Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение (вид уравнение, което включва неизвестна функция, а не неизвестно число), което е в основата на квантовата механика — една от най-точните теории за поведението на субатомните частици. То е било формулирано от Ервин Шрьодингер през 1925 г. Уравнението дава математическа дефиниция на вълновата функция на частица или система от частици: комплекснозначна функция, която за всяка точка в пространството и за всяко време дава стойност, съдържаща цялата информация за системата. Тези стойности сами по себе си не са директно наблюдаеми (в тях фигурира комплексното число i), но чрез подходящи математически операции от вълновата функция могат да се извлекат реални числови величини, свързани с физични наблюдения — например позиция, импулс, енергия и др. Вълновата функция описва пълната квантова картина на системата и по-точно — вероятностните характеристики на резултатите от измервания.
Физически смисъл и суперпозиция
Вълновата функция позволява състоянията да се комбинират: ако Ψ1 и Ψ2 са решения, то всяка линейна комбинация aΨ1 + bΨ2 също е решение (линейност и принцип на суперпозиция). Това означава, че една частица може формално да бъде в няколко възможни състояния едновременно — например да има разпределение на възможни позиции или енергии. При измерване обаче се наблюдава едно конкретно състояние и разпределението на резултатите се дава от |Ψ|2 (вероятностна плътност). Преминаването от многовъзможно квантово описание към конкретен измерен резултат често се описва с понятието колапс на вълновата функция, чието точно физическо обяснение е обект на различни тълкувания в квантовата механика.
Математическа форма (едноизмерен случай)
За частица, която се движи само в една посока в пространството, уравнението на Шрьодингер има обичайната форма:
- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)}
където i {\displaystyle i}
е квадратният корен от −1, ℏ {\displaystyle \hbar }
е редуцираната константа на Планк, t {\displaystyle t}
е времето, x {\displaystyle x}
е позицията, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)}
е вълновата функция, а V ( x ) {\displaystyle V(x)}
е потенциалната енергия, функция на позицията. Левият член представлява Хамилтоновия енергиен оператор, действащ върху Ψ {\displaystyle \Psi } 
, а десният член описва времевата еволюция.
Нормализация и вероятности
Физически допустима вълнова функция трябва да бъде нормируема: интегралът на плътността на вероятността по цялото пространство трябва да дава 1. За едноизмерен случай това означава
∫_{−∞}^{+∞} |Ψ(x,t)|^2 dx = 1.
Вероятността да намерим частицата в интервала [a,b] в даден момент е ∫_a^b |Ψ(x,t)|^2 dx. Операторите, които описват наблюдаемите величини (напр. позиция, импулс, енергия), са хермитови (самосъпствени), което гарантира реални собствени стойности и ортонормируеми собствени състояния.
Време-независимо уравнение и стационарни състояния
Често се търсят стационарни състояния, при които потенциалът V(x) не зависи от времето и решението може да се раздели като Ψ(x,t)=ψ(x)·e^{−iEt/ħ}. Това води до
−(ħ^2/2m) d^2ψ/dx^2 + V(x) ψ(x) = E ψ(x),
което е време-независимото уравнение на Шрьодингер. Той е собствено-стойностен проблем за Хамилтониана: стойностите E са възможните енергии (собствени стойности), а ψ(x) са съответните собствени функции (енергийни еигенфункции). За дискретни спектри (напр. в ограничени потенциали) енергията приема само отделни стойности; за свободната частица спектърът е непрекъснат.
Често срещани примери
- Свободна частица (V=0): решенията са плоски вълни e^{i(kx−ωt)}, свързани с непрекъснат спектър на енергия и добре дефиниран импулс.
- Инфинитен потенциален кладенец: дава дискретни нива и стоящи вълни (синус/косинус), често използван модел за частица в ограничено пространство.
- Квантов хармоничен осцилатор: аналитично решим модел с равномерни енергийни нива и функции, свързани с Ермитови полиноми.
Оператори, очаквани стойности и наблюдения
За оператор Ô, който представлява наблюдаема величина, очакваната (средна) стойност в състояние Ψ е
⟨Ô⟩ = ∫ Ψ*(x,t) Ô Ψ(x,t) dx.
Примери: операторът на позицията е x̂ = x (умножение), а операторът на импулса в позиционна представка е p̂ = −iħ ∂/∂x. Хермитовостта на операторите гарантира, че ⟨Ô⟩ е реално число.
Гранични условия и физическа интерпретация
Решението на уравнението зависи от граничните условия и формата на потенциала V(x). В реални системи физичните условия (например нормализация, продължителност и гладкост на ψ, поведение при безкрайност) избират допустимите решения. Колапсът на вълновата функция при измерване и различните философски тълкувания (Копенхаген, много-светове, деекоерентност и др.) остават предмет на дълбоки дискусии и експериментални тестове.
Значение и обобщения
Уравнението на Шрьодингер е централно за разбирането и предсказването на ефектите в атомната, молекулната и твърдотелната физика, както и в нанотехнологиите и квантовата химия. В по-общ вид уравнението се обобщава за множество частици, включва релативистични корекции (например уравненията на Дирак и Клейн–Гордън) и се формулира в рамките на теорията на полета за частици, които се създават и аннигилират.
Кратко резюме: вълновата функция Ψ описва пълната квантова информация за система; уравнението на Шрьодингер определя как тази информация се променя във времето и при подходящи условия води до дискретни енергийни нива и конкретни прогнози за вероятностите на резултатите от измервания.
