В математиката думата "деление" означава операцията, която е обратна на умножението. Символите за деление най-често са наклонената черта ({\displaystyle /}) и дробната черта, както в примерите по-долу:

{\displaystyle 6/3} или {\displaystyle {\frac {6}{3}}}

В тези записи всеки от трите израза означава "6 делено на 3", а отговорът е 2. Първото число се нарича дивидент (тук 6), а второто — делител (тук 3). Резултатът от делението се нарича коефициент (или част), а ако при делението остане ненулева част, тя се нарича остатък.

Компоненти на делението и пример

  • Дивидент — числото, което се дели.
  • Делител — числото, на което се дели.
  • Коефициент (част или резултат) — резултатът от деленето.
  • Остатък — това, което остава, когато делим целочислено и делението не е точно.

Например, при ⟮14 ÷ 4⟯ получаваме коефициент 3 и остатък 2. Това може да се запише и като смесено число {\displaystyle 3{\frac {1}{2}}}, което съответства на десетична дроб 3,5.

Още примери

Числата, които участват в делението, могат да бъдат много големи. Например:

  • {\displaystyle 200/5=40} — делението е точно и коефициентът е 40.
  • {\displaystyle 7,000,000,000/1000=7,000,000} — тук коефициентът е 7 милиона.

Цяло деление и остатък (Евклидов алгоритъм)

За цели числа a и b (с b > 0) Евклидовата теорема гласи, че съществуват единствени цели числа q (коефициент) и r (остатък), такива че:

a = b·q + r, като 0 ≤ r < b.

Това е основата на целочисленото деление и на понятията коефициент и остатък. Остатъкът винаги е по-малък от делителя и неотрицателен (за стандартната форма). Този резултат се използва и в алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител (НОД).

Деление и дроби

Делението a ÷ b често се записва като дроб a/b. Ако делението е нецяло, резултатът може да бъде представен като десетична дроб (например 1/3 = 0,333...), като дроб (например 1/2) или като смесено число (например 3 1/2). Десетичното представяне може да е крайно (терминира), когато в простата форма на знаменателя има само прости множители 2 и/или 5, или периодично (повтарящо се), в противен случай.

Свойства и правила

  • Делението е обратна операция на умножението: a ÷ b = c точно когато a = b·c.
  • Делението не е комутативно: a ÷ b ≠ b ÷ a в общия случай.
  • Делението не е асоциативно: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) обикновено.
  • Понякога се използват разпределителни отношения в удобни форми: (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c, но a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c общо.
  • Правила за знаци при реални числа: знакът на частта е плюс, когато делим две числа със същ знак, и минус — когато знаците са различни.

Забрана на деление на нула

Делението на нула е неопределено: не е позволено да се дели на 0. Формално, изразът a ÷ 0 няма смисъл в обичайната алгебра, защото не съществува число c, за което 0·c = a (за a ≠ 0). При a = 0 и деление 0 ÷ 0 също имаме неопределеност (индентифицира се множество възможни решения).

Методи за извършване на деление

  • Кратко деление — удобен начин за деление, когато делителят е едноцифрено число.
  • Дълго деление — систематичен алгоритъм за деление на големи числа, при който поетапно се намира всяка цифра от коефициента и остатъкът се сваля и дели по-нататък.
  • Деление с десетични дроби — когато делението не е точно, може да продължим дългото деление, като добавяме нули след десетичната запетая, за да получим точна или приближена десетична стойност.

Практически бележки

  • При работа с цели числа е полезно да се помни таблицата за умножение — тя улеснява намирането на коефициенти в дългото деление.
  • За проверка дали делението е правилно, умножете делителя по коефициента и прибавете остатъка — трябва да получите дивидента (a = b·q + r).
  • В компютърните науки и програмирането често се използват операциите целочислено деление (quotient) и остатък (mod) — например 14 div 4 = 3 и 14 mod 4 = 2.

Делението е едно от базовите понятия в аритметиката и алгебрата и има многобройни приложения — от изчисления с парични суми и измервания до алгоритми в криптографията и теорията на числата.