Полином (многочлен): определение, свойства и примери

Научете всичко за полиномите (многочлените): ясно определение, ключови свойства, видове и практически примери с приложения в алгебрата и инженерството.

Автор: Leandro Alegsa

10-12-2025 13:49

В математиката полиномът е алгебраичен израз, който представлява сума от няколко математически члена, наречени мономиали. Всеки мономиал е число, променлива или произведение от число (коефициент) и една или повече променливи с цели неотрицателни степени. Ако алгебричен израз съдържа само събиране, изваждане и умножение (включително умножение на цели числа), то това е полином; при използване на операции като деление по променлива, корени с дробни показатели или други извън тези операции, изразът не е полином. Полиномите се изучават в алгебрата и са основен инструмент в математиката, природните науки и инженерните приложения.

Определение и обща форма

В единствена променлива x полиномът има общ вид:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0,

където a_n, a_{n-1}, ..., a_0 са коефициенти (реални, рационални или комплексни числа), n е неотрицателно цяло число и a_n ≠ 0. Числото n се нарича степен (или големина) на полинома, а a_n — водещ (главен) коефициент. Полиномът с всички коефициенти нула се нарича нулев полином и няма добре определена степен.

Основни понятия и свойства

Мономиал (моном): един член от вида a x^k, където k е неотрицателно цяло число.
Коефициенти: числата пред променливите; константният член е a_0.
Степен на полином: най-голямата степен на променливата с ненулев коефициент.
Водещ коефициент: коефициентът на монома с най-висока степен.
Едночленни и многоредни полиноми: полиноми с една променлива и с повече от една променлива (например 4xy^2 − 3x^2y + 7 са многовариантен полином).

Какво не е полином

Не са полиноми изрази, които съдържат:

променливи в знаменателя (напр. 1/x),
негативни или дробни степени (напр. x^{-1}, x^{1/2}),
коренови или тригонометрични операции, деление по променлива и други подобни операции извън събиране, изваждане и умножение.

Операции с полиноми и важни теореми

Събиране и изваждане: съвкупните коефициенти на еднакви степени се събират/изваждат.
Умножение: умножението на два полинома дава полином, а степента се събира (deg(f·g)=deg f + deg g, за ненулеви полиноми).
Деление: съществува алгоритъм за деление с остатък: за полиномите f и g (g ≠ 0) има единствено q (частно) и r (остатък) такива, че f = q·g + r и deg r < deg g. Това позволява прилагането на теоремата за остатъка и заделителната теорема.
Теорема за остатъка: остатъкът при деление на f(x) на (x − a) е f(a).
Теорема за факторите: (x − a) е фактор на f(x) ⇔ f(a) = 0.
Производна: производната на полином е отново полином; това значително опростява диференцирането при анализ и оптимизация.

Корени, мултипличност и фундаментална теорема

Решенията на уравнение f(x)=0 се наричат корени или нули на полинома. Коренът a има мултипличност m, ако (x−a)^m дели polynoma, но (x−a)^{m+1} не дели. Съгласно фундаменталната теорема на алгебрата, всеки ненулев комплексен полином от степен n има точно n корена в комплексните числа, ако се броят с мултипличност.

Видове полиноми

Линеен полином: степен 1 (ax + b).
Квадратичен полином: степен 2 (ax^2 + bx + c), важен за анализ на параболи и оптимизация.
Кубичен полином: степен 3 и т.н.
Многовариантни полиноми: зависят от повече от една променлива (напр. 2x^2y − 3xy + y^3).

Примери

Няколко примера за полиноми и полиномни функции:

f(x) = 3x^2 − 2x + 5 (квадратичен полином).
g(x) = 7x^4(−3)x^3 + 19x^2(−8)x + 197 — представеният по-горе израз в текста; в оригиналния документ той се визуализира и чрез графични изображения: $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ .
Полиномно уравнение: $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0$ .
Полиномен вид на функция: $f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ .

Приложения

Полиномите имат широко приложение: при апроксимации и интерполации (полиномиална интерполация), в числени методи (полиномиални аппроксимации и серия на Тейлър), в моделирането в инженерството и физиката, при проектиране на филтри и контролни системи, в кодиране и криптография, както и в теоретичната математика (алгебра, теория на числата, геометрия).

Къде да се научи повече

За по-нататъшно изучаване се препоръчват теми като: методи за факторизация на полиноми, синтетично деление, комплексни корени и мултипличност, графики на полиноми, както и числени алгоритми за намиране на корени. В учебниците по алгебра и в курсовете по анализ ще намерите подробни примери и упражнения.

