Диференциално смятане | изучаване на намирането на скоростта на изменение на дадена променлива

Диференциалното смятане, клон на смятането, е наука за определяне на скоростта на изменение на една променлива в сравнение с друга променлива с помощта на функции. Това е начин да се установи как се променя една форма от една точка до друга, без да е необходимо да се разделя формата на безкраен брой части. Диференциалното смятане е противоположно на интегралното смятане. То е разработено през 70-те и 80-те години на XIX век от сър Исак Нютон и Готфрид Лайбниц.

Фон

За разлика от число като 5 или 200, променливата може да променя стойността си. Например разстоянието и времето са променливи. При олимпийско състезание по бягане, докато човек бяга, разстоянието от стартовата линия се увеличава. В същото време хронометърът или часовникът измерва времето, докато то се увеличава. Можем да измерим средната скорост на бегача, ако разделим разстоянието, което е изминал, на времето, което му е отнело. Но това не казва с каква скорост е бягал човекът точно 1,5 секунди след началото на състезанието. Ако имахме разстоянието на 1 секунда и разстоянието на 2 секунди, пак щяхме да имаме само средна стойност, макар че тя вероятно щеше да е по-точна от средната стойност за цялото състезание.

До изобретяването на смятането единственият начин да се разбере това е да се намали времето на все по-малки части, така че средната скорост за по-малкото време да се доближава все повече до действителната скорост точно на 1,5 секунди. Това бил много дълъг и труден процес, който трябвало да се прави всеки път, когато хората искали да разберат нещо. Със сигурност за шофьора е много по-трудно да разбере скоростта на автомобила, като използва само неговия одометър (измервател на разстоянието) и часовник - без скоростомер.

Много подобна задача е намирането на наклона (колко стръмен е той) в която и да е точка на крива. Наклонът на права линия е лесен за определяне - това е просто колко се издига (y или вертикално), разделено на колко се пресича (x или хоризонтално). Ако линията е успоредна на оста x, тогава нейният наклон е равен на нула. Ако права линия минава през точките (x,y) = (2,10) и (4,18), линията се издига с 8 и преминава с 2, така че наклонът ѝ е 8 делено на 2, което е 4.

При "кривата" обаче наклонът е променлива величина (има различни стойности в различните точки), тъй като линията се огъва. Но ако кривата се разреже на много, много малки парчета, кривата в точката ще изглежда почти като много къса права линия. Така че, за да се определи нейният наклон, през точката може да се прекара права линия със същия наклон като този на кривата в тази точка. Ако това е направено точно както трябва, правата линия ще има същия наклон като кривата и се нарича допирателна. Но няма начин да разберем (без изчисления) дали тангентата е точно права, а очите ни не са достатъчно точни, за да сме сигурни дали е точна или просто много близка.

Това, което Нютон и Лайбниц откриват, е начин за точно определяне на наклона (или на скоростта в примера с разстоянието) с помощта на прости и логични правила. Те разделили кривата на безкраен брой много малки части. След това избрали точки от двете страни на интересуващата ги точка и изчислили допирателните към всяка от тях. С приближаването на точките една към друга към интересуващата ги точка наклонът се приближаваше до определена стойност, тъй като допирателните се приближаваха до реалния наклон на кривата. Те казаха, че тази конкретна стойност, към която се приближава, е действителният наклон.

Две различни точки от кривата имат различен наклон. Червената и синята линия са допирателните към кривата.

Как работи

Да кажем, че имаме функция y = f(x). f е съкращение от функция, така че това уравнение означава "y е функция на x". Това ни казва, че колко високо е y по вертикалната ос зависи от това какво е x (хоризонталната ос) в този момент. Например при уравнението y = x² знаем, че ако x е 1, то y ще е 1; ако x е 3, то y ще е 9; ако x е 20, то y ще е 400.

Изберете точка A на кривата и наречете нейното хоризонтално положение x. След това изберете друга точка B на кривата, която е малко по-далеч от A, и наречете нейното хоризонтално положение x + h. Няма значение колко е h; то е много малко число.

Така че, когато преминем от точка А към точка Б, вертикалното положение се е променило от f(x) на f(x + h), а хоризонталното положение се е променило от x на x + h. Сега, не забравяйте, че наклонът е колко се издига нагоре, разделено на колко се пресича. Така че наклонът ще бъде:

f ( x + h ) - f ( x ) h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Ако приближавате B все повече към A - което означава, че h се приближава все повече към 0 - тогава ще се доближим до това да разберем какъв е наклонът в точка A.

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Сега нека се върнем към y = x². Наклонът на тази формула може да се определи по следния начин:

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}}\end{aligned}}$

Прилагане на биномната теорема, която отчасти гласи, че ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ , можем да сведем израза до:

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\&={\frac {}{}}2x\\end{aligned}}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\\&={\frac {}{}}2x\end{aligned}}$

Така че, без да се налага да чертаем допирателни, знаем, че във всяка точка от кривата f(x) = x² производната f'(x) (отбелязана с апостроф) ще бъде 2x във всяка точка. Този процес на определяне на наклона с помощта на граници се нарича диференциране или намиране на производна.

