Композиция на функции: дефиниция, примери и основни свойства

Композиция на функции: ясна дефиниция, илюстративни примери и основни свойства за лесно разбиране и приложение в задачи, релации и математически модели.

В математиката композицията на функции е начин за създаване на нова функция от две други функции чрез процес, подобен на верига.

По-конкретно, ако имаме функция f от X към Y и функция g от Y към Z, то функцията "g, съставена от f", записана като g ∘ f, е функция от X към Z (забележете, че обикновено се записва по обратния начин, отколкото хората биха очаквали).

Стойността на f при вход x се записва като f(x). Стойността на g ∘ f, зададена на входа x, се записва като (g ∘ f)(x) и се определя като g(f(x)).

Като пример нека f е функция, която удвоява число (умножава го по 2), а g е функция, която изважда 1 от число. Тези две функции могат да се запишат като:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x}

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1}

Тук g, съставена от f, ще бъде функцията, която удвоява едно число и след това изважда от него 1. Тоест:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1}

От друга страна, f, съставена от g, ще бъде функцията, която изважда 1 от дадено число и след това го удвоява:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)}

Композицията на функциите може да се обобщи и за двоични релации, където понякога се представя със същия символ ∘ {\displaystyle \circ } (както в R ∘ S {\displaystyle R\circ S} ).

Дефиниция и домейн

Формално: за функции f:X→Y и g:Y→Z композицията g∘f е функция от X→Z, дефинирана чрез (g∘f)(x)=g(f(x)) за всички x∈X такива, че f(x) е в домейна на g. В практиката често казваме, че g и f са съвместими за композиция, когато образът на f е подмножество на домейна на g.

Важно за домейните: ако f: X→Y, но g е дефинирана само върху подмножество D⊆Y, тогава g∘f е дефинирана само върху множеството {x∈X | f(x)∈D}.

Допълнителни примери

• Нека f(x)=x^2 (от R→R) и g(x)=√x (дефинирана за x≥0). Тогава g∘f(x)=√(x^2)=|x| — това е добре дефиниранa за всички x∈R, защото x^2≥0 за всички x. Обратно, f∘g(x)= (√x)^2 = x — дефинирана само за x≥0.
• Пример с частична дефиниция: f(x)=1/x (дефинирана за x≠0), g(x)=√x (дефинирана за x≥0). g∘f е дефинирана само за x>0, защото 1/x трябва да е ≥0.

Основни свойства

• Нотация: (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Порядъкът има значение: в общия случай g∘f ≠ f∘g (композицията не е комутативна). Това вече се вижда в примера с удвояване и изваждане: (g∘f)(x)=2x−1, докато (f∘g)(x)=2x−2.
• Асоциативност: ако f:A→B, g:B→C и h:C→D, то h∘(g∘f)=(h∘g)∘f. Следователно можем да пишем h∘g∘f без скоби, тъй като редът на приложение е добре определен (първо f, после g, после h).
• Идентичност: за всяко множество X има идентична функция id_X: X→X с id_X(x)=x. За всяка f:X→Y е в сила id_Y∘f = f = f∘id_X.
• Обратими функции: ако f:X→Y е биекция, тогава има обратна функция f^{-1}:Y→X и f^{-1}∘f = id_X, f∘f^{-1} = id_Y.
• Връзка с инжективност и сюрективност:
  • Ако f и g са инжективни, то g∘f е инжективна.
  • Ако g∘f е инжективна, то f задължително е инжективна (но g може да не е).
  • Ако f и g са сюрективни, то g∘f е сюрективна.
  • Ако g∘f е сюрективна, то g задължително е сюрективна (но f може да не е).

Кратки доказателни бележки

• Асоциативност (интуитивно): (h∘(g∘f))(x)=h((g∘f)(x))=h(g(f(x))). От друга страна, ((h∘g)∘f)(x)=(h∘g)(f(x))=h(g(f(x))). Двете страни дават една и съща стойност за всеки x, затова са равни като функции.
• Инжективност: ако g(f(x1))=g(f(x2)) и g е инжективна, то f(x1)=f(x2); ако и f е инжективна, следва x1=x2. За обратното твърдение: ако g∘f е инжективна, тогава от g(f(x1))=g(f(x2)) следва x1=x2 и следователно f(x1)=f(x2), т.е. f е инжективна.

Композиция на релации

Композицията се дефинира и за релации. За релации S⊆A×B и R⊆B×C композицията R∘S е релация в A×C, дефинирана като

R∘S = { (a,c) ∈ A×C | съществува b∈B с (a,b)∈S и (b,c)∈R }.

Обърнете внимание на реда: първо се използва S (A→B), после R (B→C), резултатът свързва A към C.

Приложения и контекст

• Композицията е фундаментална концепция в анализа, алгебрата, теорията на категориите и информатиката (например при съставяне на програми или трансформации).
• В теорията на функциите и преобразуванията често се изучават свойства като комутативност в специални случаи (когато две функции “комутират”), циклични композиции и итерация (f∘f∘...∘f), които дават динамични системи и рекурсии.

Ключови изводи

• Композицията g∘f означава: приложи първо f, после g; стойностите се записват като g(f(x)).
• Композицията е асоциативна, но не е комутативна в общия случай.
• За да бъде съставена g∘f, образът на f трябва да попада в домейна на g.
• Композицията има ясни връзки с понятията идентичност, инверсия, инжективност и сюрективност.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява функционалният състав?

В: Как се композира стойността на g със записаната f?

В: Кои са някои примери за функции?

В: Какъв би бил примерът за g, съставен от f?

В: Какъв би бил примерът за f, съставен от g?

Въпрос: Може ли композицията да се обобщи и за двоични отношения?

Търсене по буква