Антидиференциране (неопределено интегриране): дефиниция и примери

Антидиференциране: ясна дефиниция, основни правила и примери с решения стъпка по стъпка за неопределено интегриране.

Автор: Leandro Alegsa

Антидиференцирането (наричано още неопределено интегриране) е процесът на намиране на определена функция в смятането. То е противоположно на диференцирането и представлява начин да се намери функция (или клас от функции), чиято производна е дадената функция. Резултатът от антидиференцирането се нарича антидериватив или неопределен интеграл. Антидиференцирането е подобно на интегрирането, но без граници — затова се нарича неопределено интегриране. Когато се обозначава с единична буква, антидеривативът често се записва с главни римски букви, например F и {\displaystyle G}.

В общия случай антидеривативът се записва под формата {\displaystyle \int f(x)\ dx}, където резултатът е функция F(x) такава, че F'(x) = f(x). Понеже антидеривативът е определен до константа, записът обикновено включва и постоянна на интегриране C:

∫ f(x) dx = F(x) + C, където F'(x) = f(x) и C е произволна константа.

Основни свойства

  • Линейност: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, за константи a и b.
  • Единственост до константа: Ако F и G са антидеривативи на f, то F(x) − G(x) = const за всички x в областта на дефиниция.
  • Съществуване: Всяка непрекъсната функция f на интервал има антидериватив. За по-общи функции съществуването може да изисква допълнителни условия.

Основни правила и примери

  • Правило за степените (power rule): за n ≠ −1, ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C. Пример: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C.
  • Специален случай n = −1: ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
  • Експоненциална функция: ∫ e^x dx = e^x + C.
  • Тригонометрични функции: ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ sec^2 x dx = tan x + C.
  • Константа: ∫ a dx = a x + C, за константа a.

Методи за намиране на антидериватив

  • Замяна (u-замяна): Ако x-замяната u = g(x) опростява интеграла, използва се d u = g'(x) dx и интегрирането се извършва по u. Пример: ∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx; с u = x^2 + 1 получаваме du = 2x dx и резултат ∫ u^3 du = u^4/4 + C = (x^2+1)^4/4 + C.
  • Интегриране по части: Формула: ∫ u dv = u v − ∫ v du. Полезна за произведения на функции (напр. полином × логаритъм, полином × тригонометрична функция). Пример: ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x−1) + C.
  • Разлагане на рационални дроби: Чрез частично дробно разлагане рационалните функции често се интегрират лесно.

Отношение към определени интеграли

Фундаменталната теорема на анализа свързва неопределените и определените интеграли. Ако F е антидериватив на f върху [a, b] (т.е. F'(x)=f(x)), тогава за определен интеграл имаме:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Това означава, че намерената антидеривативна функция позволява лесно да се изчислят и дефинитивни площи, когато f е интегруема.

Често използвани антидеривативи (извадък)

  • ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ −1
  • ∫ 1/x dx = ln|x| + C
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ a^x dx = a^x / ln a + C, за a>0, a≠1
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
  • ∫ sec^2 x dx = tan x + C
  • ∫ 1/(1 + x^2) dx = arctan x + C
  • ∫ 1/√(1 − x^2) dx = arcsin x + C

Практически бележки

  • Антидиференцирането понякога изисква комбинация от методи: замяна, части, тригонометрични идентичности или частични дроби.
  • В практиката много интеграли се намират като следване на таблица с основни формули и приложение на линейност и подходящи преобразувания.
  • За по-сложни функции, които нямат елементарни антидеривативи, се използват числени методи или специални функции (напр. функцията на Гаус, експоненциална интеграла и др.).

Ако желаете, мога да добавя повече примери с изчисления стъпка по стъпка или таблица с още често срещани интеграли.

Просто антидиференциране

Функция от вида {\displaystyle ax^{n}} може да се интегрира (антидиференцира) по следния начин:

  • Добавете 1 на степента n, така че {\displaystyle ax^{n}} сега е {\displaystyle ax^{n+1}}.
  • Разделете всичко това на новата степен, така че сега то е {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
  • Добавете константата {\displaystyle c} , така че сега тя е {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} .

Това може да бъде показано по следния начин:

{\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} (известно също като правило за мощността на интеграла)

Когато има много членове, можем да интегрираме цялата функция, като интегрираме компонентите ѝ една по една:

{\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Това работи само ако частите се добавят или отнемат.)

Примери

{\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Превръщането на дробта и корените в мощности улеснява работата:

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

{\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Интегриране на скоба ("правило на веригата")

За интегриране на скоба като {\displaystyle (2x+4)^{3}}, е необходим различен метод. Той се нарича верижно правило. То прилича на простото интегриране, но работи само ако x в скобата е линейно (има степен на 1), например x или {\displaystyle 5x} - но не и {\displaystyle x^{5}} или {\displaystyle x^{-7}}.

Например, {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} може да се определи в следните стъпки:

  • Добавете 1 към степента {\displaystyle 3} , така че сега е {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Разделете всичко това на новата степен, за да получите {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Разделете всичко това на производната на скобата {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}за да получим {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Добавете константата {\displaystyle c} , за да получите {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Примери

∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ пъти 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\типове 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


 

Свързани страници

 

Въпроси и отговори

В: Какво представлява антидиференцирането?


О: Антидиференцирането (наричано още неопределено интегриране) е процесът на намиране на определена функция в математиката. Той е противоположен на диференцирането и включва обработка на дадена функция, за да се получи друга функция (или клас от функции), наречена антидиференциал.

Въпрос: Как се представя?


О: Когато се представят като единични букви, антидеривативните често имат формата на главни римски букви като F и G. Като цяло антидеривативната се записва във вида ∫f(x) dx.

Въпрос: Какво включва антидиференцирането?


О: Антидиференцирането включва обработката на дадена функция, за да се получи друга функция (или клас от функции), наречена антидериватив.

В: По какво се различава от интегрирането?


О: Антидиференцирането се различава от интегрирането по това, че не включва граници - затова се нарича неопределено интегриране.

В: Кои са примерите за това как може да се изрази антидиференцирането?


О: Примери за това как може да се изрази антидиференцирането са F и G, когато са представени като единични букви, или ∫f(x) dx, когато са записани в общ вид.


обискирам
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3