Шрьодингерово уравнение: дефиниция, вълнова функция и значение
Шрьодингерово уравнение: ясно обяснение на вълновата функция, нейното значение в квантовата механика и практическите последствия за позиция, енергия и измервания.
Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение (вид уравнение, което включва неизвестна функция, а не неизвестно число), което е в основата на квантовата механика — една от най-точните теории за поведението на субатомните частици. То е било формулирано от Ервин Шрьодингер през 1925 г. Уравнението дава математическа дефиниция на вълновата функция на частица или система от частици: комплекснозначна функция, която за всяка точка в пространството и за всяко време дава стойност, съдържаща цялата информация за системата. Тези стойности сами по себе си не са директно наблюдаеми (в тях фигурира комплексното число i), но чрез подходящи математически операции от вълновата функция могат да се извлекат реални числови величини, свързани с физични наблюдения — например позиция, импулс, енергия и др. Вълновата функция описва пълната квантова картина на системата и по-точно — вероятностните характеристики на резултатите от измервания.
Физически смисъл и суперпозиция
Вълновата функция позволява състоянията да се комбинират: ако Ψ1 и Ψ2 са решения, то всяка линейна комбинация aΨ1 + bΨ2 също е решение (линейност и принцип на суперпозиция). Това означава, че една частица може формално да бъде в няколко възможни състояния едновременно — например да има разпределение на възможни позиции или енергии. При измерване обаче се наблюдава едно конкретно състояние и разпределението на резултатите се дава от |Ψ|2 (вероятностна плътност). Преминаването от многовъзможно квантово описание към конкретен измерен резултат често се описва с понятието колапс на вълновата функция, чието точно физическо обяснение е обект на различни тълкувания в квантовата механика.
Математическа форма (едноизмерен случай)
За частица, която се движи само в една посока в пространството, уравнението на Шрьодингер има обичайната форма:
- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)}
където i {\displaystyle i}
е квадратният корен от −1, ℏ {\displaystyle \hbar }
е редуцираната константа на Планк, t {\displaystyle t}
е времето, x {\displaystyle x}
е позицията, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)}
е вълновата функция, а V ( x ) {\displaystyle V(x)}
е потенциалната енергия, функция на позицията. Левият член представлява Хамилтоновия енергиен оператор, действащ върху Ψ {\displaystyle \Psi } 
, а десният член описва времевата еволюция.
Нормализация и вероятности
Физически допустима вълнова функция трябва да бъде нормируема: интегралът на плътността на вероятността по цялото пространство трябва да дава 1. За едноизмерен случай това означава
∫_{−∞}^{+∞} |Ψ(x,t)|^2 dx = 1.
Вероятността да намерим частицата в интервала [a,b] в даден момент е ∫_a^b |Ψ(x,t)|^2 dx. Операторите, които описват наблюдаемите величини (напр. позиция, импулс, енергия), са хермитови (самосъпствени), което гарантира реални собствени стойности и ортонормируеми собствени състояния.
Време-независимо уравнение и стационарни състояния
Често се търсят стационарни състояния, при които потенциалът V(x) не зависи от времето и решението може да се раздели като Ψ(x,t)=ψ(x)·e^{−iEt/ħ}. Това води до
−(ħ^2/2m) d^2ψ/dx^2 + V(x) ψ(x) = E ψ(x),
което е време-независимото уравнение на Шрьодингер. Той е собствено-стойностен проблем за Хамилтониана: стойностите E са възможните енергии (собствени стойности), а ψ(x) са съответните собствени функции (енергийни еигенфункции). За дискретни спектри (напр. в ограничени потенциали) енергията приема само отделни стойности; за свободната частица спектърът е непрекъснат.
Често срещани примери
- Свободна частица (V=0): решенията са плоски вълни e^{i(kx−ωt)}, свързани с непрекъснат спектър на енергия и добре дефиниран импулс.
- Инфинитен потенциален кладенец: дава дискретни нива и стоящи вълни (синус/косинус), често използван модел за частица в ограничено пространство.
- Квантов хармоничен осцилатор: аналитично решим модел с равномерни енергийни нива и функции, свързани с Ермитови полиноми.
Оператори, очаквани стойности и наблюдения
За оператор Ô, който представлява наблюдаема величина, очакваната (средна) стойност в състояние Ψ е
⟨Ô⟩ = ∫ Ψ*(x,t) Ô Ψ(x,t) dx.
Примери: операторът на позицията е x̂ = x (умножение), а операторът на импулса в позиционна представка е p̂ = −iħ ∂/∂x. Хермитовостта на операторите гарантира, че ⟨Ô⟩ е реално число.
Гранични условия и физическа интерпретация
Решението на уравнението зависи от граничните условия и формата на потенциала V(x). В реални системи физичните условия (например нормализация, продължителност и гладкост на ψ, поведение при безкрайност) избират допустимите решения. Колапсът на вълновата функция при измерване и различните философски тълкувания (Копенхаген, много-светове, деекоерентност и др.) остават предмет на дълбоки дискусии и експериментални тестове.
Значение и обобщения
Уравнението на Шрьодингер е централно за разбирането и предсказването на ефектите в атомната, молекулната и твърдотелната физика, както и в нанотехнологиите и квантовата химия. В по-общ вид уравнението се обобщава за множество частици, включва релативистични корекции (например уравненията на Дирак и Клейн–Гордън) и се формулира в рамките на теорията на полета за частици, които се създават и аннигилират.
