Уравнение на Шрьодингер

Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение (вид уравнение, което включва неизвестна функция, а не неизвестно число), което е в основата на квантовата механика - една от най-точните теории за поведението на субатомните частици. Това е математическо уравнение, което е измислено от Ервин Шрьодингер през 1925 г. То дефинира вълновата функция на частица или система (група частици), която има определена стойност във всяка точка от пространството за всяко дадено време. Тези стойности нямат физическо значение (всъщност те са математически сложни), но въпреки това вълновата функция съдържа цялата информация, която може да се знае за дадена частица или система. Тази информация може да бъде намерена чрез математическо манипулиране на вълновата функция, за да се върнат реални стойности, свързани с физични свойства като позиция, импулс, енергия и т.н. Вълновата функция може да се разглежда като картина на това как тази частица или система действа с времето и я описва възможно най-пълно.

Вълновата функция може да се намира в няколко различни състояния едновременно, така че една частица може да има много различни позиции, енергии, скорости или други физични свойства едновременно (т.е. "да бъде на две места едновременно"). Въпреки това, когато се измерва едно от тези свойства, то има само една конкретна стойност (която не може да бъде категорично предсказана) и следователно вълновата функция се намира само в едно конкретно състояние. Това се нарича колапс на вълновата функция и изглежда е причинено от акта на наблюдение или измерване. Точната причина и тълкуването на колапса на вълновата функция все още са предмет на широки дискусии в научната общност.

За една частица, която се движи само в една посока в пространството, уравнението на Шрьодингер изглежда така:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

където i {\displaystyle i} $i$ е квадратен корен от -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ е редуцираната константа на Планк, t {\displaystyle t} $t$ е времето, x {\displaystyle x} е позицията, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ е вълновата функция, а V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ е потенциалната енергия, все още неизбрана функция на позицията. Лявата страна е еквивалентна на Хамилтоновия енергиен оператор, действащ върху Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Бюст на Ервин Шрьодингер във Виенския университет. На него е изобразено и уравнението на Шрьодингер.

Независима от времето версия

Ако приемем, че вълновата функция, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , е разделима, т.е. приемаме, че функцията на две променливи може да се запише като произведение на две различни функции на една променлива:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

След това, като се използват стандартните математически техники на частичните диференциални уравнения, може да се покаже, че вълновото уравнение може да се пренапише като две различни диференциални уравнения

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

където първото уравнение зависи единствено от времето T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , а второто уравнение зависи само от положението ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , и където E {\displaystyle E} $E$ е просто число. Първото уравнение може да се реши веднага, за да се получи

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

където e {\displaystyle e} $e$ е числото на Ойлер. Решенията на второто уравнение зависят от функцията на потенциалната енергия, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ и затова не може да бъде решено, докато не бъде дадена тази функция. С помощта на квантовата механика може да се покаже, че числото E {\displaystyle E} $E$ всъщност е енергията на системата, така че тези разделими вълнови функции описват системи с постоянна енергия. Тъй като енергията е постоянна в много важни физични системи (например: електрон в атом), често се използва второто уравнение от набора от разделени диференциални уравнения, представени по-горе. Това уравнение е известно като Уравнение на Шрьодингер, независимо от времето, тъй като не включва t {\displaystyle t} $t$ .

Интерпретации на вълновата функция

Роден Тълкуване

Съществуват много философски интерпретации на вълновата функция и тук ще бъдат разгледани някои от водещите идеи. Основната идея, наречена вероятностна интерпретация на Борн (по името на физика Макс Борн), идва от простата идея, че вълновата функция е квадратно интегрируема; т.е.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Тази доста проста формула има голямо физическо значение. Борн изказва хипотезата, че горният интеграл определя, че частицата съществува някъде в пространството. Но как можем да я намерим? Използваме интеграла

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

където P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} е вероятността за $P(b<x<a)$ намиране на частица в областта от b {\displaystyle b} до a {\displaystyle $b$ a} . С други думи, всичко, което може да се знае предварително за една частица като цяло, са вероятностите, средните стойности и други статистически величини, свързани с нейните физически величини (положение, импулс и т.н.). В общи линии това е интерпретацията на Борн.

Копенхагенска интерпретация

Може да се направи разширение на горните идеи. Тъй като интерпретацията на Борн гласи, че действителното положение на частицата не може да бъде известно, можем да изведем следното. Ако Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ са решения на вълновото уравнение, то суперпозицията на тези решения, т.е.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

също е решение. Това означава, че частицата съществува във всяко възможно положение. Когато дойде наблюдател и измери положението на частицата, тогава суперпозицията се свежда до една единствена възможна вълнова функция. (т.е. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , където Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ е някое от възможните състояния на вълновата функция). Тази идея, че позицията на частицата не може да бъде точно известна и че частицата съществува в множество позиции едновременно, дава началото на принципа на неопределеността. Математическата формулировка на този принцип може да се даде по следния начин

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Където Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ е неопределеността на позицията, а Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ е неопределеността на импулса. Този принцип може да се изведе математически от трансформациите на Фурие между импулса и позицията, както са дефинирани от квантовата механика, но ние няма да го извеждаме в тази статия.

Други тълкувания

Съществуват и различни други интерпретации, като например интерпретацията на многото светове и квантовия детерминизъм.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява уравнението на Шрьодингер?

О: Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение, което е в основата на квантовата механика и е измислено от Ервин Шрьодингер през 1925 г. То дефинира вълновата функция на частица или система, която има определена стойност във всяка точка на пространството за всяко дадено време.

Въпрос: Каква информация може да се получи от манипулирането на вълновата функция?

О: Чрез математическо манипулиране на вълновата функция могат да се намерят реални стойности, свързани с физични свойства като позиция, импулс, енергия и т.н.

В: Какво означава, когато една частица може да има много различни позиции, енергии, скорости или други физически свойства по едно и също време?

О: Това означава, че вълновата функция може да бъде в няколко различни състояния едновременно и така частицата може да има много различни положения, енергии, скорости или други физически свойства едновременно (т.е. "да бъде на две места едновременно").

Въпрос: Какво представлява колапсът на вълновата функция?

О: Колапсът на вълновата функция е, когато едно от тези свойства се измерва, че има само една конкретна стойност (която не може да бъде категорично предсказана) и следователно вълновата функция е само в едно конкретно състояние. Изглежда, че това се причинява от акта на наблюдение или измерване.

Въпрос: Кои са някои компоненти на уравнението на Шрьодингер?

О: Компонентите на уравнението на Шрьодингер включват i, което е равно на квадратен корен -1; ℏ, което представлява редуцираната константа на Планк; t, което означава време; x, което представлява позиция; Ψ (x , t), което означава вълнова функция; и V(x), което представлява потенциалната енергия като все още неизбрана функция на позицията.

Въпрос: Как да тълкуваме колапса на вълновите функции?

О: Точната причина и тълкуването на колапса на вълновата функция все още са широко дискутирани в научната общност.