Терминология

Дадена е поредица от n {\displaystyle n} числа $k_{0},\ldots ,k_{n}$ , полиномът на променливата x {\displaystyle x} обикновено приема формата $k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}$ . Частите на един полином, разделени със знаци плюс (или минус), се наричат "термини", а самите знаци са част от термина.

(В полинома умножението се "разбира". Това означава например, че 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ означава два пъти x {\displaystyle x} , или два пъти x {\displaystyle x} . Така че, ако x {\displaystyle x} е 7 {\displaystyle 7} $7$ , то 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ е 14 {\displaystyle 14} $14$ .)

Така в полинома $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ , термините са:

7 x 4 {\displaystyle 7x^{4}} $7x^{4}$

( - 3 ) x 3 {\displaystyle (-3)x^{3}} $(-3)x^{3}$

+ 19 x 2 {\displaystyle +19x^{2}} $+19x^{2}$

( - 8 ) x {\displaystyle (-8)x} $(-8)x$

+ 197 {\displaystyle +197} $+197$

Ако един полином има само един член, той се нарича "мономен". Мономенът е и градивният елемент на полиномите. Например, 5 x 3 {\displaystyle 5x^{3}} $5x^{3}$ е мономен.

В един термин предният множител се нарича "коефициент". Буквата се нарича "неизвестно" или "променлива", а повдигнатото число след буквата се нарича експонента. На калкулатора и на някои компютри, вместо да се поставя експонента над и вдясно от променливата, се използва символът ^, така че горният едночлен може да се запише като 5 x {\displaystyle 5x} $5x$ ^ 3 {\displaystyle 3} $3$ .

Полином с точно два члена се нарича "бином". Многочлен с точно три члена се нарича "тричлен". В рамките на един член:

Термин, в който няма променливи, се нарича "постоянен термин".
Член с една променлива, но без експонента, се нарича "член от първа степен" или "линеен член".
Член с една променлива, който има експонента 2 {\displaystyle 2} $2$ , се нарича "член от втора степен" или "квадратичен член". "Квадратно уравнение" е уравнение, в което най-големият експонент на който и да е член е 2 {\displaystyle 2} $2$ .
Член с една променлива, който има експонента 3 {\displaystyle 3} $3$ , се нарича "член от трета степен" или "кубичен член". "Кубично уравнение" е уравнение, в което най-големият експонент на който и да е член е 3 {\displaystyle 3} $3$ .
Термин с една променлива, който има експонента 4 {\displaystyle 4} $4$ , се нарича "термин от четвърта степен" или "квартичен термин". "Квартно уравнение" е уравнение, в което най-големият експонент на който и да е член е 4 {\displaystyle 4} $4$ .
Термин с една променлива, който има експонента 5 {\displaystyle 5} $5$ , се нарича "термин от пета степен" или "квинтичен термин". "Квинтично уравнение" е уравнение, в което най-големият експонент на който и да е член е 5 {\displaystyle 5} $5$ .
Термин с една променлива, който има експонента 6 {\displaystyle 6} $6$ , се нарича "термин от шеста степен" или "секстилен термин". "Секстилно уравнение" е уравнение, в което най-големият експонент на който и да е член е 6 {\displaystyle 6} $6$ .

Свързани страници

Степен (математика)
Фундаментална теорема на алгебрата
Теорема за остатъка от полинома
Корен на полином
Квартово уравнение
Теория на Галоа

Въпроси и отговори

В: Какво е полином?

О: Полиномът е вид математически израз, който е сума от няколко математически термина, наречени мономи, които са числа, променливи или произведения на числа и няколко променливи.

В: Как математиците, учените и инженерите използват полиноми?

О: Математиците, учените и инженерите използват полиноми за решаване на задачи.

В: Какви операции могат да се използват в алгебричен израз, за да се превърне той в полином?

О: За да може един алгебричен израз да се счита за полином, единствените аритметични операции, които могат да се използват, са събиране, изваждане, умножение и умножение на цели числа. Ако се използват по-трудни операции като деление или квадратни корени, алгебричният израз не се счита за полином.

Въпрос: Какви видове уравнения могат да се съставят с помощта на полиноми?

О: Полиномите често се използват за образуване както на полиномни уравнения (като например 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0), така и на полиномни функции (като например f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197).

Въпрос: Какъв предмет трябва да се разбира, за да се работи с полиноми?

О: За да се работи с многочлени, трябва да се разбира алгебра, която е входна дисциплина към всички технически предмети.

обискирам