В математиката полиномът е алгебраичен израз, който представлява сума от няколко математически члена, наречени мономиали. Всеки мономиал е число, променлива или произведение от число (коефициент) и една или повече променливи с цели неотрицателни степени. Ако алгебричен израз съдържа само събиране, изваждане и умножение (включително умножение на цели числа), то това е полином; при използване на операции като деление по променлива, корени с дробни показатели или други извън тези операции, изразът не е полином. Полиномите се изучават в алгебрата и са основен инструмент в математиката, природните науки и инженерните приложения.

Определение и обща форма

В единствена променлива x полиномът има общ вид:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0,

където a_n, a_{n-1}, ..., a_0 са коефициенти (реални, рационални или комплексни числа), n е неотрицателно цяло число и a_n ≠ 0. Числото n се нарича степен (или големина) на полинома, а a_n — водещ (главен) коефициент. Полиномът с всички коефициенти нула се нарича нулев полином и няма добре определена степен.

Основни понятия и свойства

  • Мономиал (моном): един член от вида a x^k, където k е неотрицателно цяло число.
  • Коефициенти: числата пред променливите; константният член е a_0.
  • Степен на полином: най-голямата степен на променливата с ненулев коефициент.
  • Водещ коефициент: коефициентът на монома с най-висока степен.
  • Едночленни и многоредни полиноми: полиноми с една променлива и с повече от една променлива (например 4xy^2 − 3x^2y + 7 са многовариантен полином).

Какво не е полином

Не са полиноми изрази, които съдържат:

  • променливи в знаменателя (напр. 1/x),
  • негативни или дробни степени (напр. x^{-1}, x^{1/2}),
  • коренови или тригонометрични операции, деление по променлива и други подобни операции извън събиране, изваждане и умножение.

Операции с полиноми и важни теореми

  • Събиране и изваждане: съвкупните коефициенти на еднакви степени се събират/изваждат.
  • Умножение: умножението на два полинома дава полином, а степента се събира (deg(f·g)=deg f + deg g, за ненулеви полиноми).
  • Деление: съществува алгоритъм за деление с остатък: за полиномите f и g (g ≠ 0) има единствено q (частно) и r (остатък) такива, че f = q·g + r и deg r < deg g. Това позволява прилагането на теоремата за остатъка и заделителната теорема.
  • Теорема за остатъка: остатъкът при деление на f(x) на (x − a) е f(a).
  • Теорема за факторите: (x − a) е фактор на f(x) ⇔ f(a) = 0.
  • Производна: производната на полином е отново полином; това значително опростява диференцирането при анализ и оптимизация.

Корени, мултипличност и фундаментална теорема

Решенията на уравнение f(x)=0 се наричат корени или нули на полинома. Коренът a има мултипличност m, ако (x−a)^m дели polynoma, но (x−a)^{m+1} не дели. Съгласно фундаменталната теорема на алгебрата, всеки ненулев комплексен полином от степен n има точно n корена в комплексните числа, ако се броят с мултипличност.

Видове полиноми

  • Линеен полином: степен 1 (ax + b).
  • Квадратичен полином: степен 2 (ax^2 + bx + c), важен за анализ на параболи и оптимизация.
  • Кубичен полином: степен 3 и т.н.
  • Многовариантни полиноми: зависят от повече от една променлива (напр. 2x^2y − 3xy + y^3).

Примери

Няколко примера за полиноми и полиномни функции:

  • f(x) = 3x^2 − 2x + 5 (квадратичен полином).
  • g(x) = 7x^4(−3)x^3 + 19x^2(−8)x + 197 — представеният по-горе израз в текста; в оригиналния документ той се визуализира и чрез графични изображения: 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}.
  • Полиномно уравнение: 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 = 0 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}.
  • Полиномен вид на функция: f ( x ) = 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}{\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}.

Приложения

Полиномите имат широко приложение: при апроксимации и интерполации (полиномиална интерполация), в числени методи (полиномиални аппроксимации и серия на Тейлър), в моделирането в инженерството и физиката, при проектиране на филтри и контролни системи, в кодиране и криптография, както и в теоретичната математика (алгебра, теория на числата, геометрия).

Къде да се научи повече

За по-нататъшно изучаване се препоръчват теми като: методи за факторизация на полиноми, синтетично деление, комплексни корени и мултипличност, графики на полиноми, както и числени алгоритми за намиране на корени. В учебниците по алгебра и в курсовете по анализ ще намерите подробни примери и упражнения.