Квадратното число, понякога наричано и идеален квадрат, е резултат от умножение на цяло число по себе си. 1, 4, 9, 16 и 25 са първите пет квадратни числа. Във формула квадратът на числото n се означава с n2 (експоненция), обикновено се произнася като "n на квадрат". Названието квадратно число идва от името на формата; вж. по-долу.

Квадратните числа са неотрицателни. Друг начин да се каже, че едно (неотрицателно) число е квадратно число, е, че квадратният му корен отново е цяло число. Например, √9 = 3, така че 9 е квадратно число.

Основни примери

  • Първи квадратни числа: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. (0 = 0²)
  • Общи примери: n² за n = 0, ±1, ±2, ±3, ...; в контекста на неотрицателни цели числа се използват n ≥ 0.

Геометрична интерпретация

Квадратно число n² представлява площ на квадрат със страна n единици. Затова името "квадратно число" — то изразява броя на единични квадратчета, които запълват един по-голям квадрат.

Свойства и полезни факти

  • Разлика между последователни квадрати: (n+1)² − n² = 2n + 1 — разликите са последователни нечетни числа.
  • Сума на първите n нечетни числа: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n². Това дава лесен начин да се конструира квадрат чрез добавяне на нечетни блокчета.
  • Паритет: Квадрат на четно число е четно; квадрат на нечетно число е нечетно.
  • Последни цифри в десетична система: Квадратите могат да завършват само на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Това дава бърз начин да се установи, че число с последна цифра 2, 3, 7 или 8 не може да е квадрат.
  • Аритметични свойства: n² ≡ 0 или 1 (mod 4) за всяко цяло n; това е полезно при решаване на конгруенции и диофантови уравнения.
  • Критерий чрез разлагане на прости множители: Едно цяло положително число е квадратно число точно когато в неговата факторизация на прости множители всеки показател е четен. Пример: 36 = 2² · 3² — всички показатели са четни, следователно 36 е квадратно.
  • Отрицателни числа: В множеството на реалните числа отрицателно число не може да бъде равна на квадрат на реално число; в комплексните числа квадрати на комплексни числа могат да дадат отрицателни реални стойности (например (i·n)² = −n²).

Как да проверим дали едно число е квадратно

  • Най-простият практически тест: намерете целочисления квадратен корен (floor(sqrt(n))) и проверете дали неговият квадрат дава n.
  • Преди това бързо филтрирайте по последна цифра: ако последната цифра не е 0,1,4,5,6 или 9, числото не е квадратно.
  • При големи числа: извършете разлагане на прости множители и проверете дали всички показатели са четни.

Свързани идеи и обобщения

  • Перфектни квадратни числа: другото название за квадратно число; използва се в контекста на целите числа.
  • Квадратни числа и триъгълни числа: някои числени връзки и формули свързват квадрати и други фигурни числа; например сумата на две последователни триъгълни числа дава квадратно число.
  • Приложения: в геометрията (площ), теоремите в теория на числата, криптографията (понякога), при оптимизация и при алгоритми за работа с матрици и индекси.
  • Разширения: понятия като кубични числа (n³), k-та степен n^k и идеалните степени в алгебраични структури са естествени обобщения на квадратичната идея.

Примери и упражнения

  • Проверете дали 2025 е квадрат: 2025 = 45², следователно е квадратно число.
  • Кое е следващото квадратно число след 100? — 121 (11²).
  • Докажете, че сумата на първите n нечетни числа е n², използвайки индукция или наблюдение върху геометричната конструкция на квадрат.

Квадратните числа са едни от най-елементарните и често срещаните обекти в математиката, с ясна геометрична интерпретация и множество полезни свойства, които се използват в различни области на математиката и приложната наука.