Деление на нула и неопределени форми: обяснение на 0/0
Ясно обяснение на делението на нула и неопределената форма 0/0: причини, примери и интуиция за студенти и любопитни читатели.
В математиката едно число не може да се дели на нула. Забележете:
1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} 
Ако B = 0, то C = 0. Това е вярно. Но:
2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} 
(където B=0, така че просто делим на нула)
Което е същото като:
3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} 
Проблемът е, че A {\displaystyle A}
може да бъде всяко число. Това би работило, ако A {\displaystyle A} е 1 или ако е 1 000 000 000 000. Поради тази причина се казва, че 0/0 е с "неопределена форма", защото няма една-единствена стойност. От друга страна, числата с формата A/0, при които A {\displaystyle A} не е 0, се наричат "неопределени" или "неопределени". Това е така, защото всеки опит за дефинирането им ще доведе до стойност безкрайност, която сама по себе си е неопределена. Обикновено, когато две числа са равни на едно и също нещо, те са равни едно на друго. Това не е вярно, когато нещото, на което и двете са равни, е 0/0. Това означава, че нормалните правила на математиката не работят, когато числото се дели на нула.
Защо делението на нула е дефинирано като невъзможно или неопределено
Делението a/b се дефинира като обратна операция на умножение: ако a = c·b, то a/b = c (при b ≠ 0). Когато b = 0 имаме два случая:
- Ако a ≠ 0: уравнението c·0 = a няма решение в реалните числа, защото произведението на каквото и да е число с нула винаги е 0. Опитът да се дефинира a/0 води до нещо, което се описва като "стреми се към безкрайност" в смисъла на граници, но не дава реално число. Затова a/0 (за a ≠ 0) е неопределено или казваме, че изразът върти към безкрайност, а не че има реална стойност.
- Ако a = 0: уравнението c·0 = 0 е изпълнено за всяко реално c. Следователно 0/0 не може да се свърже с една-единствена стойност — той е пример за т.нар. неопределена форма (indeterminate form).
Разлика между "неопределено" и "неопределена форма"
A/0 за A ≠ 0 обикновено се нарича просто undefined (неопределено) в аритметиката — няма решение в реалните числа и повечето системи дават грешка или казват "безкрайност".
0/0 обаче е по-специфична концепция: като символичен израз той е неопределен в смисъла, че не възпроизвежда еднозначна стойност. В анализа (приближено при граници) 0/0 е "неопределена форма", защото различни функции, даващи дроб с числител и знаменател, които и двете се стремят към 0, може да имат различни граници.
Примери с граници (защо 0/0 може да означава различни неща)
- lim_{x→0} x/x = 1 — тук числителът и знаменателят са еднакви, границата е 1.
- lim_{x→0} 2x/x = 2 — границата е 2, въпреки че и двете части отиват към 0.
- lim_{x→0} x^2/x = 0 — тук резултатът е 0.
- lim_{x→0} (sin x)/x = 1 — класически пример, разрешим чрез поредици, L'Hôpital или редове на Тейлър.
От тези примери се вижда, че писането 0/0 самó по себе си не определя каква ще бъде границата; допълнителната структура (как точно числителят и знаменателят се приближават към 0) е от значение.
Кратко за L'Hôpital и други техники
В анализa за работа с граници, които водят до форми 0/0 (или ∞/∞), често се използва правилото на L'Hôpital: ако lim f(x) = lim g(x) = 0 (или ±∞) и границата на f'(x)/g'(x) съществува, то тя е равна на границата на f(x)/g(x). Това е инструмент за намиране на конкретна стойност на граница, която иначе изглежда като неопределена форма.
Допълнителни бележки
- В разширените числови системи (например проективна линия на реалните числа) понякога се въвежда "безкрайност" като формално обект, но дори и там 0/0 остава проблематичен — обикновено се третира като недефиниран или се обозначава със специален символ.
