Въображаеми числа — дефиниция, свойства и приложения

Научете всичко за въображаемите числа: дефиниция, свойства, операции и практични приложения в математика и инженерство с ясни примери и интуитивни обяснения.

Имагинерните числа са числа, които се получават от комбинирането на реално число с имагинерна единица, наречена i, където i се определя като i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Те се дефинират отделно от отрицателните реални числа, тъй като представляват квадратен корен от отрицателно реално число (вместо от положително реално число). Това не е възможно при реалните числа, тъй като няма реално число, което да се умножи по себе си, за да се получи отрицателно число (например 3 × 3 = 9 {\displaystyle 3\times 3=9} и - 3 × - 3 = 9 {\displaystyle -3\times -3=9} ). Множеството на имагинерните числа понякога се обозначава с буквата I {\displaystyle \mathbb {I} } .

Един от начините да мислим за въображаемите числа е да кажем, че за отрицателните числа те са това, което отрицателните числа са за положителните числа. Ако кажем "отиди на изток с -1 миля", това е същото, както ако бяхме казали "отиди на запад с 1 миля". Ако кажем "отиди на изток с i мили", това означава същото, както ако бяхме казали "отиди на север с 1 миля". По същия начин, ако кажем "отиди на изток с -i миля", това означава същото, както ако бяхме казали "отиди на юг с 1 миля".

Добавянето също е лесно. Ако кажем "отиди на изток с 1 + i мили", това означава същото, както ако бяхме казали "отиди на изток с една миля и на север с една миля".

Умножаването на две имагинерни числа е подобно на умножаването на положително число с отрицателно. Ако кажем "отиди на изток на 2 × -3 мили", това означава "завърти се наобратно (така че сега да си обърнат на запад) и измина 2 × 3 = 6 мили". Въображаемите числа работят по същия начин, с изключение на това, че можете да се завъртите частично. Ако кажем "на изток с 2×3i мили", това означава същото, както ако бяхме казали "завъртете се, докато се обърнете на север, и след това изминете 2×3 = 6 мили".

Изваждане на числа като 5 - 9 е било невъзможно, докато не са били измислени отрицателните числа, както е било невъзможно да се вземе корен квадратен от отрицателно число, докато не са били измислени въображаемите числа. Квадратният корен на 9 е 3, но квадратният корен на -9 не е -3. Това е така, защото -3 x -3 = +9, а не -9. Дълго време изглеждаше, че няма отговор на въпроса за квадратния корен от -9.

Ето защо математиците са измислили имагинерното число i и са казали, че то е главният корен от -1. Квадратният корен от -1 не е реално число, така че тази дефиниция създава нов тип число, точно както дробта създава числа като 2/3, които не са броими числа като 4 или 10, а отрицателните числа създават числа, които са по-малки от 0. Понякога математиците изглеждат доста удобни, когато използват толкова необичайно число, но името въображаемо не бива да ви заблуждава, защото i е също толкова валидно число, колкото 3 или 145 379.

Това число е използвано в много области на науката и техниката. Например електроинженерите се нуждаят от i, за да разберат как ще работи една електрическа верига, когато я проектират (електроинженерите използват j вместо i, за да избегнат объркване със символа за ток). Някои клонове на физиката, като квантовата физика и физиката на високите енергии, използват i толкова често, колкото и всяко друго обикновено число. Много от уравненията в света просто не могат да бъдат решени без i.

Въображаемите числа могат да се смесват с числа, които са ни по-познати. Например реално число като 2 може да се добави към въображаемо число като 3i, за да се получи 2+3i. Тези видове смесени числа са известни като комплексни числа.

Дефиниция и обозначения

Въображаемо (имагинерно) число най-често означава число от вида b·i, където b е реално число и i е имагинерната единица с i² = −1. Числа от вида a + b·i, където a и b са реални, се наричат комплексни числа. Ако a = 0, получаваме чисто (или „чисто”) въображаемо число.

Основни операции

• Събиране: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
• Изваждане: (a+bi)−(c+di) = (a−c) + (b−d)i.
• Умножение: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Тук се използва i²=−1.
• Деление: за да разделим z1/z2, умножаваме числител и знаменател по комплексно-съвпадение (конюгираното) на z2: (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c²+d²).

Конюгация, модул и аргумент

За комплексно число z = a + bi:

• Конюгирано z̄ = a − bi. Умножение на конюгираното дава z·z̄ = a² + b², което е реално и неотрицателно.
• Модул (дължина) |z| = sqrt(a² + b²) — разстоянието от произхода в комплексната равнина.
• Аргумент arg(z) = θ — ъгълът между положителната реална ос и вектора от 0 до z (измерва се в радиани или градуси).

Геометрична интерпретация и полярна форма

Комплексното число z = a + bi може да се разглежда като вектор (a, b) в равнината (комплексната равнина): реалната ос е хоризонтална, а въображаемата — вертикална. Събиране на комплексни числа съответства на векторно събиране.

Полярната форма записва z чрез модул и аргумент: z = r(cos θ + i sin θ), където r = |z| и θ = arg(z). С помощта на Формулата на Ойлер имаме

e^iθ = cos θ + i sin θ,

така че z = r e^iθ. Това улеснява пресмятането на степени и корени: по теоремата на Де Мойвър zⁿ = rⁿ e^inθ.

Специални свойства на i

• i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 и т.н. (периодичност 4).
• Квадратният корен на −9 е 3i (главният корен обикновено се приема с положителна реална част на модулa — тук 3 > 0).

Кратка историческа бележка

Идеята за „въображаеми“ числа възниква при решенията на кубични уравнения през XVI век (работи на Джероламо Кардано и т.н.). По-късно математици като Рафаел Бомбели, Леонард Ойлер и Карл Фридрих Гаус развиват теорията — Гаус въвежда и геометричното представяне (комплексната равнина), което прави тези числа по-интуитивни и твърди.

Приложения

Въображаемите и комплексните числа имат широки приложения:

• Електротехника: анализ на променлив ток (AC), използвайки импеданси; там обичайно се използва символът j вместо i, за да не се бърка с електрическия ток I.
• Сигнална обработка и теория на управлението: преобразувания като Фурие и Лаплас се базират на e^iθ и комплексни честоти.
• Квантова механика: комплексни амплитуди и уравнения (напр. уравнението на Шрьодингер).
• Математика: решение на диференциални уравнения, корени на полиноми, теория на функции на комплексна променлива.

Често срещани заблуди

Името „въображаеми“ може да подвежда — тези числа не са „по-малко реални“ в математически смисъл. Множеството на комплексните числа е поле (със свойства на събиране и умножение като при реалните числа) и е фундаментално за съвременната математика и физика.

Полезни примери

• Събиране: (2+3i) + (1−2i) = 3 + i.
• Умножение: (1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i² = (3−8) + 10i = −5 + 10i.
• Деление: (2+3i)/(1−i) = [(2+3i)(1+i)]/(1+1) = (2+2i+3i+3i²)/2 = (2−3 +5i)/2 = (−1 + 5i)/2.

Ако желаете, мога да добавя интерактивни илюстрации (диаграми на комплексната равнина), повече примери за изчисляване на корени или упражнения със решения.

Въпроси и отговори

В: Какво е въображаемо число?

В: По какво се различават имагинерните числа от отрицателните реални числа?

Въпрос: Какво означава, когато казваме "отидете на изток на -i мили"?

В: Как се събират две въображаеми числа?

В: Какво представляват комплексните числа?

В: В кои области математиците използват понятието въображаема единица?

Търсене по буква