Математически анализ | Разглежда функции, последователности и редици

Части на математическия анализ

Ограничения

Основополагащо понятие в математическия анализ е понятието за граница. Границите се използват, за да се види какво се случва в непосредствена близост до нещата. Границите могат да се използват и за да се види какво се случва, когато нещата станат много големи. Например, 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} никога не е нула, но с увеличаването на n, 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}} все повече се приближава до нулата. Границата на 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} , когато n става по-голямо, е нула. Това се описва с "Границата на 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} , когато n отива към безкрайност, е нула" и се записва като lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Аналогът ще бъде 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} . Когато n {\displaystyle {n}} стане по-голямо, границата отива към безкрайност. Тя се записва като lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Фундаменталната теорема на алгебрата може да се докаже от някои основни резултати в комплексния анализ. Тя гласи, че всеки полином f ( x ) {\displaystyle f(x)} с реални или комплексни коефициенти има комплексен корен (където коренът е числото x, удовлетворяващо уравнението f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , като някои от тези корени могат да бъдат едни и същи).

Диференциално смятане

Функцията f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} е линия. m {\displaystyle {m}} показва наклона на функцията, а c {\displaystyle {c}} показва положението на функцията върху ординатата. С две точки върху линията е възможно да се изчисли наклонът m {\displaystyle {m}} с:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Функция от вида f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} която не е линейна, не може да бъде изчислена по горния начин. Наклонът може да се изчисли само с помощта на тангенс и секанс. Секансът минава през две точки и когато двете точки се приближат, той се превръща в тангенс.

Новата формула е m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Това се нарича коефициент на разликата. Сега x 1 {\displaystyle x_{1}} се доближава до x 0 {\displaystyle x_{0}} . Това може да се изрази със следната формула:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Резултатът се нарича производна или наклон на f в точката x {\displaystyle {x}} .

Интеграция

Интеграцията е свързана с изчисляването на площи.

Символът ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

се чете като "интегралът на f по отношение на x от a до b" и се отнася до площта между оста x, графиката на функцията f и линиите x=a и x=b. Точката a {\displaystyle a} е точката, от която трябва да започне областта, а точката b {\displaystyle b} е мястото, където областта трябва да свърши.

Свързани страници

Теми за анализ

• Calculus
• Комплексен анализ
• Функционален анализ
• Числов анализ

Концепции в анализа

• Серия
• Последователност
• Дериват
• Интегрален