Антидиференцирането | процесът на намиране на определена функция в смятането

Просто антидиференциране

Функция от вида a x n {\displaystyle ax^{n}} може да се интегрира (антидиференцира) по следния начин:

• Добавете 1 на степента n {\displaystyle n} , така че a x n {\displaystyle ax^{n}} сега е a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} .
• Разделете всичко това на новата степен, така че сега то е a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
• Добавете константата c {\displaystyle c} , така че сега тя е a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} .

Това може да бъде показано по следния начин:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} (известно също като правило за мощността на интеграла)

Когато има много членове, можем да интегрираме цялата функция, като интегрираме компонентите ѝ една по една:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Това работи само ако частите се добавят или отнемат.)

Примери

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Превръщането на дробта и корените в мощности улеснява работата:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}\\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Интегриране на скоба ("правило на веригата")

За интегриране на скоба като ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} , е необходим различен метод. Той се нарича верижно правило. То прилича на простото интегриране, но работи само ако x {\displaystyle x} в скобата е линейно (има степен на 1), например x {\displaystyle x} или 5 x {\displaystyle 5x} - но не и x 5 {\displaystyle x^{5}} или x - 7 {\displaystyle x^{-7}} .

Например, ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} може да се определи в следните стъпки:

• Добавете 1 към степента 3 {\displaystyle 3} , така че сега е ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}
• Разделете всичко това на новата степен, за да получите ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
• Разделете всичко това на производната на скобата ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} за да получим ( 2 x + 4 ) 4 4 ⋅ 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}
• Добавете константата c {\displaystyle c} , за да получите 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Примери

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ пъти 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\типове 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Свързани страници

• Фундаментална теорема на смятането
• Интегрален
• Числено интегриране
• Разлагане на частични фракции