Частична производна — определение, означения и свойства

Частична производна: ясно определение, стандартни означения (∂f/∂x) и ключови свойства за многовариантни функции — примери и интуитивни обяснения за студенти и инженери.

В математиката за напреднали частичната производна на дадена функция е производна на една от посочените променливи, а неназованата променлива на функцията е постоянна. С други думи, частичната производна взема производната на определени посочени променливи на функцията и не диференцира другата(ите) променлива(и). Записът

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}

обикновено се използва, въпреки че са валидни и други обозначения. Обикновено, макар и не винаги, частичната производна се взема в многовариантна функция (функция с три или повече променливи, които могат да бъдат независими или зависими).

Формално определение

За функция f(x,y) частичната производна по x в точката (a,b) се дефинира чрез предел:

∂f/∂x (a,b) = lim_{h→0} [f(a+h,b) − f(a,b)] / h,

ако този предел съществува. По аналогичен начин се дефинира ∂f/∂y (a,b). За функция f(x1,...,xn) частичната производна по xi в точката a = (a1,...,an) е пределът при промяна само на xi, докато останалите координати се държат фиксирани.

Интуция и примери

Интуитивно частичната производна измерва скоростта на промяна на функцията при изменение само на една променлива, като всички останали се считат за постоянни. Поради това при изчисленията третите се третират като константи.

Пример: за f(x,y) = x^2 y + sin(xy) имаме

• ∂f/∂x = 2x y + cos(xy)·y (тъй като y е константа при диференциране по x)
• ∂f/∂y = x^2 + cos(xy)·x (тъй като x е константа при диференциране по y)

Означения и нотации

• ∂f/∂x, ∂f/∂y — стандартна нотация на Лейбниц за частична производна.
• f_x, f_y — кратка нотация, често използвана в уравнения и при работа с многомерни функции.
• D_x f, D_y f — нотация на Дирак/Фреше/Деривативи в някои контексти.
• За високи порядъци: ∂^2 f/∂x^2, ∂^2 f/∂x∂y, f_{xy} и т.н.

Свойства

• Линейност: ∂(af + bg)/∂x = a ∂f/∂x + b ∂g/∂x за константи a,b.
• Правило за произведение: ∂(fg)/∂x = f_x g + f g_x.
• Верига (chain rule): ако z = f(u(x,y), v(x,y)), то ∂z/∂x = f_u ∂u/∂x + f_v ∂v/∂x.
• Градиент и Якобиан: за f: R^n → R градиентът ∇f = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn) събира всички частични производни; за F: R^n → R^m матрицата на всички първи частични производни е Якобиановата матрица (Jacobian).
• Висши частични производни и смесени производни: вторите производни ∂^2 f/∂x∂y и ∂^2 f/∂y∂x понякога са равни при подходящи условия за непрекъснатост на частичните производни (теорема на Клеро/Шварц).

Теорема на Клеро (равенство на смесените производни)

Ако f и нейните втори частични производни ∂^2 f/∂x∂y и ∂^2 f/∂y∂x са непрекъснати в околност на точката, то в тази точка важи ∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x. Това е често наричанa теорема на Клеро или теорема на Шварц.

Диференцируемост и частичните производни

Съществуването на частични производни в точка не гарантира, че функцията е диференцируема (в смисъл на добра линейна аппроксимация) в тази точка. Диференцируемостта на f в точката означава, че f(x+h) ≈ f(x) + ∇f(x)·h + o(‖h‖). Ако f е диференцируема, то частичните производни съществуват и образуват градиента; обратното не винаги е вярно — има класически контрапримери, при които частичните производни съществуват, но функцията не е непрекъсната или не е диференцируема.

Отношение с насочената производна

Ако f е диференцируема, насочената производна на f в посока единичния вектор u е D_u f = ∇f · u — скаларно произведение между градиента и вектора на посоката.

Приложения

• Математически анализ и решаване на оптимизационни задачи (градиентен метод).
• Физика — изменения на скаларни полета при промяна на координатите.
• Икономика — пределни ефекти при изменение на един фактор, държейки другите фиксирани.
• Числени методи и моделиране — Якобиановите матрици са ключови при решаване на нелинейни системи и при линеаризация.

Кратко резюме

• Частичната производна измерва промяната на функцията при изменение само на една променлива, другите се считат за константи.
• Използват се различни означения: ∂f/∂xi, f_{xi}, D_{xi} f.
• Свойства: линейност, правило за произведение, правило на верига, връзка с градиента и Якобиана.
• Съществуването на частични производни не е достатъчно за диференцируемост; при подходящи условия смесените производни се равняват.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е частична производна?

В: Как обикновено се записва частичната производна?

Въпрос: Винаги ли се взема частичната производна в многомерна функция?

Въпрос: Какво означава да диференцираме някои посочени променливи на функция?

В: Какъв вид смятане включва това понятие?

Въпрос: Има ли други валидни обозначения за частичната производна освен тези, които са споменати в текста?

Търсене по буква