Интеграл

В математиката интеграл е пространството под графиката на дадено уравнение (понякога се казва "площта под кривата"). Интегралът е обратното на производната и е противоположен на диференциалното смятане. Производната е стръмността (или "наклонът"), като скорост на изменение, на дадена крива. Думата "интеграл" може да се използва и като прилагателно, което означава "свързан с цели числа".

Символът за интегриране в математиката е: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ като висока буква "S". Този символ е използван за първи път от Готфрид Вилхелм Лайбниц, който го използва като стилизирана буква "ſ". (за summa, латинска дума за сума), за да означи сумирането на площта, обхваната от уравнение, като например y = f(x).

Интегралите и производните са част от дял от математиката, наречен смятане. Връзката между тях е много важна и се нарича Фундаментална теорема на изчислението. Теоремата гласи, че един интеграл може да бъде обърнат чрез производна, подобно на това как едно събиране може да бъде обърнато чрез изваждане.

Интегрирането помага, когато се опитвате да умножите единици в даден проблем. Например, ако в задачата със скоростта, ( разстояние време ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , трябва да се отговори само с разстоянието, едно от решенията е да се интегрира по отношение на времето. Това означава умножаване по времето, за да се отмени времето в ( разстояние време ) × време {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Това се прави чрез добавяне на малки отрязъци от графиката на скоростта заедно. Широчината на парчетата е близка до нула, но добавянето им завинаги ги превръща в едно цяло. Това се нарича Риманова сума.

Събирането на тези редове дава уравнението, което е производна на първото уравнение. Интегралите са като начин да съберете много малки неща заедно на ръка. Това е като сумирането, което представлява събиране на 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Разликата с интегрирането е, че трябва да добавим и всички десетични дроби и дробни числа между тях.

Друг случай, когато интегрирането е полезно, е при намирането на обема на твърдо тяло. Той може да събира двуизмерни (без ширина) срезове от твърдото тяло заедно до безкрай, докато се получи ширина. Това означава, че обектът вече има три измерения: първоначалните две и една ширина. Така се получава обемът на описания триизмерен обект.

Интегрирането е свързано с намирането на повърхнината s, като са дадени a, b и y = f(x). Формулата за интеграла от a до b, показан на графиката по-горе, е:
Формула: {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}: ∫ a b f ( x ) d x $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Какво представлява интегралът (анимация)

Методи за интегриране

Антидериватив

Съгласно фундаменталната теорема на смятането интегралът е антидериватив.

Ако вземем функцията 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ например и я антидиференцираме, можем да кажем, че интеграл на 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ е x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Казваме интеграл, а не интеграла, защото антидиференциалът на една функция не е уникален. Например, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ също се диференцира към 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Поради това при вземането на антипроизводната трябва да се добави константа C. Това се нарича неопределен интеграл. Това е така, защото при намирането на производна на функция, константите са равни на 0, както във функцията

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Обърнете внимание на 0: не можем да го намерим, ако разполагаме само с производната, така че интегралът е

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Прости уравнения

Едно просто уравнение, като например y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , може да се интегрира по отношение на x, като се използва следната техника. За да интегрирате, добавете 1 към степента, до която е повдигнато x, и след това разделете x на стойността на тази нова степен. Следователно интегрирането на нормално уравнение следва следното правило: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Цифрата d x {\displaystyle dx} $dx$ в края показва, че интегрираме по отношение на x, т.е. при промяна на x. Това е обратното на диференцирането. При интегрирането обаче се добавя константа C. Тя се нарича константа на интегриране. Тя е необходима, защото диференцирането на цяло число води до нула, следователно интегрирането на нула (която може да се постави в края на всеки интеграл) води до цяло число, C. Стойността на това цяло число ще се намери, като се използват дадени условия.

Уравненията с повече от един член се интегрират просто чрез интегриране на всеки отделен член:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Интегриране с участието на e и ln

Съществуват определени правила за интегриране с помощта на e и естествения логаритъм. Най-важното е, че e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ е интеграл на самото себе си (с добавяне на константа на интегриране): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Естественият логаритъм, ln, е полезен при интегриране на уравнения с 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Те не могат да бъдат интегрирани по горната формула (прибави единица към степента, раздели на степента), защото прибавянето на единица към степента дава 0, а деление на 0 не е възможно. Вместо това интегралът на 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ е ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

В по-общ вид: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Двете вертикални ленти показват абсолютна стойност; знакът (положителен или отрицателен) на f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) се пренебрегва. Това е така, защото няма стойност за естествения логаритъм на отрицателните числа.

Свойства

Сума от функции

Интегралът на сума от функции е сумата от интегралите на всяка функция, т.е,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Доказателството за това е просто: Определението за интеграл е граница на суми. Така

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Забележете, че и двата интеграла имат еднакви граници.

Постоянни величини при интегриране

Когато в интеграл с функция има константа, тя може да бъде извадена. Освен това, когато константата c не е придружена от функция, нейната стойност е c * x. Тоест,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ и

Това може да се направи само с константа.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Доказателството е отново чрез дефиницията на интеграл.

Други

Ако точките a, b и c са подредени една след друга (т.е. една след друга по оста x), интегралът на f(x) от точка a до точка b плюс интегралът на f(x) от точка b до c е равен на интеграла от точка a до c. Това означава,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ако са в ред. (Това важи и когато a, b, c не са подредени, ако дефинираме ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Това следва от фундаменталната теорема на смятането (ФТК): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Отново следвайки ФТК: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Въпроси и отговори

В: Какво представлява интегралът?

О: Интеграл е пространството под графиката на едно уравнение, известно още като "площта под кривата". Той е обратното на производната и е част от дял от математиката, наречен смятане.

В: Как изглежда символът за интегриране?

О: Символът за интегриране в математиката изглежда като висока буква "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Въпрос: Как интегралите са свързани с производните?

О: Интегралите и производните са свързани с фундаменталната теорема на смятането, която гласи, че един интеграл може да бъде обърнат с производна, подобно на това как едно събиране може да бъде обърнато с изваждане.

В: Кога може да се използва интегрирането?

О: Интегрирането може да се използва, когато се опитвате да умножите единици в дадена задача или когато намирате обема на твърдо тяло. То помага да се добавят двуизмерни срезове заедно, докато се получи ширина, което дава на обекта три измерения и неговия обем.

В: По какво интегрирането прилича на сумирането?

О: Интегрирането прилича на сумирането по това, че добавя много дребни неща заедно, но при интегрирането трябва да добавим и всички десетични дроби и дробни числа между тях.

В: Какво означава Риманова сума?

О: Сума на Риман се отнася до добавянето на малки части от графиката на скоростта, докато се съберат и образуват едно цяло уравнение.