Експоненциална функция | функция, която расте все по-бързо и по-бързо

Свойства

Тъй като експоненциалните функции използват експоненция, те следват същите правила за експонентите. Така,

e x + y = exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x e y {\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}} .

Това следва правилото, че x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}} .

Естественият логаритъм е обратната операция на експоненциалната функция, където:

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}

Експоненциалната функция удовлетворява интересно и важно свойство в диференциалното смятане:

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

Това означава, че наклонът на експоненциалната функция е самата експоненциална функция и в резултат на това има наклон 1 при x = 0 {\displaystyle x=0} . Тези свойства са причината тя да е важна функция в математиката.

 

Приложения

Общата експоненциална функция, при която основата не е непременно e {\displaystyle e} , е сред най-полезните математически функции. Тя се използва за представяне на експоненциалния растеж, който намира приложение в почти всички научни дисциплини и е важен и във финансите. Друго приложение на експоненциалната функция е експоненциалното разпадане, което се наблюдава при радиоактивния разпад и поглъщането на светлина.

Един пример за експоненциална функция в реалния живот е лихвата в банка. Ако човек депозира 100 лири в сметка, която получава 3% лихва месечно, тогава балансът всеки месец (при условие че парите не са докоснати) ще бъде следният:

Месец	Баланс	Месец	Баланс
януари	£100.00	Юли	£119.41
февруари	£103.00	Август	£122.99
Март	£106.09	септември	£126.68
април	£109.27	Октомври	£130.48
Май	£112.55	ноември	£134.39
юни	£115.93	декември	£138.42

Тук забележете как допълнителните пари от лихви се увеличават всеки месец, тъй като колкото по-голямо е първоначалното салдо, толкова по-голяма лихва ще получи лицето.

Два математически примера за експоненциални функции (с основа a) са показани по-долу.

 

Връзка с математическата константа e

Въпреки че основата ( a {\displaystyle a} ) може да бъде всяко число, по-голямо от нула, например 10 или 1/2, често това е специално число, наречено e. Числото e не може да се напише точно, но е почти равно на 2,71828.

Числото e е важно за всяка експоненциална функция. Например, една банка плаща лихва от 0,01% всеки ден. Един човек взема парите от лихвата и ги слага в кутия. След 10 000 дни (около 30 години) той има 2 пъти повече пари, отколкото в началото. Друг човек взема парите от лихвата и ги връща в банката. Тъй като сега банката му плаща лихва върху неговата лихва, количеството пари е експоненциална функция.

Всъщност след 10 000 дни той не разполага с 2 пъти повече пари, отколкото в началото, а с 2,718145 пъти повече пари, отколкото в началото. Това число е много близко до числото e. Ако банката плаща лихва по-често, така че платената сума всеки път да е по-малка, тогава числото ще е по-близо до числото e.

Човек може да погледне и картинката, за да разбере защо числото e е важно за експоненциалните функции. На картинката има три различни криви. Кривата с черните точки е експоненциална функция с основа малко по-малка от e. Кривата с късите черни линии е експоненциална функция с основа малко по-голяма от e. Синята крива е експоненциална функция с основа точно равна на e. Червената линия е допирателна към синята крива. Тя докосва синята крива в една точка, без да я пресича. Човек може да види, че червената крива пресича оста x, линията, която върви от ляво на дясно при -1. Това е вярно само за синята крива. Това е причината експоненциалната функция с основа e да е специална.

 
e е уникалното число a, така че стойността на производната на експоненциалната функция f (x) = ax (синята крива) в точката x = 0 да е точно 1. За сравнение са показани функциите 2x (пунктирана крива) и 4x (прекъсната крива); те не са допирателни към линията с наклон 1 (червена).  

Свързани страници

• Логаритъм