Постоянна функция

В математиката константна функция е функция, чиято изходна стойност е една и съща за всяка входна стойност. Например функцията y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}{\displaystyle y(x)=4} е константна функция, защото стойността на y ( x ) {\displaystyle y(x)} {\displaystyle y(x)}е 4 независимо от входната стойност x {\displaystyle x}x (вж. изображението).

Постоянна функция y=4Zoom
Постоянна функция y=4

Основни свойства

Формално, една постоянна функция f(x):R→R има вида f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}{\displaystyle f(x)=c} . Обикновено пишем y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} {\displaystyle y(x)=c}или просто y = c {\displaystyle y=c}{\displaystyle y=c} .

  • Функцията y=c има две променливи x и у и една константа c. (В тази форма на функцията не виждаме x, но тя е там.)
    • Константата c е реално число. Преди да работим с линейна функция, заменяме c с реално число.
    • Областта или входът на y=c е R. Така че всяко реално число x може да бъде въведено. Изходът обаче винаги е стойността c.
    • Обхватът на y=c също е R. Тъй като изходът винаги е стойността на c, кодомената е само c.

Пример: Функцията y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} {\displaystyle y(x)=4}или просто y = 4 {\displaystyle y=4}{\displaystyle y=4}е c = 4 {\displaystyle c=4}{\displaystyle c=4} . Областта са всички реални числа ℝ. Кодомената е само {4}. А именно, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,.... Без значение каква стойност на x е въведена, изходът е "4".

  • Графиката на постоянната функция y = c {\displaystyle y=c}{\displaystyle y=c} е хоризонтална линия в равнината, която минава през точката ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}{\displaystyle (0,c)} .
  • Ако c≠0, константната функция y=c е полином в една променлива x от нулева степен.
    • Пресечната точка y на тази функция е точката (0,c).
    • Тази функция няма х-образен пресечен пункт. Това означава, че тя няма корен или нула. Тя никога не пресича оста x.
  • Ако c=0, тогава имаме y=0. Това е нулевият полином или идентично нулевата функция. Всяко реално число x е корен. Графиката на y=0 е оста x в равнината.
  • Една постоянна функция е четна функция, така че оста y е ос на симетрия за всяка постоянна функция.

Производна на постоянна функция

В контекста, в който е дефинирана, производната на дадена функция измерва скоростта на изменение на стойностите на функцията (изхода) по отношение на изменението на входните стойности. Една постоянна функция не се променя, така че нейната производна е 0:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} {\displaystyle (c)'=0} 

Пример: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}{\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}y е идентично нулевата функция y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} 

Обратното (противоположното) също е вярно. Тоест, ако производната на една функция е нула навсякъде, то функцията е постоянна функция.

Математически записваме тези две твърдения:

y ( x ) = c y ′ ( x ) = 0 , x R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\за всички x\в \mathbb {R} } {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R} }

Обобщение

Една функция f : AB е постоянна функция, ако f(a) = f(b) за всяко a и b в A.

Примери

Пример от реалния свят: Магазин, в който всеки артикул се продава за 1 евро. Домейнът на тази функция са артикулите в магазина. Кодомената е 1 евро.

Пример: Нека f : AB, където A={X,Y,Z,W} и B={1,2,3} и f(a)=3 за всяко a∈A. Тогава f е постоянна функция.

Пример: z(x,y)=2 е константната функция от A=ℝ² до B=ℝ, където всяка точка (x,y)∈ℝ² се съпоставя със стойността z=2. Графиката на тази постоянна функция е хоризонталната равнина (успоредна на равнината x0y) в триизмерното пространство, която минава през точката (0,0,2).

Пример: Полярната функция ρ(φ)=2,5 е постоянната функция, която съпоставя всеки ъгъл φ с радиуса ρ=2,5. Графиката на тази функция е окръжност с радиус 2,5 в равнината.


Обобщена константна функция.


Постоянна функция z(x,y)=2


Постоянна полярна функция ρ(φ)=2,5

Други свойства

Съществуват и други свойства на константните функции. Вижте Constant function в Уикипедия на английски език

Свързани страници

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е постоянна функция?


О: Постоянна функция е функция, чиято изходна стойност остава една и съща за всяка входна стойност.

В: Можете ли да дадете пример за константна функция?


О: Да, пример за константна функция е y(x) = 4, където стойността на y(x) винаги е равна на 4, независимо от входната стойност x.

В: Как можете да разберете дали дадена функция е константна функция?


О: Можете да разберете дали една функция е константна, като видите дали нейната изходна стойност остава една и съща за всяка входна стойност.

В: Какво означава, когато казваме, че "y(x)=4" във връзка с константните функции?


О: Когато казваме, че "y(x)=4", това означава, че изходната стойност на y(x) винаги ще бъде равна на 4, независимо от това каква е входната стойност x.

Въпрос: Има ли начин да се визуализира как изглежда една константна функция?


О: Да, един от начините за визуализиране на това как изглежда една константна функция е чрез изображение или графика.

Въпрос: Променя ли се изходът в зависимост от входната стойност при константните функции?



О: Не, при константните функции изходът не се променя в зависимост от входа.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3