Лайбниц стига до същия резултат, но нарича h "dx", което означава "малка част от x". Получената в резултат на това промяна на f(x) той нарекъл "dy", което означава "малка част от y". Записът на Лайбниц се използва от повече книги, защото е лесен за разбиране, когато уравненията станат по-сложни. В нотацията на Лайбниц:

d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)} ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Картинка, показваща какво означават x и x + h върху кривата.

Правила

Използвайки горната система, математиците са разработили правила, които работят винаги, независимо от това коя функция се разглежда. (Забележка: тук u {\displaystyle u} $u$ и v {\displaystyle v} $v$ са функции на x {\displaystyle x} )

Състояние	Функция	Дериват	Пример:	Дериват
Самостоятелно число	y = a {\displaystyle y=a} $y=a$	d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0} ${\frac {dy}{dx}}=0$	y = 3 {\displaystyle y=3} $y=3$	0 {\displaystyle 0} $0$
Права линия	y = m x + c {\displaystyle y=mx+c} $y=mx+c$	d y d x = m {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=m} ${\frac {dy}{dx}}=m$	y = 3 x + 5 {\displaystyle y=3x+5} $y=3x+5$	3 {\displaystyle 3} $3$
x до степен на число	x a {\displaystyle x^{a}} $x^{a}$	d y d x = a x a - 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}} ${\frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}$	x 12 {\displaystyle x^{12}} $x^{12}$	12 x 11 {\displaystyle 12x^{11}} $12x^{11}$
Число, умножено по функция	y = c ⋅ u {\displaystyle y=c\cdot u} $y=c\cdot u$	d y d x = c d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=c{\frac {du}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}=c{\frac {du}{dx}}$	y = 3 ( x 2 + x ) {\displaystyle y=3(x^{2}+x)} $y=3(x^{2}+x)$	3 ( 2 x + 1 ) {\displaystyle 3(2x+1)} $3(2x+1)$
Функция плюс друга функция	y = u + v {\displaystyle y=u+v} $y=u+v$	d y d x = d u d x + d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 + x {\displaystyle y=3x^{2}+{\sqrt {x}}} $y=3x^{2}+{\sqrt {x}}$	6 x + 1 2 x {\displaystyle 6x+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} $6x+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
Функция минус друга функция	y = u - v {\displaystyle y=u-v} $y=u-v$	d y d x = d u d x - d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 - x {\displaystyle y=3x^{2}-{\sqrt {x}}} $y=3x^{2}-{\sqrt {x}}$	6 x - 1 2 x {\displaystyle 6x-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} $6x-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
Правило за продукта Функция, умножена по друга функция	y = u ⋅ v {\displaystyle y=u\cdot v} $y=u\cdot v$	d y d x = d u d x v + u d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}$	y = ( x 2 + x + 2 ) ( 3 x - 1 ) {\displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)} $y=(x^{2}+x+2)(3x-1)$	( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 3 ( x 2 + x + 2 ) {\displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)} $(3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)$
Коефициент Правило Функция, разделена на друга функция	y = u v {\displaystyle y={\frac {u}{v}}} $y={\frac {u}{v}}$	d y d x = d u d x v - u d v d x v 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$	y = x 2 + 2 x - 1 {\displaystyle y={\frac {x^{2}+2}{x-1}}} $y={\frac {x^{2}+2}{x-1}}$	2 x ( x - 1 ) - ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}} ${\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}$
Верижно правило Използва се за съставни функции	y = u ∘ v {\displaystyle y=u\circ v} $y=u\circ v$	d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	y = 2 x - 1 {\displaystyle y={\sqrt {2x-1}} $y={\sqrt {2x-1}}$	2 2 2 x - 1 = 1 2 x - 1 {\displaystyle {\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}} ${\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}$
Експоненциална функция	y = e x {\displaystyle {\frac {}{}}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	d y d x = e x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}} ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}$	y = e x {\displaystyle {\frac {}{}}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	e x {\displaystyle {\frac {}{}}e^{x}} ${\frac {}{}}e^{x}$

Свързани страници

Дериватив (математика)
Диференциален оператор
Обикновено диференциално уравнение
Математически анализ

Въпроси и отговори

В: Какво представлява диференциалното смятане?

О: Диференциалното смятане е дял от смятането, който изучава скоростта на изменение на една променлива в сравнение с друга променлива с помощта на функции.

В: Как работи?

О: Диференциалното смятане ни позволява да разберем как се променя една форма от една точка до друга, без да е необходимо да разделяме формата на безкраен брой части.

В: Кой е разработил диференциалното смятане?

О: Диференциалното смятане е разработено през 70-те и 80-те години на XIX век от сър Исак Нютон и Готфрид Лайбниц.

В: Какво представлява интегралното смятане?

О: Интегралното смятане е противоположно на диференциалното смятане. То се използва за намиране на площи под криви и обеми на тела с криви повърхности.

В: Кога е разработено диференциалното смятане?