Функция

В математиката функцията е математически обект, който дава изход, когато му се зададе вход (който може да бъде число, вектор или каквото и да е друго, което може да съществува в набор от неща).

Така че функцията е нещо като машина, която приема стойност x и връща изходна стойност y. Множеството от всички стойности, които може да има x, се нарича област, а множеството, което съдържа всяка стойност, която може да има y, се нарича съобласт. Функцията често се обозначава с курсивни букви, например f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} , h {\displaystyle h} $h$ .

Ако това се случи, тогава казваме, че y е функция на x, и пишем y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ . Тук f {\displaystyle f} е името на функцията, а f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} (функция от X към Y) се изписва, за да се представят трите части на функцията: областта (X), кодомената (Y) и процеса на сдвояване (стрелката).

Пример за функция е f ( x ) = x + 1 {\displaystyle f(x)=x+1} $f(x)=x+1$ . Дава се естествено число x {\displaystyle x} като вход и се получава естествено число y {\displaystyle y} , което е x + 1 {\displaystyle x+1} $x+1$ . Например, ако дадете 3 като вход на f {\displaystyle f} , на изхода ще получите 4.

Не е задължително функцията да е уравнение. Основната идея е, че входовете и изходите се свързват по някакъв начин - дори ако процесът може да е много сложен.

Метафори

Таблици

Входните и изходните данни могат да се поставят в таблица, както е показано на картинката; това е лесно, ако няма много данни.

Графики

На картинката се вижда, че и 2, и 3 са сдвоени с c; това не е позволено в другата посока, тъй като 2 не може да изведе c и d едновременно (всеки вход може да има само един изход). Всички f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) (c и d на картинката) обикновено се наричат набор от изображения на f {\displaystyle f} , а наборът от изображения може да бъде цялата кодома или едно от нейните подмножества. Може да се каже, че множеството на образите на подмножество A от областта е f(A). Ако входовете и изходите имат определен ред, тогава е лесно да ги начертаете на графика:

По този начин изображението се намира върху изображението на множеството А.

История

През 1690 г. Готфрид Лайбниц и Йохан Бернули използват думата "функция" с букви помежду си, така че съвременното понятие започва по същото време като смятането.

През 1748 г. Леонхард Ойлер дава следното определение за функция:

"Функция на променлива величина е аналитичен израз, съставен по какъвто и да е начин от променливата величина и числа или постоянни величини."

и след това през 1755 г:

"Ако някои величини зависят от други величини дотолкова, че ако последните се променят, първите се променят, тогава първите величини се наричат функции на вторите. Това определение се прилага доста широко и включва всички начини, по които една величина може да бъде обусловена от друга. Следователно, ако с x се обозначава променлива величина, то всички величини, които по някакъв начин зависят от x или се определят от него, се наричат функции на x."

Обикновено на Петер Дирихле се приписва първото съвременно определение на функция (формулирано през 1837 г.). То често се използва в училищата до втората половина на 20 век:

"y е функция на променливата x, дефинирана на интервала a < x < b, ако на всяка стойност на променливата x в този интервал съответства определена стойност на променливата y. Също така е без значение по какъв начин се установява това съответствие."

През 1939 г. Бурбаки обобщава определението на Дирихле и дава теоретико-множествена версия на определението като съответствие между входове и изходи; това се използва в училищата от около 1960 г.

Накрая през 1970 г. Бурбаки дава съвременното определение като тройка f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} , като F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ $F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F$ (т.е. f : X → Y {\displaystyle f:X\към Y} и F = { ( x , f ( x ) ) ∣ x ∈ X , f ( x ) ∈ $F=\{(x,f(x))\mid x\in X,f(x)\in Y\}$ ). $X се$ нарича област на $f, Y$ - негова кодома, а $F -$ негов граф. Множеството от всички елементи на формата $f (x),$ където $x се$ простира над елементите на областта $X,$ се нарича образ на $f$ . Образът на функция е подмножество на нейната кодомайна и може да не съвпада с нея.

Видове функции

Елементарни функции - Функциите, които обикновено се изучават в училище: дроби, квадратни корени, функциите синус, косинус и тангенс и някои други функции.
Неелементарни функции - Повечето от тях използват операции, които не изучаваме в училище (като + или -, или мощности). Много интеграли например са неелементарни.
Обратни функции - Функции, които отменят друга функция. Например: ако F(x) е обратната функция на f(x)=y, то F(y)=x. Не всички функции имат обратни функции.
Специални функции: Функции, които имат имена. Те включват тригонометрични функции като синус, косинус и тангенс. Функции като f(x)=3x (три пъти х) не се наричат специални функции. Специалните функции могат да бъдат елементарни, неелементарни или обратни.

Свързани страници

Постоянна функция
Непрекъсната функция
Функционален състав
Специални функции

Гама функция
Матрична функция

Линейна функция
Луси Джоан Слейтър - британски математик, който изучава математическите функции
MATLAB, Wolfram Mathematica - софтуер за изчисляване на математически функции
Връзка (математика)

Въпроси и отговори

В: Какво е функция в математиката?

О: Функцията в математиката е обект, който произвежда изход, когато му е даден вход, който може да бъде число, вектор или нещо, което може да съществува вътре в множество от неща.

В: Кои са двете множества, свързани с функциите?

О: Множеството от всички стойности, които може да има x, се нарича област, а множеството, което съдържа всяка стойност, която може да има y, се нарича съобласт.

В: Как често се означават функциите?

О: Функциите често се означават с курсивни букви, например f, g, h.

В: Как представяме една функция?

О: Представяме една функция, като записваме y = f(x), където f е името на функцията, а се пише f : X → Y (функция от X към Y), за да се представят трите части на функцията - област (X), кодомен (Y) и процес на сдвояване (стрелката).

Въпрос: Можете ли да дадете пример за функция?

О: Пример за функция е f(x) = x + 1. Дава се естествено число x като вход и се получава естествено число y, което е x + 1. Например, ако на входа на f се даде 3, на изхода се получава 4.

Въпрос: Трябва ли всяка функция да бъде уравнение?

О: Не, не всяка функция трябва да бъде уравнение. Основната идея на функциите е, че входовете и изходите се свързват по някакъв начин - дори това да е много сложно.