Интеграл (математика): дефиниция, интуиция, Риманова сума и приложения

Интеграл (математика): дефиниция, интуиция, Риманова сума и приложения — ясно обяснение, визуална интуиция и практически примери за площади, скорости и приложни задачи.

Автор: Leandro Alegsa

07-10-2025 20:03

В математиката интеграл обикновено означава пространството или площта под графиката на дадена уравнение (популярно казано — "площта под кривата"). Интегралът е също така математическа операция, която е в известен смисъл обратна на производната: ако производната измерва как се променя една функция (нейния "наклон" или скорост на промяна), то интегралът "събира" промяната и възстановява натрупаната величина. Думата "интеграл" може да се използва и като прилагателно, което означава "свързан с цели числа", но в контекста на смятането обикновено става дума за натрупване на малки приноси.

Символът за интегриране в математиката е: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ , наподобяващ удължена буква "S". Този символ е въведен от Готфрид Вилхелм Лайбниц като стилизирана буква "ſ" (от латинската дума summa, означаваща "сума"), за да подчертае идеята за сумиране на безброй малки парчета (площни елементи) под графиката на функцията, например y = f(x). Освен неформалната визуална връзка със сумиране, синтаксисът на интеграла често включва граници: ∫_a^b f(x) dx — граници a и b показват отрезъка по оста x, над който се събира площта.

Видове интеграли

Определен интеграл — записва се като ∫_a^b f(x) dx и дава числена стойност: общата натрупана величина (напр. площ) на интервала [a, b]. Определеният интеграл се дефинира като граница на Риманови суми (виж по-долу).
Неопределен интеграл (антидериват) — записва се като ∫ f(x) dx и представлява семейство от функции F(x) с константа C, така че F'(x) = f(x). Резултатът е функция, а не число: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Интуиция и Риманова сума

Една интуитивна представа за интеграла: представете си графиката на скоростта v(t) на движещо се тяло. Ако искате да намерите общото изминато разстояние за време от a до b, трябва да "съберете" всички малки приноси v(t)·dt — т.е. скорост по малък интервал време. Това става чрез приближение с правоъгълници: разделяте интервала [a,b] на много малки парчета с ширина Δt, за всяко парче взимате височината (напр. v(t_i*)) и събирате v(t_i*)·Δt. Когато ширините Δt стават все по-малки и броят на парчетата расте към безкрайност, сумата има граница. Тази граница е Риманова сума и точно тя дефинира определен интеграл.

Формално: ∫_a^b f(x) dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(x_i^*) Δx_i, където Δx_i са ширините на подинтервалите и x_i^* е точка във всеки подинтервал. За добре държащи се функции (например непрекъснати функции на [a,b]) тази граница съществува и е една и съща независимо от избора на точките x_i^*.

Фундаментална теорема на анализа

Връзката между интегрирането и диференцирането е зададена от Фундаменталната теорема на изчислението, която има две части:

Първа част: Ако f е непрекъсната на [a,b], то функцията F(x) = ∫_a^x f(t) dt е непрекъсната на [a,b] и диференцируема на (a,b), като F'(x) = f(x). Това показва, че диференцирането "отменя" интегрирането.
Втора част: Ако F е антидериват на f (т.е. F' = f), то ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Това дава практичен начин за изчисляване на определени интеграли чрез намиране на антидеривативи.

Свойства и методи за изчисление

Линейност: ∫ (αf + βg) = α∫ f + β∫ g.
Добавъчност по интервали: ∫_a^c f + ∫_c^b f = ∫_a^b f.
Промяна на променливата (замяна) — важен метод за пресмятане на интеграли.
Частично интегриране — аналог на правилото за произведение при диференциране.
Специални техники: тригонометрична подмяна, рационална фракционна частична дробна разлагане и други.

Приложения

Интегралите имат широка употреба:

Площ под крива (двуизмерни области).
Намиране на обема на твърдо тяло чрез натрупване на срезове (методи: диск/ринг, цилиндрични обвивки — "shell method"). Текстът по-горе описва идеята как се събират двуизмерни срезове, за да се получи обем на триизмерен обект.
Изчисление на изминато разстояние от скорост (пример с разстояние/време по-горе).
Работа и енергия във физиката (интегриране на сила по разстояние).
Средни стойности, вероятности, центрове на маса, моменти на инерция и др.

Допълнителни теми

Условие за Риманова интегрируемост: не всяка функция е Риманово интегрируема, но всяка непрекъсната функция на затворен интервал е. Функции с много "лонгични" разкъсвания или силно осцилиращи поведение може да не са Риманово интегрируеми.

Импровизирани интеграли: когато едната или и двете граници са безкрайни или функцията има особености в интервала, разглеждат се неправилни интеграли — те се дефинират чрез предел на определени интеграли.

Обобщения: За по-общи ситуации и за по-добро поведение при по-лошо "разпределени" функции се използва Лебегова интеграция, която обхваща по-широка класа функции и позволява по-гъвкави техники в анализ и теория на вероятностите.

