Константна функция: определение, свойства и примери
Константна функция: ясно определение, основни свойства и илюстративни примери за бързо вникване в понятието и практическото му приложение в математиката.
В математиката константна функция е функция, чиято изходна стойност е една и съща за всяка входна стойност. Например функцията y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}
е константна функция, защото стойността на y ( x ) {\displaystyle y(x)} 
е 4 независимо от входната стойност x {\displaystyle x}
(вж. изображението).
Определение и нотация
Функция f: X → Y е константна, ако съществува елемент c ∈ Y такъв, че f(x) = c за всички x ∈ X. В такъв случай пишем f ≡ c или f(x) = c (всички x ∈ X). Образът (image) на константната функция е едночленна множност {c}.
Примери
- f(x) = 4 за всички x ∈ ℝ — примерът от началото.
- Нулева функция g(x) = 0 за всички x — важен частен случай.
- Функция от множества: h: {1,2,3} → {a,b} с h(1)=h(2)=h(3)=a е константна.
- Функция от няколко променливи: F(x,y) = 7 е константа във всички точки на ℝ^2.
- Стъпкови или кусково-константни функции — имат константни стойности на отделни интервали (не са глобално константни, освен ако еднакви на всички интервали).
Основни свойства
- Образ и прообраз: образът на константна функция е едночленна {c}. Прообразът на c е цялата област на дефиниция; прообразът на всяка друга стойност е празният набор.
- Непрекъснатост: всяка константна функция е непрекъсната (на всяка точка стойността не се променя при малки промени на аргумента).
- Производна: ако f(x)=c за всички x в отворен интервал, тогава f′(x)=0 за всички x в този интервал. За многомерни функции градиентът е нулев вектор.
- Интеграл: ∫_a^b c dx = c(b − a) за константа c и интервал [a,b].
- Монотонност: константната функция е едновременно ненамаляваща и ненарастваща (т. е. монотонна и в двете посоки).
- Ограниченост: всяка константна функция е ограничена — най-много една стойност.
- Афинност: f(x)=c е афинна функция с наклон 0. Не е линейна в линейно-алгебричния смисъл освен когато c = 0 (нулевата функция е и линейна).
Графика
Графиката на реална константна функция f: ℝ → ℝ е хоризонтална права линия y = c. Това прави лесно визуализирането и разпознаването на константна функция в координатна система.
Доказателни бележки
- Защо производната е нула: ако f(x)=c, за всяко x и h ≠ 0 имаме (f(x+h) − f(x))/h = (c − c)/h = 0, следователно границата при h → 0 е 0.
- Защо е непрекъсната: дефиницията на непрекъснатост изисква lim_{x→x0} f(x) = f(x0); при константна функция левият лимит = c = f(x0) за всички x0.
Разширения и приложения
- В теория на функциите константните функции служат за прост пример и за тест при дефиниране на свойства (напр. непрекъснатост, диференцируемост).
- В анализа константите участват при намиране на неопределени интеграли: ∫ c dx = cx + C.
- В теорията на мерките и вероятностите константните функции често се използват като прости функции за апроксимация на по-сложни измерими функции.
- В приложни науки модели с константна функция представят ситуации, в които някакъв процес не зависи от променливите (постоянен сигнал, фиксиран ресурс и т.н.).
Бележки и вариации
- Кусково-константните функции (step functions) са важни в интегралното смятане и като примери в теория на приближението.
- Понятието "константна по част от домейна" се среща често — функция може да бъде константна на подмножество, но не и глобално.
Постоянна функция y=4
Основни свойства
Формално, една постоянна функция f(x):R→R има вида f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}
. Обикновено пишем y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} 
или просто y = c {\displaystyle y=c}
.
- Функцията y=c има две променливи x и у и една константа c. (В тази форма на функцията не виждаме x, но тя е там.)
- Константата c е реално число. Преди да работим с линейна функция, заменяме c с реално число.