- В компютърните стандарти (IEEE 754) делението с ненулев числител на 0 дава ±Infinity, а 0/0 дава NaN (Not a Number) — специален маркер за недефиниран резултат при плаваща точка.
- Много математически парадокси и "фалшиви доказателства" се появяват, когато някой тайно дели на нула. Винаги проверявайте дали не сте направили деление с нулев фактор, когато опростявате изрази.
Извод: Делението на нула не е позволено в стандартната аритметика. Изразът A/0 (за A ≠ 0) няма крайна реална стойност (говорим за дивергенция към ±∞), а 0/0 е неопределена форма — без единствена стойност и потребителски контекст (например граница на функции) е необходимо, за да се каже повече.
Неправилни доказателства, основани на деление на нула
Възможно е да се прикрие специален случай на деление с нула в алгебричен аргумент. Това може да доведе до невалидни доказателства, като например 1=2, както в следния пример:
Със следните предположения:
0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\времена 1&=0\0\времена 2&=0.\end{aligned}} 
Следното трябва да е вярно:
0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\ пъти 1=0\ пъти 2.\,} 
Ако разделите на нула, ще получите:
0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.} 
Опростете:
1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} 
Заблудата се състои в предположението, че разделянето на 0 е легитимна операция с 0/0 = 1.
Повечето хора вероятно биха разпознали горното "доказателство" като невярно, но същият аргумент може да бъде представен по начин, който затруднява забелязването на грешката. Например, ако 1 се запише като x, тогава 0 може да се скрие зад x-x, а 2 - зад x+x. Тогава гореспоменатото доказателство може да бъде показано по следния начин:
( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}} 
следователно:
( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} 
Деленето на x - x дава:
x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} 
и като разделите на x, получавате:
1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,}
"Доказателството" по-горе е невярно, защото то се дели на нула, когато се дели на x-x, защото всяко число минус себе си е нула.
Calculus
В смятането горепосочените "неопределени форми" също се получават в резултат на пряко заместване при оценяване на граници.
Деление на нула в компютрите
Ако компютърна програма се опита да раздели цяло число на нула, операционната система обикновено открива това и спира програмата. Обикновено тя ще отпечата "съобщение за грешка" или ще даде на програмиста съвет как да подобри програмата[]. Делението на нула е често срещана грешка в компютърното програмиране. Деленето на числа с плаваща запетая (десетични дроби) на нула обикновено води до безкрайност или до специална стойност NaN (not a number), в зависимост от това какво се дели на нула.
Деление на нула в геометрията
В геометрията 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } 
Тази безкрайност (проективна безкрайност) не е нито положително, нито отрицателно число, по същия начин, по който нулата не е нито положително, нито отрицателно число
Въпроси и отговори
В: Какъв е резултатът от разделянето на едно число на нула?
О: Деленето на едно число на нула води до "неопределена" или "неопределима форма", което означава, че то няма една стойност.
В: Какво означава 0/0?
О: За 0/0 се казва, че има "неопределена форма", тъй като няма единична стойност.
В: Какво се случва, когато две числа са равни на едно и също нещо, но това нещо е 0/0?
О: Нормалните правила на математиката не работят, когато числото се дели на нула, така че двете числа няма да са равни едно на друго.
Въпрос: Вярно ли е, че всеки опит да се определи число от вида А/0 ще доведе до стойност безкрайност?
О: Да, всеки опит да се определи число от вида A/0 (където A не е 0) ще доведе до стойност безкрайност, която сама по себе си е неопределена.
В: Как можем да определим дали две числа са равни едно на друго?
О: Можем да определим дали две числа са равни едно на друго, като видим дали и двете са равни на едно и също нещо. Обикновено това работи, но не важи, когато и двете числа са равни на 0/0.
Въпрос: Има ли изключение, когато не можем да разделим дадено число на нула? О: Да, в математиката не е възможно да разделим едно число на нула.
обискирам