AlegsaOnline.com

Гама-функция — разширение на факториала за комплексни числа

Гама-функция Γ(z) разширение на факториала за комплексни числа, дефиниция, свойства, полюси и формула на Ейлер с интегрално представяне, ясно и подходящо за студенти и изследователи

Автор: Leandro Alegsa Дата на създаване: 7 ноември 2021 г. Последна актуализация: 21 август 2025 г.

en.wikipedia.org · Public domain

В математиката функцията гама (Γ(z)) е разширение на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа. За цели положителни числа тя се определя като Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Функцията гама е дефинирана за всички комплексни числа. Но тя не е дефинирана за отрицателни цели числа и нула. За комплексно число, чиято реална част не е отрицателно цяло число, функцията е дефинирана по следния начин:

Интегрална дефиниция (за Re(z) > 0):
Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z-1} e^{-t} dt, за Re(z) > 0.

Основни свойства

Рекурентно отношение: Γ(z+1) = z Γ(z). Това отношение връща факториала, защото за естествено число n получаваме Γ(n+1) = n!.
Аналитично продължение: Чрез рекурентното отношение и представяния като интеграл или произведение функцията се продължава аналитично до цялата комплексна равнина, с изключение на отрицателните цели числа (z = 0, −1, −2, ...), където има прости полюси.
Полюси и резидуи: Γ(z) има прости полюси при z = −n (n = 0,1,2,...). Резидуото при z = −n е Res(Γ, −n) = (−1)^n / n!.
Рефлективна формула (Ейлер): Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z). Тази формула е удобна за изчисляване на стойности и за доказване на симетрични свойства.
Дублираща (двойствена) формула: Γ(z) Γ(z+1/2) = 2^{1−2z} √π Γ(2z). Оттам следва например, че Γ(1/2) = √π.
Свързаност с бета-функцията: Бета-функцията се дефинира чрез Γ: B(x,y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Това връзва гама-функцията с интеграли от типа ∫_0^1 t^{x-1} (1−t)^{y-1} dt.
Важни стойности: Γ(1) = 1, Γ(1/2) = √π, за естествено n: Γ(n) = (n−1)!.

Други представяния и асимптотика

Вайерштрасово произведение: 1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_{n=1}^∞ (1 + z/n) e^{-z/n}, където γ е константата на Ейлер–Маскерони. Това дава аналитична експресия за 1/Γ(z).
Стерлингова формула (асимптотика): За |z| → ∞ (в ограничен сектор около положителната реална ос) важи приближението Γ(z) ~ √(2π) z^{z−1/2} e^{−z} (1 + O(1/z)). То е полезно при оценки и числени изчисления.
Пси-функция (дигамма): Производната на логаритъма на гама-функцията ψ(z) = d/dz ln Γ(z) дава важни идентичности и се използва в теорията на специалните функции.

Приложения

Гама-функцията се използва широко в теорията на вероятностите (разпределенията Гама и Бета), в статистиката, в комбинираториката (разширения на факториала), в теорията на специалните функции и математическата физика (интеграли, регуляризация, фракционни оператори). Много уравнения и функции в приложната математика и физиката имат естествени изрази чрез Γ(z).

Това са само основните факти и свойства; гама-функцията има богата теория и множество допълнителни представяния и приложения в различни области на математиката и физиката.

Свойства

Специфични стойности

Някои конкретни стойности на функцията гама са:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Гама (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Гама (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Гама (2)&=1!&=1\\Гама (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1,32934038818\\\Гама (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Функция Пи

Гаус въвежда функцията Пи. Това е друг начин за обозначаване на функцията гама. По отношение на функцията гама, функцията Пи е

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

така че

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

за всяко неотрицателно цяло число n.

Приложения

Аналитична теория на числата

Функцията гама се използва за изучаване на функцията зита на Риман. Свойство на функцията на Риман дзета е нейното функционално уравнение:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Бернхард Риман открива връзка между тези две функции. Това става в статията от 1859 г. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("За броя на първичните числа, по-малки от дадено количество")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява функцията гама в математиката?

О: Гама функцията е ключова тема в областта на специалните функции в математиката.

В: Какво е разширението на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа?

О: Функцията гама е разширение на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа.

Въпрос: Как се дефинира функцията гама за цели положителни числа?

О: За цели положителни числа функцията гама се определя като Γ(n) = (n-1)!

В: Дефинирана ли е функцията гама за всички комплексни числа?

О: Да, функцията гама е дефинирана за всички комплексни числа.

В: Дефинирана ли е функцията гама за отрицателни цели числа и нула?

О: Не, функцията гама не е дефинирана за отрицателни цели числа и нула.

Въпрос: Как се дефинира функцията гама за комплексно число, чиято реална част не е цяло отрицателно число?

О: Гама функцията се определя за комплексно число, чиято реална част не е отрицателно цяло число, чрез специална формула, която не е дадена в текста.

В: Защо функцията гама е важна в математиката?

О: Функцията гама е важна за математиката, защото е ключова тема в областта на специалните функции и разширява функцията факториал до всички комплексни числа, с изключение на отрицателните цели числа.