Функционален състав | начин за създаване на нова функция от две други функции

В математиката композицията на функции е начин за създаване на нова функция от две други функции чрез процес, подобен на верига.

По-конкретно, ако имаме функция f от X към Y и функция g от Y към Z, то функцията "g, съставена от f", записана като g ∘ f, е функция от X към Z (забележете, че обикновено се записва по обратния начин, отколкото хората биха очаквали).

Стойността на f при вход x се записва като f(x). Стойността на g ∘ f, зададена на входа x, се записва като (g ∘ f)(x) и се определя като g(f(x)).

Като пример нека f е функция, която удвоява число (умножава го по 2), а g е функция, която изважда 1 от число. Тези две функции могат да се запишат като:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Тук g, съставена от f, ще бъде функцията, която удвоява едно число и след това изважда от него 1. Тоест:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

От друга страна, f, съставена от g, ще бъде функцията, която изважда 1 от дадено число и след това го удвоява:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Композицията на функциите може да се обобщи и за двоични релации, където понякога се представя със същия символ ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ (както в R ∘ S {\displaystyle R\circ S} ). $R\circ S$

Свойства

Може да се докаже, че композицията на функции е асоциативна, което означава, че:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Композицията на функции обаче по принцип не е комутативна, което означава, че:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Това може да се види и в първия пример, където (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 и (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Свързани страници

Правило за веригата

Въпроси и отговори

В: Какво представлява функционалният състав?

О: Композицията на функцията е начин за създаване на нова функция от две други функции чрез процес, подобен на верига.

В: Как се композира стойността на g със записаната f?

О: Стойността на g, съставена от f, се записва като (g ∘ f)(x) и се определя като g(f(x)).

В: Кои са някои примери за функции?

О: Пример за това може да бъде функция, която удвоява едно число (умножава го по 2), и друга, която изважда 1 от едно число.

В: Какъв би бил примерът за g, съставен от f?

О: Пример за g, съставена от f, би била функцията, която удвоява едно число и след това изважда 1 от него. Това е (g ∘ f)(x)=2x-1.

В: Какъв би бил примерът за f, съставен от g?

О: Пример за f, съставена от g, би била функцията, която изважда 1 от едно число, а след това го удвоява, т.е. (f ∘ g)(x)=2(x-1).

Въпрос: Може ли композицията да се обобщи и за двоични отношения?

О: Да, композицията може да се обобщи и за двоични релации, където понякога се представя със същия символ (както в R ∘ S).