Риманова хипотеза — дзета функция, прости числа и значение

Хипотезата на Риман е математически въпрос (предположение). Много хора смятат, че намирането на доказателство на хипотезата е един от най-трудните и най-важните нерешени проблеми на чистата математика. Чистата математика е вид математика, която се занимава с мислене за математиката. Това е различно от опитите да се приложи математиката в реалния свят. Отговорът на хипотезата на Риман е "да" или "не".

Предположението е кръстено на човек на име Бернхард Риман. Той е живял през XIX век. Хипотезата на Риман задава въпрос за едно специално нещо, наречено дзета функция на Риман.

Ако отговорът на въпроса е "да", това означава, че математиците могат да научат повече за простите числа. По-конкретно, това ще им помогне да знаят как да намират прости числа. Хипотезата на Риман е толкова важна и толкова трудна за доказване, че Математическият институт "Клей" предлага 1 000 000 долара на първия, който я докаже.

Какво е дзета функцията на Риман?

Дзета функцията на Риман е функция от комплексната променлива s (която има вид s = σ + it). За стойности с голяма реална част (σ > 1) тя може да се дефинира чрез реда ζ(s) = Σ_{n=1}^∞ n^{-s}. Този израз обаче не работи за всички s; Риман показва, че функцията има аналитично продължение към почти цялата комплексна равнина, с единствен полюс в s = 1. Дзета функцията също удовлетворява важна симетрия, наречена функционално уравнение, което свързва стойностите на ζ(s) и ζ(1 − s).

Нули на дзета функцията и самата хипотеза

Нулите на ζ(s) са точки, където функцията става 0. Има два вида нули:

Тривиални нули: те изпадат при отрицателните четни цели числа (s = −2, −4, −6, ...).
Нетривиални нули: те лежат в т.нар. критична лента 0 < Re(s) < 1. Хипотезата на Риман твърди, че всички нетривиални нули имат точно реална част 1/2 — т.е. лежат на критичната линия Re(s) = 1/2.

Защо това е важно за простите числа?

Връзката между дзета функцията и простите числа е дълбока. Примери за тази връзка са явни формули, които свързват броя на простите до дадено число (обикновено отбелязван като π(x)) с нулите на ζ(s). Информацията за положението на нулите определя колко точно можем да предскажваме разпределението на простите. По-точно, ако всички нетривиални нули лежат на Re(s)=1/2, това дава силни граници за грешката в приближението на π(x) от по-лесно изчислими функции (например Li(x)).

Еквивалентно формулиране (едно от много): хипотезата на Риман е свързана с добър границиран контрол на отклонението в теоремата за простите числа — примерно, че π(x) = Li(x) + O(x^{1/2} log x). Такова ограничение има множество следствия за разстоянията между последователни прости числа, за броя прости числа в кратки интервали и за други въпроси в аналитичната теория на числата.

Какво е известно към момента

Хипотезата не е доказана и не е опровергана: тя остава отворен математически проблем.
Много първи нетривиални нули са числено проверени и до огромни висоти всички намерени нули лежат на критичната линия. Това дава силно емпирично подкрепление, но не е математическо доказателство.
Има множество резултати, показващи, че "повечето" или "плътна подмножина" от нулите лежат на критичната линия (различни частични резултати), но пълното твърдение за всички нули остава открито.

Последствия и свързани области

Хипотезата на Риман има последствия извън чисто теоретичната характеристика на простите. Нейната верност би повлияла на:

по-добри граници за ошибоката в приближенията за броя на простите;
резултати за разпределението на простите в кратки интервали и за размерите на разликите между последователни прости числа;
връзки със случаен матричен модел и квантова хаос теория — наблюдаваните статистики на нулите съвпадат с тези на собствените стойности на определени случайни матрици;
много теореми, които са доказуеми при условието на Римановата хипотеза (т.нар. "conditional results").

Къде да продължите, ако искате да научите повече

За читателя, който иска да влезе по-дълбоко: полезно е да се запознаете с основите на комплексния анализ, с дефиницията и свойствата на дзета функцията (серии, аналитично продължение, функционално уравнение) и с аналитичната теория на числата (теорема за простите числа, явни формули). Има много популярни и учебни книги, както и статии, които обясняват тези теми на различни нива на трудност.

Кратко резюме: Хипотезата на Риман е централно, дълбоко и широко свързано предположение в математиката: тя говори за нулите на дзета функцията и има пряко въздействие върху нашето разбиране за разпределението на простите числа. Доказателството ѝ остава една от най-големите награди и предизвикателства в съвременната математика.

Функцията Zeta на Риман в комплексната равнина. Реалната част Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)} $\operatorname {Re} (s)$ на числото е нанесена хоризонтално, а имагинерната част Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} $\operatorname {Im} (s)$ вертикално. Белите точки показват нулите, където Re ( s ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}} $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ . Кликнете, за да получите пълен изглед.

Какво представлява хипотезата на Риман?

Какво представлява функцията дзета на Риман?

