Теоремата за простите числа: π(n) ~ n/ln n — разпределение и история

Теоремата за простите числа: π(n) ~ n/ln n — разпределение и история от Гаус и Лежендър до доказването през 1896 г.; ясно обяснение и илюстративни примери.

Теоремата за простите числа е теорема от теорията на числата. Първичните числа не са разпределени равномерно в числовия диапазон. Теоремата формализира идеята, че вероятността да попаднем на просто число между 1 и дадено число намалява с нарастването на числата и дава асимптотична формула за броя им. Ако с π(n) означаваме броя на простите числа ≤ n, то

Формулировка

π(n) ~ n / ln(n) означава, че пределът

lim_n→∞ π(n) / (n / ln n) = 1

тоест отношението между броя на простите ≤ n и функцията n/ln n клони към 1, когато n расте. По-точно, n/ln n дава първокачествена (асимптотична) оценка за π(n). Алтернативно и по-точно приближение е логаритмичният интеграл

li(n) = ∫₂ⁿ dt / ln t,

който обикновено дава по-малка относителна грешка от простото n/ln n за практическите стойности на n.

Смисъл и примери

• Интуицията: при големи числа "плътността" на простите около x е приблизително 1/ln(x). Това означава, че вероятността случаен голям брой x да е прост е ≈ 1/ln(x).
• Пример за брой цифри: сред положителните цели числа с най-много 1000 цифри (т.е. до 10¹⁰⁰⁰) вероятността едно число да е просто е приблизително 1/ln(10¹⁰⁰⁰) = 1/(1000·ln 10) ≈ 1/2302.585, а при числа с най-много 2000 цифри — около 1/ln(10²⁰⁰⁰) ≈ 1/4605.17.
• Числов пример: π(10⁶) = 78 498. Приближението 10⁶/ln(10⁶) ≈ 72 382, а li(10⁶) ≈ 78 627 — видно е, че li(x) обикновено е по-точно за умерено големи x.
• Средната разлика между последователните прости числа сред първите N цели числа е приблизително ln(N), съответстващо на плътността 1/ln(N).

История на конджектурата и доказателството

През 1793 г. петнадесетгодишният Карл Фридрих Гаус (според негови бележки) е предположил асимптотичното поведение на π(x) около x/ln x. Независимо от това, през 1798 г. Адриен-Мари Лежендър също предложил формула от този тип (с по-фина корекция): той предлагал приближение от вида π(x) ≈ x/(ln x − B) за подходяща константа B ≈ 1.08366.

През XIX век Пиер Буливи и Тшебишов (Chebyshev) са показали важни неравенства, които доказват, че ако пределът π(x)/(x/ln x) съществува, то той е ограниченически и близък до 1 — Чебишев установява, че π(x) е Θ(x/ln x), т.е. расте със същия порядък. Крайният строг доказ е на Хадамар и дьо Ла Валe Пусен през 1896 г., които независимо един от друг използват методи от комплексен анализ и свойствата на дзета-функцията на Риман ζ(s) и доказват, че ζ(s) няма нулове по линия Re(s)=1; това е ключов елемент в техните доказателства на теоремата за простите числа.

По-нататъшни резултати и свързани теми

• Елементарно доказателство: през 1948–1949 год. Атле Селберг и Пол Ерьофдс (Selberg и Erdős) дали независимо едно на друго "елементарно" доказателство на теоремата за простите числа, което не използва комплексния анализ и свойствата на ζ(s) в цялата им сила.
• Подобрения на грешковия термин: de la Vallée Poussin дал експоненциално малък термин: π(x) = li(x) + O(x e^{−a√(ln x)}) за някоя константа a>0. По-късни техники (Korobov–Vinogradov) постигнаха още по-силни експоненциални оценки на грешката от вида O(x exp(−c (ln x)^3/5(ln ln x)^−1/5))).
• Свързаност с хипотезата на Риман: ако Хипотезата на Риман е вярна (т.е. всички нетривиални нулове на ζ(s) имат реална част 1/2), то това води до много по-силни оценки за грешката, например π(x) = li(x) + O(√x ln x). Обратно, силни ефективни подобрения на грешката често имат еквивалентни формулировки, свързани със свойствата на нуловете на ζ(s).
• Чебишеви функции: при разглеждане на функциите θ(x) = Σ_p≤x ln p и ψ(x) = Σ_p^k≤x ln p се получават тесни връзки с π(x); много доказателства и оценки за π(x) преминават през изучаването на тези функции.

Заключение

Теоремата за простите числа дава фундаментално и практично разбиране за разпределението на простите: макар простите да изглеждат "случайни", тяхната средна плътност при големи числа се описва прецизно чрез логаритъма. Тезата е централна в аналитичната теория на числата и свързва директно простите с комплексния анализ, дзета-функцията на Риман и редица дълбоки въпроси като Хипотезата на Риман.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява теоремата за простите числа?

В: Равномерно ли са разпределени простите числа в числовата редица?

Въпрос: Какво формализира теоремата за простите числа?

Въпрос: Каква е вероятността да попаднем на просто число между 1 и дадено число?

Въпрос: По-голяма ли е вероятността да се уцели просто число с 2n цифри от вероятността да се уцели просто число с n цифри?

Въпрос: Кой е доказал теоремата за простите числа?

Въпрос: Каква е средната разлика между последователните прости числа сред първите N цели числа?

Търсене по буква