Кратко резюме

Интегралът е математически инструмент за натрупване на безкрайно много малки приноси; неговият символ ∫ е наследство от идеята за сумиране. Определените интеграли дават числен резултат (като площ или обем), а неопределените интеграли дават антидеривативи (семейство от функции). Римановите суми и Фундаменталната теорема на анализа свързват интуитивната идея за приближение чрез правоъгълници с точната алгебрична и аналитична рамка за изчисляване и приложение на интеграли.

Интегрирането е свързано с намирането на повърхнината s, като са дадени a, b и y = f(x). Формулата за интеграла от a до b, показан на графиката по-горе, е:
Формула: {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}: ∫ a b f ( x ) d x $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Какво представлява интегралът (анимация)

Методи за интегриране

Антидериватив

Съгласно фундаменталната теорема на смятането интегралът е антидериватив.

Ако вземем функцията 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ например и я антидиференцираме, можем да кажем, че интеграл на 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ е x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Казваме интеграл, а не интеграла, защото антидиференциалът на една функция не е уникален. Например, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ също се диференцира към 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Поради това при вземането на антипроизводната трябва да се добави константа C. Това се нарича неопределен интеграл. Това е така, защото при намирането на производна на функция, константите са равни на 0, както във функцията

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Обърнете внимание на 0: не можем да го намерим, ако разполагаме само с производната, така че интегралът е

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Прости уравнения

Едно просто уравнение, като например y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , може да се интегрира по отношение на x, като се използва следната техника. За да интегрирате, добавете 1 към степента, до която е повдигнато x, и след това разделете x на стойността на тази нова степен. Следователно интегрирането на нормално уравнение следва следното правило: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Цифрата d x {\displaystyle dx} $dx$ в края показва, че интегрираме по отношение на x, т.е. при промяна на x. Това е обратното на диференцирането. При интегрирането обаче се добавя константа C. Тя се нарича константа на интегриране. Тя е необходима, защото диференцирането на цяло число води до нула, следователно интегрирането на нула (която може да се постави в края на всеки интеграл) води до цяло число, C. Стойността на това цяло число ще се намери, като се използват дадени условия.

Уравненията с повече от един член се интегрират просто чрез интегриране на всеки отделен член:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Интегриране с участието на e и ln

Съществуват определени правила за интегриране с помощта на e и естествения логаритъм. Най-важното е, че e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ е интеграл на самото себе си (с добавяне на константа на интегриране): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Естественият логаритъм, ln, е полезен при интегриране на уравнения с 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Те не могат да бъдат интегрирани по горната формула (прибави единица към степента, раздели на степента), защото прибавянето на единица към степента дава 0, а деление на 0 не е възможно. Вместо това интегралът на 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ е ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

В по-общ вид: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Двете вертикални ленти показват абсолютна стойност; знакът (положителен или отрицателен) на f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) се пренебрегва. Това е така, защото няма стойност за естествения логаритъм на отрицателните числа.

Свойства

Сума от функции

Интегралът на сума от функции е сумата от интегралите на всяка функция, т.е,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Доказателството за това е просто: Определението за интеграл е граница на суми. Така

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Забележете, че и двата интеграла имат еднакви граници.

Постоянни величини при интегриране

Когато в интеграл с функция има константа, тя може да бъде извадена. Освен това, когато константата c не е придружена от функция, нейната стойност е c * x. Тоест,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ и

Това може да се направи само с константа.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Доказателството е отново чрез дефиницията на интеграл.

Други

Ако точките a, b и c са подредени една след друга (т.е. една след друга по оста x), интегралът на f(x) от точка a до точка b плюс интегралът на f(x) от точка b до c е равен на интеграла от точка a до c. Това означава,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ако са в ред. (Това важи и когато a, b, c не са подредени, ако дефинираме ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Това следва от фундаменталната теорема на смятането (ФТК): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Отново следвайки ФТК: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Въпроси и отговори

В: Какво представлява интегралът?

О: Интеграл е пространството под графиката на едно уравнение, известно още като "площта под кривата". Той е обратното на производната и е част от дял от математиката, наречен смятане.

В: Как изглежда символът за интегриране?

О: Символът за интегриране в математиката изглежда като висока буква "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Въпрос: Как интегралите са свързани с производните?

О: Интегралите и производните са свързани с фундаменталната теорема на смятането, която гласи, че един интеграл може да бъде обърнат с производна, подобно на това как едно събиране може да бъде обърнато с изваждане.

В: Кога може да се използва интегрирането?

О: Интегрирането може да се използва, когато се опитвате да умножите единици в дадена задача или когато намирате обема на твърдо тяло. То помага да се добавят двуизмерни срезове заедно, докато се получи ширина, което дава на обекта три измерения и неговия обем.

В: По какво интегрирането прилича на сумирането?

О: Интегрирането прилича на сумирането по това, че добавя много дребни неща заедно, но при интегрирането трябва да добавим и всички десетични дроби и дробни числа между тях.

В: Какво означава Риманова сума?

О: Сума на Риман се отнася до добавянето на малки части от графиката на скоростта, докато се съберат и образуват едно цяло уравнение.

обискирам