-горе са с малка грешка, но тя се дължи на закръглянето на числата.

Тъй като е трудно да си представим естествения логаритъм, намираме, че в термините на логаритъма с основа десет:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0,434294}}} , където 0,434294 е приближение на логаритъма на e.

Операции в рамките на аргументите на логаритъма

Логаритмите, които се умножават вътре в аргумента си, могат да се променят по следния начин:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Например,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

По подобен начин логаритъм, който се дели вътре в аргумента, може да се превърне в разлика на логаритъм (защото е обратна операция на умножението):

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Таблици за логаритми, диаграми и исторически приложения

Преди да се появят електронните компютри, логаритмите са били използвани всеки ден от учените. Логаритмите са помагали на учените и инженерите в много области, например в астрономията.

Преди появата на компютрите таблицата на логаритмите е била важен инструмент. През 1617 г. Хенри Бригс отпечатва първата логаритмична таблица. Това се случва скоро след основното изобретение на Напие. По-късно хората създават таблици с по-голям обхват и точност. Тези таблици изброявали стойностите на log_b (x) и b^x за всяко число x в определен диапазон, с определена точност, за определена основа b (обикновено b = 10). Например първата таблица на Бригс съдържала общите логаритми за всички цели числа в интервала 1-1000 с точност до 8 цифри.

Тъй като функцията f(x) = b^x е обратната функция на log_b (x), тя се нарича антилогаритм. Хората използвали тези таблици, за да умножават и делят числа. Например един потребител търсел логаритъма в таблицата за всяко от две положителни числа. Събирането на числата от таблицата давало логаритъма на произведението. След това функцията за антилогаритъм на таблицата ще намери произведението въз основа на неговия логаритъм.

За ръчни изчисления, които се нуждаят от точност, извършването на прегледи на двата логаритъма, изчисляването на тяхната сума или разлика и преглеждането на антилогаритъма е много по-бързо от извършването на умножението по по-ранни начини.

Много логаритмични таблици дават логаритми, като отделно предоставят характеристиката и мантисата на x, т.е. целочислената част и дробната част на log₁₀ (x). Характеристиката на 10 - x е единица плюс характеристиката на x, а значимостите им са едни и същи. Това разширява обхвата на логаритмичните таблици: при дадена таблица, съдържаща лог₁₀ (x) за всички цели числа x от 1 до 1000, логаритъмът на 3542 се апроксимира чрез

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

Друго изключително важно приложение е плъзгащото се правило - двойка логаритмично разделени скали, използвани за изчисления, както е показано тук:

Числата се отбелязват върху плъзгащи се скали на разстояния, пропорционални на разликите между техните логаритми. Придвижването на горната скала по подходящ начин е равносилно на механично събиране на логаритми. Например, като се прибави разстоянието от 1 до 2 на долната скала към разстоянието от 1 до 3 на горната скала, се получава произведение 6, което се отчита в долната част. Много инженери и учени са използвали плъзгащи се правила до 70-те години на миналия век. Учените могат да работят по-бързо с помощта на плъзгащо се правило, отколкото с помощта на логаритмична таблица.

• Константа на Ойлер-Машерони
• Теорема за първото число