Хипотеза на Риман | математически въпрос

Какво представлява хипотезата на Риман?

Какво представлява функцията дзета на Риман?

Зета функцията на Риман е вид функция. Функциите са неща в математиката като уравненията. Функциите приемат числа и ви връщат други числа. Това е подобно на начина, по който получавате отговор, когато зададете въпрос. Числото, което въвеждате, се нарича "вход". Числото, което получавате обратно, се нарича "стойност". Всеки вход, който въвеждате във функцията на Риман Зета, ви връща специална стойност. В повечето случаи получавате различна стойност за всеки вход. Но всеки вход ви дава една и съща стойност всеки път, когато го използвате. Както входът, който въвеждате, така и стойността, която получавате от функцията Риман дзета, са специални числа, наречени комплексни числа. Комплексното число е число с две части - реална и имагинерна. Въображаемата част се нарича въображаема, защото би трябвало да си "представите" такова число като i {\displaystyle i} , което при умножение по себе си е равно на i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} . Тъй като според правилата на аритметиката ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} и ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} такова число не може да съществува, то трябва да бъде измислено. Въображаемите числа имат широко приложение в математиката; без тях много технологии не биха били възможни. Като осезаем пример, за да се използва квадратна формула за решаване на някои уравнения, отговорът понякога трябва да бъде въображаемо число и исторически това е причината въображаемите числа да бъдат изобретени.

Какво е нетривиален корен?

Понякога, когато въведете входни данни във функцията на Риман дзета, получавате обратно числото нула. Когато това се случи, този вход се нарича корен на функцията Риман дзета. Наричате входа "корен", когато той ви дава нула. Открити са много корени. Но някои корени се намират по-лесно от други. Наричаме тези корени "тривиални" или "нетривиални". Наричаме един корен "тривиален", ако е лесен за намиране. Но наричаме корен "нетривиален", ако е труден за намиране. Тривиалните корени са числа, наречени "отрицателни четни числа". Причината да ги смятаме за лесни е, че са лесни за намиране. Съществуват ясни правила, които определят кои са тривиалните корени. Знаем кои са тривиалните корени благодарение на уравнението, което Бернхард Риман е дал. Това уравнение се нарича "функционално уравнение на Риман".

Как намираме нетривиални корени?

Нетривиалните корени са по-трудни за намиране. Те нямат същите правила, които казват какви са. Въпреки че са трудни за намиране, са открити много нетривиални корени. Спомнете си, че стойността на функцията на Риман дзета е вид число, наречено комплексно число. И не забравяйте, че комплексните числа имат две части. Едната от тези части се нарича "реална част". Забелязахме едно интересно нещо за реалната част на нетривиалните корени. Всички нетривиални корени, които открихме, имат реална част, която е едно и също число. Това число е 1/2, което е дроб. Това ни отвежда до големия въпрос на Риман, който е за това колко големи са реалните части. Въпросът е "имат ли всички нетривиални корени реална част 1/2?", а хипотезата казва, че отговорът е "да". Ние все още се опитваме да разберем дали отговорът е "да" или "не".

Какво знаем досега?

Все още не знаем отговора на този въпрос. Но знаем някои добри факти. Тези факти могат да ни помогнат. Има начин, по който можем да намерим факти за реалните части на нетривиалните корени. Това става със специалното уравнение на Риман (функционалното уравнение на Риман). Функционалното уравнение на Риман ни казва за размера на реалните части. То казва, че всички нетривиални нули имат реална част, близка до 1/2. То казва колко малки могат да бъдат реалните части и колко големи могат да бъдат те. Но не казва какви точно са те. По-конкретно казва, че реалните части трябва да са по-големи от 0, но трябва да са по-малки от 1. Но все още не знаем дали може да има нетривиален корен с реална част много близка до 1/2. Може би има, но ние просто още не сме го открили. Групата от комплексни числа, които имат реална част, по-голяма от 0, но по-малка от 1, се нарича "критична ивица".

Хипотезата на Риман в една картина

На картинката в горния десен ъгъл на тази страница е показана функцията на Риман дзета. Нетривиалните корени са показани с бели точки. Те изглеждат така, сякаш са разположени на една линия в самата среда на картинката. Те не са твърде далеч вляво и не са твърде далеч вдясно. Същинската част е колко далеч от ляво на дясно сте. Това, че се намират в средата на картинката, означава, че те имат реална част от 1/2. Така че всички нетривиални корени на картинката имат реална част 1/2. Но нашата картина не показва всичко, защото функцията на Риман дзета е твърде голяма, за да се покаже. Тогава какво да кажем за нетривиалните корени над и под картинката? Дали те също ще бъдат в средата? Ами ако те нарушат модела да са в средата? Те биха могли да бъдат малко вляво или вдясно. Хипотезата на Риман задава въпроса дали всеки нетривиален корен (бяла точка) би бил на линията надолу по средата. Ако отговорът е "не", казваме, че "хипотезата е невярна". Това би означавало, че има бели точки, които не са на дадената линия.