Calculus

История

През 70-те и 80-те години на XIX век сър Исак Нютон в Англия и Готфрид Лайбниц в Германия разгадават математиката едновременно, работейки отделно един от друг. Нютон искал да има нов начин да предсказва къде на небето се виждат планетите, защото астрономията винаги е била популярна и полезна форма на наука, а да се знае повече за движенията на обектите в нощното небе било важно за навигацията на корабите. Лайбниц искал да измери пространството (площта) под крива (линия, която не е права). Много години по-късно двамата мъже спорят кой пръв е открил това. Учените от Англия подкрепили Нютон, но учените от останалата част на Европа подкрепили Лайбниц. Днес повечето математици са съгласни, че заслугата и на двамата е еднаква. Някои части на съвременното смятане произлизат от Нютон, като например използването му във физиката. Други части идват от Лайбниц, като например символите, използвани за записването му.

Те не са първите хора, които използват математиката за описание на физическия свят - Аристотел и Питагор са били по-рано, както и Галилео Галилей, който казва, че математиката е езикът на науката. Но както Нютон, така и Лайбниц са първите, които създават система, която описва как нещата се променят с течение на времето и може да предскаже как ще се променят в бъдеще.

Названието "calculus" е латинската дума за малък камък, който древните римляни използвали за броене и хазарт. Английската дума "calculate" произлиза от същата латинска дума.

Диференциално смятане

Диференциалното смятане се използва за намиране на скоростта на изменение на дадена променлива в сравнение с друга променлива.

В реалния свят той може да се използва за определяне на скоростта на движещ се обект или за разбиране на действието на електричеството и магнетизма. Той е много важен за разбирането на физиката и много други области на науката.

Диференциалното смятане е полезно и за графики. То може да се използва за намиране на наклона на дадена крива и на най-високата и най-ниската точка (наричани максимум и минимум) на кривата.

Променливите могат да променят стойността си. Това е различно от числата, защото числата са винаги едни и същи. Например числото 1 е винаги равно на 1, а числото 200 е винаги равно на 200. Често записвате променливите като букви, например буквата x. "X" може да бъде равно на 1 в един момент и на 200 в друг момент.

Някои примери за променливи са разстоянието и времето, тъй като те могат да се променят. Скоростта на даден обект е колко разстояние изминава той за определено време. Така че, ако един град е на 80 километра и човек с кола стигне до него за един час, той е изминал разстояние със средна скорост 80 километра в час. Но това е само средна стойност - може би в някои моменти са пътували по-бързо (по магистрала), а в други - по-бавно (на светофар или по малка уличка, където живеят хора). Представете си шофьор, който се опитва да разбере скоростта на автомобила, използвайки само неговия одометър (измервател на разстоянието) и часовник, без скоростомер!

До изобретяването на смятането единственият начин да се разбере това е да се намали времето на все по-малки части, така че средната скорост за по-малкото време да се доближава все повече до действителната скорост в даден момент от време. Това бил много дълъг и труден процес и трябвало да се прави всеки път, когато хората искали да разберат нещо.

Много подобна задача е намирането на наклона (колко стръмен е той) в която и да е точка на крива. Наклонът на права линия е лесен за определяне - това е просто колко се издига (y или вертикално), разделено на колко се пресича (x или хоризонтално). При кривата обаче наклонът е променлива величина (има различни стойности в различните точки), тъй като линията се огъва. Но ако кривата бъде разрязана на много, много малки парчета, кривата в точката ще изглежда почти като много къса права линия. Така че, за да се определи наклонът ѝ, през точката може да се прекара права линия със същия наклон като кривата в тази точка. Ако това е направено точно както трябва, правата линия ще има същия наклон като кривата и се нарича допирателна. Но няма начин да разберем (без много сложна математика) дали тангентата е точно права, а очите ни не са достатъчно точни, за да сме сигурни дали е точна или просто много близка.

Това, което Нютон и Лайбниц откриват, е начин за точно определяне на наклона (или скоростта в примера с разстоянието) с помощта на прости и логични правила. Те разделили кривата на безкраен брой много малки части. След това избрали точки от двете страни на интересуващия ги диапазон и изработили допирателни към всяка от тях. С приближаването на точките една към друга към интересуващата ги точка наклонът се приближаваше до определена стойност, тъй като допирателните се приближаваха до реалния наклон на кривата. Конкретната стойност, към която се приближаваше, беше действителният наклон.