Зета функцията на Риман е вид функция. Функциите са неща в математиката като уравненията. Функциите приемат числа и ви връщат други числа. Това е подобно на начина, по който получавате отговор, когато зададете въпрос. Числото, което въвеждате, се нарича "вход". Числото, което получавате обратно, се нарича "стойност". Всеки вход, който въвеждате във функцията на Риман Зета, ви връща специална стойност. В повечето случаи получавате различна стойност за всеки вход. Но всеки вход ви дава една и съща стойност всеки път, когато го използвате. Както входът, който въвеждате, така и стойността, която получавате от функцията Риман дзета, са специални числа, наречени комплексни числа. Комплексното число е число с две части - реална и имагинерна. Въображаемата част се нарича въображаема, защото би трябвало да си "представите" такова число като i {\displaystyle i} $i$ , което при умножение по себе си е равно на i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} $i^{2}=i\times i=-1$ . Тъй като според правилата на аритметиката ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} $(-)\times (-)=(+)$ и ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} $(+)\times (+)=(+)$ такова число не може да съществува, то трябва да бъде измислено. Въображаемите числа имат широко приложение в математиката; без тях много технологии не биха били възможни. Като осезаем пример, за да се използва квадратна формула за решаване на някои уравнения, отговорът понякога трябва да бъде въображаемо число и исторически това е причината въображаемите числа да бъдат изобретени.

Какво е нетривиален корен?

Понякога, когато въведете входни данни във функцията на Риман дзета, получавате обратно числото нула. Когато това се случи, този вход се нарича корен на функцията Риман дзета. Наричате входа "корен", когато той ви дава нула. Открити са много корени. Но някои корени се намират по-лесно от други. Наричаме тези корени "тривиални" или "нетривиални". Наричаме един корен "тривиален", ако е лесен за намиране. Но наричаме корен "нетривиален", ако е труден за намиране. Тривиалните корени са числа, наречени "отрицателни четни числа". Причината да ги смятаме за лесни е, че са лесни за намиране. Съществуват ясни правила, които определят кои са тривиалните корени. Знаем кои са тривиалните корени благодарение на уравнението, което Бернхард Риман е дал. Това уравнение се нарича "функционално уравнение на Риман".

Как намираме нетривиални корени?

Нетривиалните корени са по-трудни за намиране. Те нямат същите правила, които казват какви са. Въпреки че са трудни за намиране, са открити много нетривиални корени. Спомнете си, че стойността на функцията на Риман дзета е вид число, наречено комплексно число. И не забравяйте, че комплексните числа имат две части. Едната от тези части се нарича "реална част". Забелязахме едно интересно нещо за реалната част на нетривиалните корени. Всички нетривиални корени, които открихме, имат реална част, която е едно и също число. Това число е 1/2, което е дроб. Това ни отвежда до големия въпрос на Риман, който е за това колко големи са реалните части. Въпросът е "имат ли всички нетривиални корени реална част 1/2?", а хипотезата казва, че отговорът е "да". Ние все още се опитваме да разберем дали отговорът е "да" или "не".

Какво знаем досега?

Все още не знаем отговора на този въпрос. Но знаем някои добри факти. Тези факти могат да ни помогнат. Има начин, по който можем да намерим факти за реалните части на нетривиалните корени. Това става със специалното уравнение на Риман (функционалното уравнение на Риман). Функционалното уравнение на Риман ни казва за размера на реалните части. То казва, че всички нетривиални нули имат реална част, близка до 1/2. То казва колко малки могат да бъдат реалните части и колко големи могат да бъдат те. Но не казва какви точно са те. По-конкретно казва, че реалните части трябва да са по-големи от 0, но трябва да са по-малки от 1. Но все още не знаем дали може да има нетривиален корен с реална част много близка до 1/2. Може би има, но ние просто още не сме го открили. Групата от комплексни числа, които имат реална част, по-голяма от 0, но по-малка от 1, се нарича "критична ивица".

Хипотезата на Риман в една картина

На картинката в горния десен ъгъл на тази страница е показана функцията на Риман дзета. Нетривиалните корени са показани с бели точки. Те изглеждат така, сякаш са разположени на една линия в самата среда на картинката. Те не са твърде далеч вляво и не са твърде далеч вдясно. Същинската част е колко далеч от ляво на дясно сте. Това, че се намират в средата на картинката, означава, че те имат реална част от 1/2. Така че всички нетривиални корени на картинката имат реална част 1/2. Но нашата картина не показва всичко, защото функцията на Риман дзета е твърде голяма, за да се покаже. Тогава какво да кажем за нетривиалните корени над и под картинката? Дали те също ще бъдат в средата? Ами ако те нарушат модела да са в средата? Те биха могли да бъдат малко вляво или вдясно. Хипотезата на Риман задава въпроса дали всеки нетривиален корен (бяла точка) би бил на линията надолу по средата. Ако отговорът е "не", казваме, че "хипотезата е невярна". Това би означавало, че има бели точки, които не са на дадената линия.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява хипотезата на Риман?

О: Римановата хипотеза е математически въпрос (предположение), който задава въпрос за едно специално нещо, наречено Риманова дзета функция.

В: Към кой вид математика се отнася хипотезата на Риман?

О: Хипотезата на Риман е свързана с чистата математика, която е вид математика, която се занимава с мислене за математиката, а не с опити да се приложи в реалния свят.

В: Кой е Бернхард Риман?

О: Бернхард Риман е човек, живял през XIX в., чието име е дадено на тази хипотеза.

В: Какъв би бил резултатът, ако някой успее да докаже хипотезата на Риман?

О: Ако някой успее да докаже хипотезата на Риман, математиците ще могат да научат повече за простите числа и как да ги намират.

Въпрос: Колко пари са били предложени за доказване на тази хипотеза?

О: Математическият институт "Клей" е предложил 1 000 000 долара за доказване на тази хипотеза.

В: Има ли само един отговор на това предположение?

О: Да, има само два възможни отговора на това предположение - "да" или "не".