- Областта или входът на y=c е R. Така че всяко реално число x може да бъде въведено. Изходът обаче винаги е стойността c.
- Обхватът на y=c също е R. Тъй като изходът винаги е стойността на c, кодомената е само c.
Пример: Функцията y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} или просто y = 4 {\displaystyle y=4}
е c = 4 {\displaystyle c=4}
. Областта са всички реални числа ℝ. Кодомената е само {4}. А именно, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,.... Без значение каква стойност на x е въведена, изходът е "4".
- Графиката на постоянната функция y = c {\displaystyle y=c} е хоризонтална линия в равнината, която минава през точката ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
. - Ако c≠0, константната функция y=c е полином в една променлива x от нулева степен.
- Пресечната точка y на тази функция е точката (0,c).
- Тази функция няма х-образен пресечен пункт. Това означава, че тя няма корен или нула. Тя никога не пресича оста x.
- Ако c=0, тогава имаме y=0. Това е нулевият полином или идентично нулевата функция. Всяко реално число x е корен. Графиката на y=0 е оста x в равнината.
- Една постоянна функция е четна функция, така че оста y е ос на симетрия за всяка постоянна функция.
Производна на постоянна функция
В контекста, в който е дефинирана, производната на дадена функция измерва скоростта на изменение на стойностите на функцията (изхода) по отношение на изменението на входните стойности. Една постоянна функция не се променя, така че нейната производна е 0: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} 
Пример: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}
y е идентично нулевата функция y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} 
Обратното (противоположното) също е вярно. Тоест, ако производната на една функция е нула навсякъде, то функцията е постоянна функция.
Математически записваме тези две твърдения:
y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\за всички x\в \mathbb {R} } 
Обобщение
Една функция f : A → B е постоянна функция, ако f(a) = f(b) за всяко a и b в A.
Примери
Пример от реалния свят: Магазин, в който всеки артикул се продава за 1 евро. Домейнът на тази функция са артикулите в магазина. Кодомената е 1 евро.
Пример: Нека f : A → B, където A={X,Y,Z,W} и B={1,2,3} и f(a)=3 за всяко a∈A. Тогава f е постоянна функция.
Пример: z(x,y)=2 е константната функция от A=ℝ² до B=ℝ, където всяка точка (x,y)∈ℝ² се съпоставя със стойността z=2. Графиката на тази постоянна функция е хоризонталната равнина (успоредна на равнината x0y) в триизмерното пространство, която минава през точката (0,0,2).
Пример: Полярната функция ρ(φ)=2,5 е постоянната функция, която съпоставя всеки ъгъл φ с радиуса ρ=2,5. Графиката на тази функция е окръжност с радиус 2,5 в равнината.
|
|
|
|
Други свойства
Съществуват и други свойства на константните функции. Вижте Constant function в Уикипедия на английски език
Свързани страници
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво е постоянна функция?
О: Постоянна функция е функция, чиято изходна стойност остава една и съща за всяка входна стойност.
В: Можете ли да дадете пример за константна функция?
О: Да, пример за константна функция е y(x) = 4, където стойността на y(x) винаги е равна на 4, независимо от входната стойност x.
В: Как можете да разберете дали дадена функция е константна функция?
О: Можете да разберете дали една функция е константна, като видите дали нейната изходна стойност остава една и съща за всяка входна стойност.
В: Какво означава, когато казваме, че "y(x)=4" във връзка с константните функции?
О: Когато казваме, че "y(x)=4", това означава, че изходната стойност на y(x) винаги ще бъде равна на 4, независимо от това каква е входната стойност x.
Въпрос: Има ли начин да се визуализира как изглежда една константна функция?
О: Да, един от начините за визуализиране на това как изглежда една константна функция е чрез изображение или графика.
Въпрос: Променя ли се изходът в зависимост от входната стойност при константните функции?
О: Не, при константните функции изходът не се променя в зависимост от входа.
обискирам