Квадратни числа: определение, свойства и примери

Научете какво са квадратните числа — дефиниция, свойства и примери; формули, графични представяния и практични задачи за бързо овладяване.

Автор: Leandro Alegsa

25-11-2025 18:38

Квадратното число, понякога наричано и идеален квадрат, е резултат от умножение на цяло число по себе си. 1, 4, 9, 16 и 25 са първите пет квадратни числа. Във формула квадратът на числото n се означава с $n 2$ (експоненция), обикновено се произнася като "n на квадрат". Названието квадратно число идва от името на формата; вж. по-долу.

Квадратните числа са неотрицателни. Друг начин да се каже, че едно (неотрицателно) число е квадратно число, е, че квадратният му корен отново е цяло число. Например, √9 = 3, така че 9 е квадратно число.

Основни примери

Първи квадратни числа: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. (0 = 0²)
Общи примери: n² за n = 0, ±1, ±2, ±3, ...; в контекста на неотрицателни цели числа се използват n ≥ 0.

Геометрична интерпретация

Квадратно число n² представлява площ на квадрат със страна n единици. Затова името "квадратно число" — то изразява броя на единични квадратчета, които запълват един по-голям квадрат.

Свойства и полезни факти

Разлика между последователни квадрати: (n+1)² − n² = 2n + 1 — разликите са последователни нечетни числа.
Сума на първите n нечетни числа: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n². Това дава лесен начин да се конструира квадрат чрез добавяне на нечетни блокчета.
Паритет: Квадрат на четно число е четно; квадрат на нечетно число е нечетно.
Последни цифри в десетична система: Квадратите могат да завършват само на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Това дава бърз начин да се установи, че число с последна цифра 2, 3, 7 или 8 не може да е квадрат.
Аритметични свойства: n² ≡ 0 или 1 (mod 4) за всяко цяло n; това е полезно при решаване на конгруенции и диофантови уравнения.
Критерий чрез разлагане на прости множители: Едно цяло положително число е квадратно число точно когато в неговата факторизация на прости множители всеки показател е четен. Пример: 36 = 2² · 3² — всички показатели са четни, следователно 36 е квадратно.
Отрицателни числа: В множеството на реалните числа отрицателно число не може да бъде равна на квадрат на реално число; в комплексните числа квадрати на комплексни числа могат да дадат отрицателни реални стойности (например (i·n)² = −n²).

Как да проверим дали едно число е квадратно

Най-простият практически тест: намерете целочисления квадратен корен (floor(sqrt(n))) и проверете дали неговият квадрат дава n.
Преди това бързо филтрирайте по последна цифра: ако последната цифра не е 0,1,4,5,6 или 9, числото не е квадратно.
При големи числа: извършете разлагане на прости множители и проверете дали всички показатели са четни.

Свързани идеи и обобщения

Перфектни квадратни числа: другото название за квадратно число; използва се в контекста на целите числа.
Квадратни числа и триъгълни числа: някои числени връзки и формули свързват квадрати и други фигурни числа; например сумата на две последователни триъгълни числа дава квадратно число.
Приложения: в геометрията (площ), теоремите в теория на числата, криптографията (понякога), при оптимизация и при алгоритми за работа с матрици и индекси.
Разширения: понятия като кубични числа (n³), k-та степен n^k и идеалните степени в алгебраични структури са естествени обобщения на квадратичната идея.

Примери и упражнения

Проверете дали 2025 е квадрат: 2025 = 45², следователно е квадратно число.
Кое е следващото квадратно число след 100? — 121 (11²).
Докажете, че сумата на първите n нечетни числа е n², използвайки индукция или наблюдение върху геометричната конструкция на квадрат.

Квадратните числа са едни от най-елементарните и често срещаните обекти в математиката, с ясна геометрична интерпретация и множество полезни свойства, които се използват в различни области на математиката и приложната наука.

Примери

Квадратите (последователност A000290 в OEIS), по-малки от 70² , са:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Съществуват безкрайно много квадратни числа, както и безкрайно много естествени числа.

Свойства

Числото m е квадратно число тогава и само тогава, когато може да се състави квадрат от m равни (по-малки) квадрата:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Забележка: Белите пролуки между квадратите служат само за подобряване на визуалното възприятие. Не трябва да има празнини между действителните квадратчета.

Квадрат със страна с дължина n има площ $n 2$ .

Изразът за n-тото квадратно число е n² . То е също така равно на сумата от първите n нечетни числа, както се вижда на горните снимки, където квадратът се получава от предишния чрез добавяне на нечетен брой точки (показани в пурпурно). Формулата е следната:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Така например $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Квадратното число може да завършва само с цифрите 0, 1, 4, 6, 9 или 25 в основа 10, както следва:

Ако последната цифра на дадено число е 0, квадратът му завършва с четен брой 0 (т.е. поне 00) и цифрите, предшестващи крайните 0, също трябва да образуват квадрат.
Ако последната цифра на дадено число е 1 или 9, квадратът му завършва с 1 и числото, образувано от предходните цифри, трябва да се дели на четири.
Ако последната цифра на дадено число е 2 или 8, квадратът му завършва на 4, а предходната цифра трябва да е четна.
Ако последната цифра на дадено число е 3 или 7, квадратът му завършва на 9 и числото, образувано от предходните цифри, трябва да се дели на четири.
Ако последната цифра на дадено число е 4 или 6, квадратът му завършва на 6, а предходната цифра трябва да е нечетна.
Ако последната цифра на дадено число е 5, квадратът му завършва с 25, а предходните цифри трябва да са 0, 2, 06 или 56.

Квадратното число не може да бъде идеално число.

Всички четвърти степени, шести степени, осми степени и т.н. са идеални квадрати.

Специални случаи

Ако числото е от вида m5, където m представлява предходните цифри, неговият квадрат е n25, където $n = m \times (m + 1)$ и представлява цифрите преди 25. Например квадратът на 65 може да се изчисли по $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ което прави квадрата равен на 4225.
Ако числото е от вида m0, където m представлява предходните цифри, неговият квадрат е n00, където $n = m 2$ . Например квадратът на 70 е 4900.
Ако числото е двуцифрено и има формата 5m, където m представлява цифрата на единиците, квадратът му е AABB, където $AA = 25 + m$ и $BB = m 2$ . Пример: За да изчислим квадрата на 57, 25 + 7 = 32 и 7² = 49, което означава, че 57² = 3249.

Нечетни и четни квадратни числа

Квадратите на четните числа са четни (и всъщност се делят на 4), тъй като $(2n) 2 = 4n 2$ .

Квадратите на нечетните числа са нечетни, тъй като $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

От това следва, че квадратните корени на четните квадратни числа са четни, а квадратните корени на нечетните квадратни числа са нечетни.

Тъй като всички четни квадратни числа се делят на 4, четните числа от вида $4n + 2$ не са квадратни числа.

Тъй като всички нечетни квадратни числа са от вида $4n + 1$ , нечетните числа от вида $4n + 3$ не са квадратни числа.

Квадратите на нечетните числа са от вида $8n + 1,$ тъй като $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1,$ а $n (n + 1)$ е четно число.

обискирам