Отрицателно число: определение, свойства и примери

Отрицателно число е число, което показва противоположност. Ако положително число е разстояние нагоре, то отрицателното число е разстояние надолу. Ако положително число е разстояние надясно, то отрицателното число е разстояние наляво. Ако положително число е депозит в банкова сметка, то отрицателното число е теглене от тази сметка. Ако положително число е количество минути в бъдещето, то отрицателното число е количество минути в миналото. Ако положително число означава събиране, то отрицателното число означава изваждане.

Числата, които се броят (1, 2, 3 и т.н.), са положителни числа. Положителните числа, отрицателните числа и числото нула, взети заедно, се наричат "знакови числа" или цели числа.

Числото нула не е нито положително, нито отрицателно. Нулата е противоположна на себе си, така че +0 = -0. Това означава, че нула стъпки надясно е същото като нула стъпки наляво.

Отрицателното число винаги е по-малко от нула.

Отрицателно число се записва, като пред положително число се постави знакът минус, "-". Например 3 е положително число, но -3 е отрицателно число. То се чете като "отрицателно три" или "минус три"; то означава обратното на 3.

Отрицателните числа се намират вляво от нулата на числовата линия. Едно число и противоположното му число са винаги на едно и също разстояние от нулата. Отрицателното число -3 е точно толкова далеч вляво от нулата, колкото 3 е вдясно от нулата:

Number line

Понякога, за да подчертаем, записваме двойката противоположни числа като -3 и +3.

Едно число и противоположното му число винаги се събират с нула. Така сборът на -3 и +3 е 0. Можем да го запишем като -3 + 3 = 0 или като 3 + (- 3) = 0. Освен това се казва, че едно число и неговата противоположност се "анулират".

Основни свойства и правила за работа с отрицателни числа

Отрицателни числа са по-малки от положителните: за всяко положително число a, винаги a > 0 > -a.
Противоположни числа: числото -x е противоположно на x; те имат еднаква абсолютна стойност и се намират на еднакъв разстояние от нулата, но на различни страни.
Нулата е граница: нула не е положително и не е отрицателно; тя разделя положителните и отрицателните числа на числовата линия.
Абсолютна стойност: абсолютната стойност на число x, означавана |x|, е разстоянието му от нулата и винаги е неотрицателна (например |−3| = 3 и |3| = 3).

Събиране и изваждане с отрицателни числа

Правилата могат да се обобщят просто:

Когато събираме две числа със същ знак, събираме абсолютните стойности и запазваме знака. Пример: (-4) + (-3) = -(4+3) = -7.
Когато събираме числа с различни знаци, изваждаме по-малката абсолютна стойност от по-голямата и запазваме знака на числото с по-голяма абсолютна стойност. Пример: 5 + (-3) = 2; (-5) + 3 = -2.
Изваждането a - b може да се разглежда като събиране на противоположното: a - b = a + (-b). Пример: 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Умножение и деление

При умножение и деление важат простите правила за знаците:

Плюс × плюс = плюс: (+)·(+) = +. Пример: 3·4 = 12.
Минус × плюс = минус: (-)·(+) = -. Пример: (-3)·4 = -12.
Плюс × минус = минус: (+)·(-) = -. Пример: 3·(-4) = -12.
Минус × минус = плюс: (-)·(-) = +. Пример: (-3)·(-4) = 12.

Същите правила важат и за деление (освен че делим на нула е невъзможно):

(-12) ÷ (-3) = 4 (плюс),
(-12) ÷ 3 = -4 (минус).

Сравняване и подреждане

На числовата линия стойностите растат от ляво на дясно. Следователно отрицателните числа са винаги по-малки от нулата и от всяко положително число. Сред отрицателните числа, това с по-голяма абсолютна стойност е по-малко: например -7 < -3, защото -7 е по-ляво на числовата линия.

Абсолютна стойност и "анулиране"

Абсолютната стойност |x| показва разстоянието до нулата. Две числа x и -x имат еднаква абсолютна стойност: |x| = |-x|. Когато помежду им се съберат, те дават нула (x + (-x) = 0) — процес, често наричан "анулиране" или "унищожаване".

Примери от реалния живот

Температура: +5 °C означава 5 градуса над нулата; -5 °C означава 5 градуса под нулата.
Пари: баланс +200 лв означава депозит, баланс -50 лв означава дълг или овердрафт.
Височина: надморска височина +100 m срещу надолу -10 m (под морското равнище).
Време: бъдещи минути се отбелязват с положителни числа, минали с отрицателни (например при изразяване на отклонение спрямо точка в бъдещето/миналото).

Чести грешки и съвети

Не бъркайте знак минус пред числото (отрицателност) със знак минус при изваждане. Мислете за изваждането като събиране на противоположното.
Когато имате последователност от знаци (например a - (-b)), разгърнете двойния минус: a - (-b) = a + b.
За по-лесно сравняване използвайте числовата линия или абсолютните стойности.

Отрицателните числа са основна част от математиката и се използват в много области — от физика и финанси до ежедневни ситуации. Добре е да се практикуват правилата за знаци, защото те улесняват изчисленията и предотвратяват грешки.

Аритметика с отрицателни числа

Прибавянето на отрицателно число към нещо е същото като изваждането на положително число от него. Например добавянето на отрицателното число "-1" към числото "9" е същото като изваждането на единица от девет. В символите:

9 + (−1) = 9 − 1 = 8

Изваждането на отрицателно число от нещо е същото като прибавянето на положително число към него. Например изваждането на отрицателното число "-8" от числото "6" е същото като събирането на числото "6" и числото "8". В символите:

6 − (−8) = 6 + 8 = 14

Отрицателно число, умножено по друго отрицателно число, дава положително число. Например умножаването на отрицателното число "-3" по отрицателното число "-2" е същото като умножаването на числото "3" по числото "2". В символи:

(−3) × (−2) = 3 × 2 = 6

Отрицателно число, умножено по положително число, дава отрицателно число. Например умножаването на отрицателното число "-4" по положителното число "5" е като умножаване на числото "4" по числото "5", но отговорът е отрицателен. В символи:

(−4) × 5 = −(4 × 5) = −20

Използване на отрицателни числа

Когато човек е беден, хората понякога казват, че разполага с отрицателна сума пари. Отрицателните числа се използват в счетоводството и науката.

Въпроси и отговори

В: Какво е отрицателно число?

О: Отрицателното число е число, което показва противоположност. Например, ако положителното число е разстояние нагоре, то отрицателното число е разстояние надолу. Ако положително число означава събиране, то отрицателно число означава изваждане.

В: Как се записва отрицателно число?

О: Отрицателното число се записва, като пред положителния вариант на същото число се постави знакът минус, "-". Например 3 е положително число, а -3 е съответният му отрицателен вариант.

В: Какво представляват числата със знак?

О: Подписаните числа или целите числа са множеството от всички положителни числа, отрицателни числа и нула, взети заедно. Нулата сама по себе си няма конкретен знак, тъй като може да се счита за своя противоположност; така че +0 = -0.

В: Къде на реалната линия се намират отрицателните числа?

О: Отрицателните числа се намират вляво от нулата на реалната линия.

В: Какво се случва, когато съберете две противоположни числа със знак?

О: Когато съберете две противоположни знакови числа, те винаги се нулират взаимно и се получава 0; например -3 + 3 = 0 или 3 + (-3) = 0.

В: Има ли друг начин да се представят всички отрицателни реални числа?

О: Да, всички отрицателни реални числа могат да се представят и като R-{\displaystyle \mathbb {R} _{-}} .