Постоянна функция

Основни свойства

Формално, една постоянна функция f(x):R→R има вида f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Обикновено пишем y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} или просто y = c {\displaystyle y=c} .

• Функцията y=c има две променливи x и у и една константа c. (В тази форма на функцията не виждаме x, но тя е там.)

• Константата c е реално число. Преди да работим с линейна функция, заменяме c с реално число.
• Областта или входът на y=c е R. Така че всяко реално число x може да бъде въведено. Изходът обаче винаги е стойността c.
• Обхватът на y=c също е R. Тъй като изходът винаги е стойността на c, кодомената е само c.

Пример: Функцията y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} или просто y = 4 {\displaystyle y=4}е c = 4 {\displaystyle c=4} . Областта са всички реални числа ℝ. Кодомената е само {4}. А именно, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,.... Без значение каква стойност на x е въведена, изходът е "4".

• Графиката на постоянната функция y = c {\displaystyle y=c} е хоризонтална линия в равнината, която минава през точката ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Ако c≠0, константната функция y=c е полином в една променлива x от нулева степен.

• Пресечната точка y на тази функция е точката (0,c).
• Тази функция няма х-образен пресечен пункт. Това означава, че тя няма корен или нула. Тя никога не пресича оста x.

• Ако c=0, тогава имаме y=0. Това е нулевият полином или идентично нулевата функция. Всяко реално число x е корен. Графиката на y=0 е оста x в равнината.
• Една постоянна функция е четна функция, така че оста y е ос на симетрия за всяка постоянна функция.

Производна на постоянна функция

В контекста, в който е дефинирана, производната на дадена функция измерва скоростта на изменение на стойностите на функцията (изхода) по отношение на изменението на входните стойности. Една постоянна функция не се променя, така че нейната производна е 0:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Пример: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}y е идентично нулевата функция y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Обратното (противоположното) също е вярно. Тоест, ако производната на една функция е нула навсякъде, то функцията е постоянна функция.

Математически записваме тези две твърдения:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\за всички x\в \mathbb {R} }

Обобщение

Една функция f : A → B е постоянна функция, ако f(a) = f(b) за всяко a и b в A.

Примери

Пример от реалния свят: Магазин, в който всеки артикул се продава за 1 евро. Домейнът на тази функция са артикулите в магазина. Кодомената е 1 евро.

Пример: Нека f : A → B, където A={X,Y,Z,W} и B={1,2,3} и f(a)=3 за всяко a∈A. Тогава f е постоянна функция.

Пример: z(x,y)=2 е константната функция от A=ℝ² до B=ℝ, където всяка точка (x,y)∈ℝ² се съпоставя със стойността z=2. Графиката на тази постоянна функция е хоризонталната равнина (успоредна на равнината x0y) в триизмерното пространство, която минава през точката (0,0,2).

Пример: Полярната функция ρ(φ)=2,5 е постоянната функция, която съпоставя всеки ъгъл φ с радиуса ρ=2,5. Графиката на тази функция е окръжност с радиус 2,5 в равнината.

Други свойства

Съществуват и други свойства на константните функции. Вижте Constant function в Уикипедия на английски език

Свързани страници

• Функция
• Полиномен