Да речем, че имаме функция y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f е съкращение от функция, така че това уравнение означава "y е функция на x". Това ни казва, че височината на y върху вертикалната ос зависи от това какво е x (хоризонталната ос) в този момент. Например, при уравнението y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} , знаем, че ако x {\displaystyle x} е 1, то y {\displaystyle y} ще бъде 1; ако x {\displaystyle x} е 3, то y {\displaystyle y} ще бъде 9; ако x {\displaystyle x} е 20, то y {\displaystyle y} ще бъде 400. Производната, получена по този метод, е x 2{\displaystyle 2x} или 2, умножено по x {\displaystyle x}. Така че, без да се налага да чертаем допирателни, знаем, че във всяка точка от кривата f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , производната, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (отбелязана със символа на простата), ще бъде x 2{\displaystyle 2x} във всяка точка. Този процес на определяне на наклона с помощта на граници се нарича диференциране или намиране на производна.

Начинът за записване на производната в математиката е f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Лайбниц стига до същия резултат, но нарича h " d x {\displaystyle dx} ", което означава "по отношение на x". Получената в резултат на това промяна в f ( x ) той нарича {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", което означава "малка част от y". Записът на Лайбниц се използва в повече книги, защото е лесен за разбиране, когато уравненията станат по-сложни. В нотацията на Лайбниц: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Математиците са развили тази основна теория, за да създадат прости алгебрични правила, които могат да се използват за намиране на производната на почти всяка функция.

Две различни точки от кривата имат различен наклон. Червената и синята линия са допирателните към кривата.


Картинка, която показва какво означават x и x + h върху кривата.

Интегрално смятане

Интегралното смятане е процесът на изчисляване на площта под графиката на дадена функция. Пример за това е изчисляването на разстоянието, което изминава един автомобил: ако знаете скоростта на автомобила в различни моменти от време и начертаете графика на тази скорост, то разстоянието, което изминава автомобилът, ще бъде площта под графиката.

Начинът да направите това е да разделите графиката на много малки части и след това да начертаете много тънки правоъгълници под всяка част. Тъй като правоъгълниците стават все по-тънки, те покриват все по-добре площта под графиката. Площта на един правоъгълник е лесна за изчисляване, така че можем да изчислим общата площ на всички правоъгълници. За по-тънките правоъгълници тази стойност на общата площ се доближава до площта под графиката. Крайната стойност на площта се нарича интеграл на функцията.

В математиката интегралът на функцията f(x) от a до b се записва като ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Можем да определим приблизително площта под дадена крива, като съберем площите на много правоъгълници под кривата. Колкото повече правоъгълници използваме, толкова по-добро е нашето приближение.


Интегрирането се състои в намиране на площите, като са дадени a, b и y = f(x).

Основна идея на смятането

Основната идея в смятането се нарича фундаментална теорема на смятането. Тази основна идея гласи, че двата процеса на смятане - диференциално и интегрално смятане - са противоположни. Това означава, че човек може да използва диференциално смятане, за да отмени процес на интегрално смятане. Също така човек може да използва интегрално смятане, за да отмени метод на диференциално смятане. Това е точно както използването на деление за "отмяна" на умножение или на събиране за "отмяна" на изваждане.

С едно изречение фундаменталната теорема звучи така: "Производната на интеграла на функция f е самата функция".

Други приложения на смятането

Изчисленията се използват за описване на неща, които се променят, като например нещата в природата. То може да се използва за показване и изучаване на всички тези неща:

• Как се движат вълните. Вълните са много важни в света на природата. Например звукът и светлината могат да се разглеждат като вълни.
• Там, където се движи топлина, например в къща. Това е полезно за архитектурата (строителството на къщи), за да може къщата да се отоплява възможно най-евтино.
• Как действат много малки неща като атомите.
• Колко бързо ще падне нещо, известно също като гравитация.
• Как работят машините, известно още като механика.
• Пътят на Луната по време на движението ѝ около Земята. Също така пътят на Земята около Слънцето, както и на всяка планета или Луна, която се движи около нещо в пространството.