n-ти корен (радикал): определение, свойства и примери

Разберете n-ти корен (радикал): ясно определение, ключови свойства, формули и практични примери за квадратни, кубични и общи радикали.

Автор: Leandro Alegsa

22-10-2025 11:54

n-ти корен на число r е число, което, ако се умножи n пъти по себе си, дава r. Този израз се нарича още радикал или радикален израз. Можем да кажем, че търсим числото k, за което следното равенство е вярно:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

Обозначението за n-ти корен на число r е:

r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ .

Обозначаване и основни случаи

Когато n = 2, радикалът се нарича квадратен корен. Когато n = 3, казваме корен от куб (кубичен корен). По-общо, за естествено число n говорим за n-ти корен (или радикал с индекс n).

Например: 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , защото 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ . В този пример числото 8 се нарича радиканд, числото 3 — индекс, а символът √ се нарича радикален знак или радикален символ.

Какви корени съществуват (реални и комплексни)

За реални числа важат следните правила:

Ако n е нечетно, всяко реално число има един реален n-ти корен — например кубичният корен на отрицателно число е отрицателен.
Ако n е четно, само неотрицателните числа имат реални n-ти корени; отрицателните числа нямат реален четен корен (в тяхната стандартна реална аритметика).
За всяко ненулево комплексно число има точно n комплексни n-ти корена, разположени равномерно в комплексната равнина (това следва от основните свойства на комплексните числа и експоненциалната форма).

Обикновено за радикали с четен индекс говорим за главен (позитивен) корен, тоест стойността на радикала се взема неотрицателна, когато това е възможно.

Промяна между корени и степени

Много често радикалите се превръщат в степени с рационален показател. Валидна е следната равенство:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Това позволява да работим с радикали чрез степенни правила при опростяване и изчисления. Например:

n-ти корен от x = x^(1/n).
n-ти корен от x^m = x^(m/n) и може да се пренесe както (x^(m))^(1/n) така и (x^(1/n))^m.

Основни свойства на радикалите

Свойство за произведение:

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

Това свойство важи при условие, че радикалите са дефинирани (например при квадратни корени на неотрицателни числа). За общи рационални степени правилото за произведение става x^(p) y^(p) = (xy)^(p), когато са дефинирани съответните степени.

Свойство за частно (котировъчно свойство):

a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

И тук е необходимо да се внимава с областта на дефиниция (например за квадратни корени знаменателят трябва да е положителен, за да не се дели на 0 и да е дефиниран коренът).

Опростяване на радикали и практични техники

Често радикалите се опростяват, като се извличат степени от радиканда. Правило: ако радикандът съдържа фактор, който е в степен, кратна на индекса, този фактор може да се изнесе извън радикала. Примери:

√(a^2 b) = |a| √b (за реални a и неотрицателно b) — абсолютната стойност гарантира неотрицателността на извлечения корен.
∛(x^3 y) = x ∛y (за реални x, когато е логично да се вземе главният корен).

Рационализиране на знаменател: ако имате дроб със радикал в знаменателя, често се премахва радикалът чрез умножение с подходяща форма на 1. Пример:

1 / √2 = (√2) / 2.

Допълнителни бележки и примери

- Когато работите с радикали и алгебрични преобразувания, пазете областта на дефиниция и при необходимост използвайте абсолютни стойности при извеждане на квадратни корени извън радикала.

- Корените имат приложение в геометрия, физика, инженерство и статистика (например при изчисляване на дължини, стандартно отклонение, решаване на полиномиални уравнения и др.).

- За комплексни корени е удобно да използвате полярна форма (magnitude × e^{iθ}) и формулата на Де Мауивр за намиране на всички n-ти корени.

Ако желаете, мога да добавя примери с подробни стъпки за опростяване на конкретни радикали или да обясня как да се намират комплексни n-ти корени стъпка по стъпка.

Това е графиката за y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Това е квадратен корен.

Това е y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Това е корен от куб.

Опростяване

Това е пример за опростяване на радикал.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Ако два радикала са еднакви, те могат да се комбинират. Това се случва, когато и двата индекса и радикандите са еднакви.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Ето как да намерите идеалния квадрат и да рационализирате знаменателя.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}{{\cancel {x}}{\cancel {x}{\sqrt {x}}}}={{\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}} пъти {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}{x}}}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Свързани страници

Рационализация (математика)

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е n-ти корен?

О: n-ти корен на число r е число, което, ако се умножи по себе си n пъти, дава числото r.

В: Как се записва n-ти корен?

О: n-ти корен на числото r се записва като r^(1/n).

В: Какви са някои примери за корени?

О: Ако индексът (n) е 2, тогава радикалният израз е квадратен корен. Ако е 3, това е кубичен корен. Други стойности на n се посочват с помощта на поредни числа, например четвърти корен и десети корен.

Въпрос: Какво е свойството на продукта на радикален израз?

О: Свойството за произведение на радикален израз гласи, че sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

В: Какво означава свойството на коефициента на радикален израз?

О: Котировъчното свойство на радикален израз гласи, че sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), където b != 0.

В: Какви други термини могат да се използват за обозначаване на n-ти корен?

О: n-ти корен може да се нарече и радикал или радикален израз.

обискирам