Гама-функция
В математиката функцията гама (Γ(z)) е разширение на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа. За цели положителни числа тя се определя като Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Функцията гама е дефинирана за всички комплексни числа. Но тя не е дефинирана за отрицателни цели числа и нула. За комплексно число, чиято реална част не е отрицателно цяло число, функцията е дефинирана по следния начин:
Гама функцията по част от реалната ос
Свойства
Специфични стойности
Някои конкретни стойности на функцията гама са:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Гама (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Гама (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Гама (2)&=1!&=1\\Гама (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1,32934038818\\\Гама (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}} 
Функция Пи
Гаус въвежда функцията Пи. Това е друг начин за обозначаване на функцията гама. По отношение на функцията гама, функцията Пи е
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} 
така че
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
за всяко неотрицателно цяло число n.
Приложения
Аналитична теория на числата
Функцията гама се използва за изучаване на функцията зита на Риман. Свойство на функцията на Риман дзета е нейното функционално уравнение:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Бернхард Риман открива връзка между тези две функции. Това става в статията от 1859 г. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("За броя на първичните числа, по-малки от дадено количество")
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво представлява функцията гама в математиката?
О: Гама функцията е ключова тема в областта на специалните функции в математиката.
В: Какво е разширението на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа?
О: Функцията гама е разширение на функцията факториал до всички комплексни числа с изключение на отрицателните цели числа.
Въпрос: Как се дефинира функцията гама за цели положителни числа?
О: За цели положителни числа функцията гама се определя като Γ(n) = (n-1)!
В: Дефинирана ли е функцията гама за всички комплексни числа?
О: Да, функцията гама е дефинирана за всички комплексни числа.
В: Дефинирана ли е функцията гама за отрицателни цели числа и нула?
О: Не, функцията гама не е дефинирана за отрицателни цели числа и нула.
Въпрос: Как се дефинира функцията гама за комплексно число, чиято реална част не е цяло отрицателно число?
О: Гама функцията се определя за комплексно число, чиято реална част не е отрицателно цяло число, чрез специална формула, която не е дадена в текста.
В: Защо функцията гама е важна в математиката?
О: Функцията гама е важна за математиката, защото е ключова тема в областта на специалните функции и разширява функцията факториал до всички комплексни числа, с изключение на отрицателните цели числа.
