n-ти корен на число r е число, което, ако се умножи n пъти по себе си, дава r. Този израз се нарича още радикал или радикален израз. Можем да кажем, че търсим числото k, за което следното равенство е вярно:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} {\displaystyle k^{n}=r}

Обозначението за n-ти корен на число r е:

r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}.

Обозначаване и основни случаи

Когато n = 2, радикалът се нарича квадратен корен. Когато n = 3, казваме корен от куб (кубичен корен). По-общо, за естествено число n говорим за n-ти корен (или радикал с индекс n).

Например: 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, защото 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}{\displaystyle 2^{3}=8}. В този пример числото 8 се нарича радиканд, числото 3 — индекс, а символът √ се нарича радикален знак или радикален символ.

Какви корени съществуват (реални и комплексни)

За реални числа важат следните правила:

  • Ако n е нечетно, всяко реално число има един реален n-ти корен — например кубичният корен на отрицателно число е отрицателен.
  • Ако n е четно, само неотрицателните числа имат реални n-ти корени; отрицателните числа нямат реален четен корен (в тяхната стандартна реална аритметика).
  • За всяко ненулево комплексно число има точно n комплексни n-ти корена, разположени равномерно в комплексната равнина (това следва от основните свойства на комплексните числа и експоненциалната форма).

Обикновено за радикали с четен индекс говорим за главен (позитивен) корен, тоест стойността на радикала се взема неотрицателна, когато това е възможно.

Промяна между корени и степени

Много често радикалите се превръщат в степени с рационален показател. Валидна е следната равенство:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

Това позволява да работим с радикали чрез степенни правила при опростяване и изчисления. Например:

  • n-ти корен от x = x^(1/n).
  • n-ти корен от x^m = x^(m/n) и може да се пренесe както (x^(m))^(1/n) така и (x^(1/n))^m.

Основни свойства на радикалите

Свойство за произведение:

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}.

Това свойство важи при условие, че радикалите са дефинирани (например при квадратни корени на неотрицателни числа). За общи рационални степени правилото за произведение става x^(p) y^(p) = (xy)^(p), когато са дефинирани съответните степени.

Свойство за частно (котировъчно свойство):

a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.

И тук е необходимо да се внимава с областта на дефиниция (например за квадратни корени знаменателят трябва да е положителен, за да не се дели на 0 и да е дефиниран коренът).

Опростяване на радикали и практични техники

Често радикалите се опростяват, като се извличат степени от радиканда. Правило: ако радикандът съдържа фактор, който е в степен, кратна на индекса, този фактор може да се изнесе извън радикала. Примери:

  • √(a^2 b) = |a| √b (за реални a и неотрицателно b) — абсолютната стойност гарантира неотрицателността на извлечения корен.
  • ∛(x^3 y) = x ∛y (за реални x, когато е логично да се вземе главният корен).

Рационализиране на знаменател: ако имате дроб със радикал в знаменателя, често се премахва радикалът чрез умножение с подходяща форма на 1. Пример:

1 / √2 = (√2) / 2.

Допълнителни бележки и примери

- Когато работите с радикали и алгебрични преобразувания, пазете областта на дефиниция и при необходимост използвайте абсолютни стойности при извеждане на квадратни корени извън радикала.

- Корените имат приложение в геометрия, физика, инженерство и статистика (например при изчисляване на дължини, стандартно отклонение, решаване на полиномиални уравнения и др.).

- За комплексни корени е удобно да използвате полярна форма (magnitude × e^{iθ}) и формулата на Де Мауивр за намиране на всички n-ти корени.

Ако желаете, мога да добавя примери с подробни стъпки за опростяване на конкретни радикали или да обясня как да се намират комплексни n-ти корени стъпка по стъпка.