Кратко резюме: вълновата функция Ψ описва пълната квантова информация за система; уравнението на Шрьодингер определя как тази информация се променя във времето и при подходящи условия води до дискретни енергийни нива и конкретни прогнози за вероятностите на резултатите от измервания.
Бюст на Ервин Шрьодингер във Виенския университет. На него е изобразено и уравнението на Шрьодингер.
Независима от времето версия
Ако приемем, че вълновата функция, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 
, е разделима, т.е. приемаме, че функцията на две променливи може да се запише като произведение на две различни функции на една променлива:
Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}
След това, като се използват стандартните математически техники на частичните диференциални уравнения, може да се покаже, че вълновото уравнение може да се пренапише като две различни диференциални уравнения
i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}
- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}
където първото уравнение зависи единствено от времето T ( t ) {\displaystyle T(t)} 
, а второто уравнение зависи само от положението ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 
, и където E {\displaystyle E}
е просто число. Първото уравнение може да се реши веднага, за да се получи
T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}
където e {\displaystyle e}
е числото на Ойлер. Решенията на второто уравнение зависят от функцията на потенциалната енергия, V ( x ) {\displaystyle V(x)} и затова не може да бъде решено, докато не бъде дадена тази функция. С помощта на квантовата механика може да се покаже, че числото E {\displaystyle E} всъщност е енергията на системата, така че тези разделими вълнови функции описват системи с постоянна енергия. Тъй като енергията е постоянна в много важни физични системи (например: електрон в атом), често се използва второто уравнение от набора от разделени диференциални уравнения, представени по-горе. Това уравнение е известно като Уравнение на Шрьодингер, независимо от времето, тъй като не включва t {\displaystyle t} .
Интерпретации на вълновата функция
Роден Тълкуване
Съществуват много философски интерпретации на вълновата функция и тук ще бъдат разгледани някои от водещите идеи. Основната идея, наречена вероятностна интерпретация на Борн (по името на физика Макс Борн), идва от простата идея, че вълновата функция е квадратно интегрируема; т.е.
∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }
Тази доста проста формула има голямо физическо значение. Борн изказва хипотезата, че горният интеграл определя, че частицата съществува някъде в пространството. Но как можем да я намерим? Използваме интеграла
∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}
където P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} е вероятността за
намиране на частица в областта от b {\displaystyle b} до a {\displaystyle
a} . С други думи, всичко, което може да се знае предварително за една частица като цяло, са вероятностите, средните стойности и други статистически величини, свързани с нейните физически величини (положение, импулс и т.н.). В общи линии това е интерпретацията на Борн.
Копенхагенска интерпретация
Може да се направи разширение на горните идеи. Тъй като интерпретацията на Борн гласи, че действителното положение на частицата не може да бъде известно, можем да изведем следното. Ако Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}}
са решения на вълновото уравнение, то суперпозицията на тези решения, т.е.
Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}
също е решение. Това означава, че частицата съществува във всяко възможно положение. Когато дойде наблюдател и измери положението на частицата, тогава суперпозицията се свежда до една единствена възможна вълнова функция. (т.е. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. 
→ Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} 
, където Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} е някое от възможните състояния на вълновата функция). Тази идея, че позицията на частицата не може да бъде точно известна и че частицата съществува в множество позиции едновременно, дава началото на принципа на неопределеността. Математическата формулировка на този принцип може да се даде по следния начин
Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}
Където Δ x {\displaystyle \Delta x}
е неопределеността на позицията, а Δ p {\displaystyle \Delta p}
е неопределеността на импулса. Този принцип може да се изведе математически от трансформациите на Фурие между импулса и позицията, както са дефинирани от квантовата механика, но ние няма да го извеждаме в тази статия.
Други тълкувания
Съществуват и различни други интерпретации, като например интерпретацията на многото светове и квантовия детерминизъм.
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво представлява уравнението на Шрьодингер?
О: Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение, което е в основата на квантовата механика и е измислено от Ервин Шрьодингер през 1925 г. То дефинира вълновата функция на частица или система, която има определена стойност във всяка точка на пространството за всяко дадено време.
Въпрос: Каква информация може да се получи от манипулирането на вълновата функция?
О: Чрез математическо манипулиране на вълновата функция могат да се намерят реални стойности, свързани с физични свойства като позиция, импулс, енергия и т.н.
В: Какво означава, когато една частица може да има много различни позиции, енергии, скорости или други физически свойства по едно и също време?
О: Това означава, че вълновата функция може да бъде в няколко различни състояния едновременно и така частицата може да има много различни положения, енергии, скорости или други физически свойства едновременно (т.е. "да бъде на две места едновременно").
Въпрос: Какво представлява колапсът на вълновата функция?
О: Колапсът на вълновата функция е, когато едно от тези свойства се измерва, че има само една конкретна стойност (която не може да бъде категорично предсказана) и следователно вълновата функция е само в едно конкретно състояние. Изглежда, че това се причинява от акта на наблюдение или измерване.
Въпрос: Кои са някои компоненти на уравнението на Шрьодингер?
О: Компонентите на уравнението на Шрьодингер включват i, което е равно на квадратен корен -1; ℏ, което представлява редуцираната константа на Планк; t, което означава време; x, което представлява позиция; Ψ (x , t), което означава вълнова функция; и V(x), което представлява потенциалната енергия като все още неизбрана функция на позицията.
Въпрос: Как да тълкуваме колапса на вълновите функции?
О: Точната причина и тълкуването на колапса на вълновата функция все още са широко дискутирани в научната общност.
обискирам