Георг Фридрих Бернхард Риман (роден на 17 септември 1826 г. близо до Хановер; починал на 20 юли 1866 г. в Селаска, Италия) е немски математик. Той има кратък живот и не е записал много за откритията си, но всички неща, които е открил, са изключително важни и имат революционен ефект върху математиката. Той допринася за много области на математиката, като анализ, геометрия, математическа физика и теория на числата. Днес много хора го смятат за велик математик. Той е сред първите математици, които работят върху комплексния анализ. Започнатият от него вид геометрия (която днес се нарича Риманова геометрия) е една от основите на теорията на относителността, разработена от Алберт Айнщайн.

Кратка биография

Риман е роден в малко селце близо до Хановер. Учи първоначално религия и филология, но от 1846 г. следва математика в университета в Гьотинген, където се среща с влиятелни учени като Карл Фридрих Гаус и други. През 1850–1851 г. посещава Берлин, за да се усъвършенства при водещи математици на времето. Защитява докторска дисертация и през 1854 г. представя своята хабилитационна лекция, която полага основите на това, което днес наричаме риманова геометрия. Риман страда от продължителни здравословни проблеми (вероятно туберкулоза), което ограничава неговата продуктивност и пътувания; умира през 1866 г. в Селаска, Италия, на 39 години.

Основни приноси

  • Риманова геометрия: В работите си Риман въвежда идеята за многомерни разнообразия (нем. Mannigfaltigkeit) и задава начин за измерване на разстояния чрез локални квадратични форми (риманови метрики). От тук произлизат понятия като кривина, геодезични и тензор на кривината, които са в основата на съвременната диференциална геометрия и геометричните основи на общата теория на относителността.
  • Риманови повърхнини и комплексен анализ: Риман систематизира начина, по който многостепенни (къмплексно-разклонени) функции се моделират чрез повърхнини — т.нар. риманови повърхнини. Това дава мощен визуален и структурен инструмент в теорията на функции на комплексна променлива и в алгебричната геометрия.
  • Риманов интеграл: В анализа той формализира понятието за интеграл (сега наричан риманов интеграл) чрез сумите на Риман, което дава основа за съвременната теория на интегрирането преди появата на по-широки конструкции като Лебеговия интеграл.
  • Риманова хипотеза и дзета-функция: В статията си от 1859 г. той въвежда функцията, известна като Римановата дзета-функция, и поставя знаменитото предположение (Римановата хипотеза), че всички нетривиални нули на дзета-функцията имат реална част 1/2. Това е едно от най-известните и все още нерешени задачи в математиката със сериозни последици за разпределението на простите числа.
  • Теорема на Риман–Рох: Риман поставя основите на тясната връзка между функцията на дивизорите на алгебрични криви и размерността на пространството на мероморфните функции — теоремата, която по-късно се формулира като теорема на Риман–Рох, е ключова в алгебричната геометрия.
  • Други приноси: Работи по теория на потенциала, по методите за аналитично продължаване, по теория на абелевите и θ-функции и по въпроси, свързани с електродинамиката и математическата физика.

Методи и значими идеи

Риман често използва интуитивни аналитични и геометрични аргументи; някои от неговите доказателства (например използването на т.нар. Дирихлетов принцип) по-късно бяха предмет на критика и доработка от по-строги анализатори като Вайерштрас. Въпреки това неговите идеи се оказват продуктивни и вдъхновяващи: много формални детайли впоследствие са оправдани и разработени от други учени.

Влияние и наследство

Въпреки че Риман е публикувал сравнително малко, неговите идеи са изключително дълбоки и широко приложими. Римановата геометрия е математическата рамка, която позволява на Айнщайн да формулира общата теория на относителността; римановите повърхнини и интегралните конструкции са основополагащи в комплексния анализ и алгебричната геометрия; Римановата хипотеза остава централен проблем в теорията на числата. Съвременната математика и физика многократно се връщат към понятията и техниките, въведени от Риман.

Избрани публикации

  • Хабилитационна лекция (1854) „За хипотезите, които лежат в основата на геометрията“ — въвежда риманова геометрия.
  • Статия (1859) „За броя на простите по-малки от дадено число“ — въвежда дзета-функцията и поставя Римановата хипотеза.
  • Работи и лекции по теория на функциите на комплексна променлива и по абелеви функции; материали, систематизирани и публикувани след смъртта му, продължават да оказват влияние.

Риман остава една от най-влиятелните фигури в математиката: неговите идеи продължават да формират и да стимулират изследванията както в чистата, така и в приложната математика и в теоретичната физика.